MATLAB中隱函數繪圖方法探究

楊海勇

摘 要：MATLAB作為一種功能強大的仿真軟件，在科學計算和工程繪圖方面也有廣泛的應用。針對隱函數求解不便并且圖形難以手工繪制的問題，該文研究用MATLAB軟件繪制二維隱函數曲線和三維隱函數曲面的方法：利用軟件提供的ezplot函數可以直接繪制二維隱函數曲線，并討論了二維隱函數帶變量使用的情況；采用等值面計算函數isosurface和面元渲染函數patch可以分步實現三維隱函數曲面的繪圖。根據上述方法給出一些具體應用實例和繪圖結果。實踐表明，MATLAB軟件能有效解決比較復雜的隱函數繪圖問題。

關鍵詞：MATLAB 二維隱函數 三維隱函數 繪圖

中圖分類號：TP31 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）11（a）-0011-02

MATLAB是當今流行世界的仿真軟件，更是一種效率高、功能強的工程數學軟件，它具有出色的圖形處理能力，在科學計算和工程繪圖方面有大量的應用。

對于一些多元函數特別是隱函數類的數學問題，其求解和圖形繪制工作僅僅依靠人工是難以實現的，而MATLAB軟件正是解決這類復雜數學問題的一種很好的工具。

MATLAB軟件包含了一系列種類齊全的繪圖函數，例如二維圖形中基本的plot函數、三維曲面的mesh函數。在隱函數繪圖方面，軟件提供了ezplot函數可以直接繪制二維隱函數曲線，但在解決三維隱函數曲面的圖形繪制方面，卻仍然是一個難題，因為軟件里并沒有提供能直接繪制三維隱函數曲面的函數，需要我們尋找其他方法解決這一問題。

該文主要探討利用MATLAB軟件繪制二維隱函數曲線和三維隱函數曲面的方法，并給出具體應用實例。

1 二維隱函數繪圖

二維隱函數是指滿足方程f（x，y）=0的x，y之間的關系式，由于隱函數求解不便，很多都無法求出x、y之間的關系，也就不能寫成y=f（x）的形式，因此基本的二維繪圖命令plot（x，y）是不能應用的。對于這類隱函數的圖形繪制問題，MATLAB提供了函數ezplot（ ）可以直接繪制隱函數f（x，y）=0的曲線。

1.1 函數ezplot基本格式及繪圖應用

對于隱函數f=f（x，y），ezplot的基本調用格式是：ezplot（f），這是在默認區間-2pi

也可以人工指定區間范圍：xmin

例如要繪制隱函數

的曲線，可以采用下列兩種語句：

執行后得出如圖1所示的繪圖結果，這是一種心形線。

1.2 隱函數帶變量使用的情況

隱函數帶變量的情況也很常見，例如隱函數。

根據實際需要可將a事先具體賦值，但使用中應注意，繪圖語句不能簡單采用前面基本格式的形式，例如a=2；ezplot（'x^2+y^2+a*x-a*sqrt（x^2+y^2）'），這樣并不能執行繪圖。因為函數包括單引號時，相當于是符號表達式，變量a的值作為一個參數，不能傳進函數，導致ezplot（）不能正常繪圖。

要把參數a的值傳進函數，就不能用單引號括起函數，因此正確的做法是先利用syms函數定義多個變量，再用ezplot（）對隱函數畫圖，應注意函數不帶單引號。繪圖語句如下，繪圖結果和前面圖1完全相同。

1.3 帶有多個變量的隱函數組的繪圖

已有方程組f（x，y）=x+y^2=a，g（x，y）=x^2-y=b，（a，b均為常數），可以方便地解決這類帶有多個變量的隱函數組的繪圖問題。以a=3，b=-3這種情況為例，給出繪圖的語句和繪圖結果圖2。

其中hold on語句的作用是將當前已有圖形保持，并允許添加新繪制的圖形。title（ ）的作用是給圖形加題頭。

2 三維隱函數繪圖

三維隱函數是指在滿足方程f（x，y，z）=0的條件下，z關于x、y的關系式，即z=g（x，y），這里g（x，y）的顯式表達式無法求取，不能采用普通的繪圖函數來繪制其曲線。下面主要探討采用等值面計算函數isosurface（）和面元渲染函數patch（ ）來分步實現三維隱函數曲面的繪圖方法。

2.1 三維隱函數分步繪圖步驟

首先對要使用的兩個重要的圖形函數做一些簡要介紹。

isosurface的調用格式：[f，v] = isosurface（x，y，z，val，isovalue），它是等值面計算函數，其作用是返回由isovalue指定的某個等值面的表面（Faces）和頂點（Vertices）數據，并存放在結構體f、v中。對于畫隱函數v=f（x，y，z）=0的三維圖形，則isovalue=0。

patch是面元渲染函數，對曲面進行修飾。它的調用格式包括：

patch（x，y，z，c）以三維坐標（x，y，z）為頂點，構造三維曲面，c是RGB顏色向量。

patch（f，v）通過包含Faces、Vertices兩個域的結構體f、v來構造三維曲面，f和v可以由等值面函數isosurface計算而得。

對于三元顯函數v=f（x，y，z）來說，當v=0時的等值面就是z=g（x，y）的三維曲面。isosurface函數可以計算v=0的等值面，返回結果包括表面和頂點數據，并存放于結構體f、v中，再輸入給patch函數，能構造三維曲面，還可以根據需要設置顏色、亮度、三維視角等。

根據上述方案可以歸納出三維隱函數的分步繪圖步驟。

（1）用meshgrid函數產生網格點，同時可確定坐標范圍。

（2）引用隱函數表達式計算格點函數值val。

（3）調用[f，v]=isosurface（x，y，z，val，0）計算隱函數等值面并返回到f、v。

（4）調用patch（'Faces'，f，'Vertices'，v，'facecolor'，'none'，'EdgeColor'，'flat'）對曲面修飾。

2.2 三維隱函數繪圖應用舉例

以心形圖函數

為例，按照上述繪圖步驟，給出程序語句和三維心形圖的繪圖結果圖3。

3 結語

該文介紹了利用MATLAB軟件中的繪圖函數ezplot（）直接繪制二維隱函數曲線的方法，以及采用等值面計算函數isosurface（）和面元渲染函數patch（ ）分步實現三維隱函數曲面的繪圖方法。實踐表明，上述方法效率高、容易實現，能有效解決比較復雜的隱函數繪圖問題。

參考文獻

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