一種大地坐標變換近似算法

馬 娟，倪世道，任小葉

(中國電子科技集團公司第38研究所，合肥 230031)

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一種大地坐標變換近似算法

馬 娟，倪世道，任小葉

(中國電子科技集團公司第38研究所，合肥 230031)

機載雷達數據處理系統需要頻繁使用大地坐標變換算法將測量數據轉換到公共參考坐標系下。針對精度要求相對較低但計算負載大的機載預警雷達系統，提出一種近似大地坐標變換算法以解決常規算法計算復雜度大、需要迭代實現等問題。數值計算結果表明：文中所提算法精度損失較小，計算復雜度低。

大地坐標變換；近似算法；計算復雜度；精度

0 引 言

機載雷達系統中，載機處于運動狀態，雷達測量值的坐標中心不斷發生變化，同時接收其它傳感器的參考信息可能采用不同的坐標系。因此，為獲得可靠的目標信息，需要將測量數據轉換到公共參考坐標系下[1]。坐標變換算法直接影響雷達系統的計算效率和情報質量。目前，應用較多的坐標變換方法有球極投影法、大地坐標變換法及平移變換法等。作為一種高精度的坐標變換方法，大地坐標變換方法已經在很多領域獲得成功應用[2-3]。該方法以大地坐標系為統一坐標系進行變換，即利用大地坐標完成從傳感器測量值所在坐標系到跟蹤或指控中心所在坐標系的轉換。傳統的大地坐標變換算法從地心直角坐標系轉換到地理坐標系時需要多次迭代實現，本文所提近似算法不需要迭代計算，在保障精度損失較小的情況下顯著降低了算法的計算復雜度。

1 標準大地坐標變換算法

常用的大地坐標有2種表示方式：地心直角坐標系(ECEF)與地理坐標系(LGLT)[3]。圖1為大地坐標示意圖。地心直角坐標系是一種慣性坐標系，原點選在地球球心，X軸沿赤道平面指向本初子午線，Z軸沿地球自轉軸指向北極，Y軸在赤道平面內與X軸垂直并形成右手坐標系。地理坐標系用經度、緯度和高度表示。經度L定義為點T在赤道平面上的投影T′與X軸的夾角；過參考橢球上一點M的垂線TM與赤道平面相交的角度B為地理緯度(也稱大地緯度)，過參考橢球體上一點N與地心O的連線OT與赤道平面的夾角B′為地心緯度。一般情況下，緯度默認為地理緯度。

圖1 大地坐標示意圖

假設雷達的經度、緯度和高度分別為L、B、h，則其在地心直角坐標系中的坐標為：

(1)

式(1)將地理坐標系參數轉換到地心直角坐標系，該過程中未帶入任何誤差。

假設雷達在地心直角坐標系中的坐標為x、y、z，則其在地理坐標系中可表示為：

(2)

由于從地心直角坐標系到地理坐標系的轉換方程式為非閉形式，故由x、y、z獲得對應的L、B、h較為困難，需經過多次迭代實現。

2 大地坐標變換近似算法

2.1 橢圓相關公式

圖2為經過T所在經度線，并通過地軸的局部切面圖，即圖2上弧MN所在經度的切面。JOK為1/4橢圓，點P、Q分別為過點M的橢圓切線與W軸、Z軸的交點，過點M作W軸的垂線，R為垂足。根據橢圓和橢球性質，可得JOK所在橢圓方程和過橢圓上點M(w0，z0)的橢圓切線方程：

(3)

(4)

式中:w2=x2+y2。

圖2 沿經度線過地軸的1/4切面圖

根據相似三角形原理和式(4)，可得:

(5)

因此:

(6)

(7)

(8)

將式(7)代入橢圓方程，可得:

(9)

(10)

由三角函數公式和式(8)、(9)，可得:

(11)

根據相似三角形原理和式(6)，可得：

(12)

(13)

由三角函數公式和式(13)，可得：

(14)

由三角函數正切公式和式(8)、式(14)可得：

2.2 LGLT到ECEF變換公式

雷達載機和目標所在高度h一般小于1.5×104m，而CM大于6×107(見式(10))，由式(14)可得：

(16)

因此，地心緯度B′可由下式近似計算：

(17)

由式(15)可知：

(18)

由于β值很小，所以:

OT≈OM+h

(19)

(20)

從LGLT到ECEF近似變換公式為：

(21)

通過上述變換，x、y、z的誤差數量級為101m，誤差為十萬分之一。

2.3 ECEF到LGLT變換公式

根據與前面相同的近似關系，可得：

(22)

通過上述反變換，L無誤差，B的誤差值數量級為10-6，h的誤差值數量級為10-2m。

3 對比實驗

取中國范圍內的經度(73°～135°)、緯度(4°～53°)和雷達探測范圍內的高度(0～15 000 m)，將本文所提近似算法與精確計算的結果比較，統計近似算法的轉換誤差。其中精確計算時從地心直角坐標系轉換到地理坐標系采用迭代實現，緯度計算誤差小于(10-6)°。

為了充分說明近似算法的誤差范圍，對比實驗包括3個：

(1) 經度變化，觀察轉換誤差與經度關系。目標緯度為28°，高度為8 000 m，經度以相同步長變化50次，變化范圍為73～135°。比較近似算法從LGLT到ECEF和從相應的真實ECEF到LGLT轉換誤差。

(2) 緯度變化，觀察轉換誤差與緯度關系。目標經度為104°，高度為8 000 m，緯度以相同步長變化50次，變化范圍為4～53°。比較近似算法從LGLT到ECEF和從相應的真實ECEF到LGLT轉換誤差。

(3) 高度變化，觀察轉換誤差與高度關系。目標經度為104°，目標緯度為28°，高度以相同步長變化50次，變化范圍為0～15 000 m。比較近似算法從LGLT到ECEF和從相應的真實ECEF到LGLT轉換誤差。

圖3為3組對比實驗的經度轉換誤差。從圖上可以明顯看出，經度轉換無誤差。

圖3 近似算法的經度轉換誤差

圖4為3組對比實驗的緯度轉換誤差。

圖4 近似算法的緯度轉換誤差

在本文的實驗條件下，緯度轉換的最大誤差為(-3.75×10-4)°。

圖5為3組對比實驗的高度轉換誤差。

圖5 近似算法的高度轉換誤差

在本文的實驗條件下，高度轉換的最大誤差為-0.057m。

圖6為3組對比實驗的X坐標轉換誤差。在本文的實驗條件下，X坐標轉換的最大誤差為7.36 m。

圖6 近似算法的X坐標轉換誤差

圖7為3組對比實驗的Y坐標轉換誤差。在本文的實驗條件下，Y坐標轉換的最大誤差為-20 m。

圖7 近似算法的Y軸轉換誤差

圖8為3組對比實驗的Z坐標轉換誤差。在本文的實驗條件下，Z坐標轉換的最大誤差為36.83 m。

圖8 近似算法的Z軸轉換誤差

綜合圖3～圖8可以看出，不管是從LGLT轉換到ECEF還是從ECEF轉換到LGLT，本文算法的精度損失都很小，完全滿足常規雷達的精度轉換要求。

4 結束語

標準大地坐標變換算法中，由地理坐標系參數可以較容易地獲得地心直角坐標系參數，而從地心直角坐標系轉換到地理坐標系則需要經過多次迭代才能獲得精度許可范圍內的參數。本文所提的近似算法不需迭代即可實現兩者之間的相互轉換，顯著 降低了計算量，數學分析和仿真實驗證明該算法具有較高的精度，適用于坐標變換頻繁使用或對精度要求不是特別高的機載雷達數據處理系統。

[1] 何友，修建娟，關欣，等.雷達數據處理及應用[M].北京：電子工業出版社，2013.

[2] 王放，魏璽章，黎湘.傳感器組網坐標變換及其精度分析[J].系統工程與電子技術，2005,27(7):1231-1234.

[3] 蘇海軍，林宏亮，李俠，等.基于ECEF的雷達組網目標綜合定位精度分析[J].空軍雷達學院學報，2007，21(2):88-89.

[4] 張勤，李家權.GPS測量原理及應用[M].北京：科學出版社，2010.

[5] 韓崇昭，朱洪艷，段戰勝，等.多源信息融合[M].北京：清華大學出版社，2006.

An Approximate Algorithm of Geodetic Coordinate Transformation

MA Juan,NI Shi-dao,REN Xiao-ye

(No.38 Research Institute of CETC,Hefei 230031，China)

The geodetic coordinate transformation algorithm is used frequently to transform the measured data into the data in common reference coordinate in airborne radar data processing system.For airborne early warning radar system with lower accuracy request and large calculation load,this paper presents a kind of approximate algorithm of geodetic coordinate transformation to resolve the problems such as large calculation complexity and iteration implementation,etc..The numerical value calculation result shows that the accuracy loss of the algorithm presented in this paper is small and the calculation complexity is low.

geodetic coordinate transformation；approximate algorithm；calculation complexity；accuracy

2015-04-30

TN959.72

A

CN32-1413(2015)04-0040-04

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.04.011