電磁學與電動力學中的磁單極—Ⅲ

王 青

(清華大學物理系，北京 100084)

教學研究

電磁學與電動力學中的磁單極—Ⅲ

王 青

(清華大學物理系，北京 100084)

本文為作者磁單極系列文章的第3篇，該系列文章在電磁學和電動力學框架內用盡量科普的方式分別介紹磁單極的若干奇特性質. 在本篇文章中作者通過一個實例顯示有磁單極存在的點電荷系統的作用量涉及磁單極的部分在物理區域是不存在的，但在以物理區域為邊界的高維非物理區域可以存在,考慮量子力學則要求點電荷必須是量子化的.

磁單極;最小作用量;高維;全息;電荷量子化

本文是在電磁學和電動力學中講解磁單極奇妙性質的第3篇文章.在前2篇文章[1,2]中分別介紹了磁單極在角動量方面的角色和作用，以及狄拉克磁單極及其與規范變換的關系;在本文中介紹磁單極在最小作用量原理中所起的特殊作用.本篇內容安排如下: 第1節通過幾個具體例子介紹最小作用量；然后在第2節提出本文所主要關心的作用量是否存在的問題，并在第1節討論的一個例子中證明加進磁單極將導致這個體系的作用量不再存在；最后在第3節討論作用量不存在會給我們什么深刻的啟示.

1 最小作用量原理

對物理系統人們總是選擇一些坐標(一般地叫廣義坐標，第i個坐標經常被記為qi(t))用其隨時間的變化行為來描述體系隨時間的演化.例如一個質點我們用它在空間坐標系3個坐標軸上的坐標構成的矢量r(t)來描寫，對電磁場則用每個空間點的標量勢φ(r,t)和矢量勢A(r,t)來描寫，等等.在經典物理學中，這些坐標滿足某個對時間的二階微分方程，如自由運動的質點滿足，

這些關于時間的微分方程通常叫體系的運動方程，給它們加上初始條件(一般是初始的坐標和速度值，對像電磁場這樣的具有無窮多自由度的體系通常還要補充相應的邊界條件)就完全把體系坐標隨時間的變化行為唯一地確定下來.這種用微分方程加初始條件確定體系運動規律的方式是日常描述一個體系的習慣和標準的做法.它不僅適用于物理體系，世上很多其他系統諸如經濟運轉，人口變化等只要有確定的隨時間變化的描寫變量的體系,原則上都可以采用此類方式來描述.探尋和理解這些體系隨時間演化的規律因此轉變為尋找和解釋為什么這些體系會選擇如此樣子的運動方程.至少在眾多可能候選的微分方程中，對某個確定的體系為什么選擇某種特定的方程一下子是看不出來的.

最小作用量原理不用微分方程而用極值原理來描寫一個體系隨時間演化的規律.它的表述是: 對每一個物理體系都存在一個由其廣義坐標及其微商構造的泛函；這個體系的實際運動總是使這個泛函取極小值.例如對前面提到的自由運動的質點，最小作用量原理就說此體系存在一個拉格朗日量L，

其中積分的上下限分別為粒子運動的起始和終了時刻.不難證明，讓式(3)取極值即可得到由式(1)給出的微分方程.

進一步如果這個粒子帶電荷q，并且在由標量勢φ和矢量勢A描寫的外電磁場中運動，則體系的拉格朗日量變為

把式(4)代入式(3)再求極值即可得到點電荷的運動方程

在式(5)中進一步定義

我們發現此點電荷所受的力就是通常的洛倫茲力.

如果此帶電粒子不在外電磁場中運動(因而拉氏量式(4)中沒有與標量勢φ和矢量勢A相關的項)，而被限制在一個半徑為單位長度(r=1)的一個球面上運動(如圖1所示).

圖1 約束在球面上的質點

這個體系的作用量應該就是把式(2)代入式(3)得到的結果，只不過在求極值時要額外考慮到約束條件.數學上有一個拉氏乘子方法可以避免在求極值時再考慮約束條件，只要把約束方程乘以一個獨立參數λ加進拉格朗日量即可，即

由此代入式(3)并對坐標求極值得到運動方程:

方程右邊是對應把質點約束在球面上所需要的力，其中存在一個未知參數λ.為確定它，將約束條件(它可以通過把式(7)代入式(3)并對參數λ求極值得到)對時間求2次導數，得到

從以上幾個例子可以看到對我們熟知的粒子運動(如前面討論的自由質點和在外電磁場中的帶電點粒子)都可以找到相應的作用量，其運動方程是對作用量求極值的導出物，而不是原始理論計算的出發點.甚至對有約束的系統，其運動方程也可被看作是作用量極值的產物.由此可以把原來

這個方程也叫拉格朗日方程，它在原來微分方程體系中被作為體系原始出發點的第一原理.

2 作用量的存在性

既然最小作用量原理可以替代運動方程作為第一原理，那么要描述任意一個體系隨時間的演化規律，只需找到其相應的作用量即可.這里可能會有一個問題:是否對任意一個系統都存在有相應的作用量？為了方便，姑且假設這個體系隨時間的演化是可以用微分方程來描寫的，這個體系不一定非得是物理體系.或者換句話說，是否任何一組微分方程(假設它描述某個系統的時間演化規律)都可化成為方程(11)的形式？如果可以就意味著存在拉格朗日量，因此由式(3)也就存在作用量.這個問題看起來有點數學化，因為作用量作為一個數學量(而不是物理實體)，其存在性的討論似乎應屬于數學的范疇.如果對此問題的回答是肯定的，那就意味著任何一個微分方程都等價于一個極值問題，對有確定規律(也就是存在微分方程描述)的體系的看法就都等價于其存在某種極值，因而最小作用量原理升格成放之四海而皆準的普世原則，那好像挺不錯的.如果對此問題的回答是否定的，那就比較奇怪了.因為我們所熟知的物理系統基本都是具有作用量的，如果某個特定體系作用量真不存在，它一定十分有別于我們熟知的系統，那里也許應該有什么奇異的事情發生……?

筆者的學生很多年前在南開大學開會時有幸問過陳省身先生此問題，回答是否定的，陳先生還說了一堆學生無法聽懂的理由.學生最后反饋回來說只是了解到如果體系有某種特別的性質好像是某種對稱性，就會有運動方程存在而作用量不存在的現象.鑒于此信息，筆者當時的理解是: 那些不存在作用量的體系很可能是一些十分怪異的純數學系統，所有物理體系都應該存在作用量.如果是這樣，即使找到不存在作用量的體系也與物理無關，因而對我們做物理研究不會有什么影響.后來某天讀到獲得菲爾茲獎的知名物理學家E.Witten的著名文章[3]，才發現原來在物理體系里也存在這樣的系統，作用量在其中不存在！本文以下的大部分討論都來自Witten的文章，我們略去了量子場論的復雜討論而只局限在電磁學和電動力學的范圍內進行討論.

選擇合適的磁荷單位可以使這個磁單極產生的磁感應強度為

注意在球面上的質點帶電荷q，在其作受限運動的球面上，原來的運動方程式(10)中現在還應包括洛倫茲力的貢獻，即

其中使用了約束條件r2=1.式(13)是描述限制在單位球面上帶電荷q質量為m的質點的運動方程，方程右邊第一項是把質點約束在球面上的約束力，第二項是磁單極場產生的洛倫茲力.現在對這個系統，運動方程有了，是否存在作用量？

且慢！有些仔細的讀者會說，不對呀！對在外電磁場中運動的帶電粒子，你不是在式(4)中給出了一個拉格朗日量，怎么能說不存在拉格朗日量呢？ 只要把式(4)給出的反映外電磁場的項-qφ+q·A寫出來不就是了嗎? 我們看看真把這項寫出來會咋樣.對第1項，磁單極不會產生標量勢因而它恒為零；對第2項需要寫下磁單極所貢獻的矢量勢，但如本系列第2篇文章[2]所討論的，對磁單極來說矢量勢是奇異的，或者說它無法在全空間很好地定義.或者再明確一點地說式(12)給出的磁感應強度滿足方程▽·B=δ(r)，其中等號右邊是反映具有單位磁荷的磁單極的磁荷密度的δ函數.而另一方面由矢量勢和磁感應強度的關系B=▽×A，可以得到▽·B=0.這明顯和前面具有磁單極的式子相互沖突，唯一的可能性是矢量勢在一些地方沒有很好地定義，導致公式B=▽×A不在全空間處處適用.事實上，如果強行要求矢量勢在全空間處處可微，則會導出一些極為奇怪的結果，例如這時可以利用著名的亥姆霍茲定理(這個關系實際上是一個恒等式，如果不熟悉它可以跳過下面的兩組式子直接閱讀其后的內容)

其中第1項通常叫矢量勢的縱場部分，它可以通過在本系列第2篇文章[2]中重點研究的規范變換給完全變換掉因而為零；第2項叫矢量勢的橫場部分，下面證明對式(12)給出的磁單極它也為零，

因此假設矢量勢在空間處處可微，結合規范變換得到式(12)給出的磁單極的矢量勢在空間可以處處為零.

以這樣看，即使按照式(4)強行寫下一個拉格朗日量并代入式(3)給出相應的作用量，這個作用量也是有奇異沒能很好定義的作用量.更準確的陳述應該是: 對這個系統全空間很好定義的作用量不存在！進一步，由于我們已經把討論的體系限制在了單位半徑的球面上，這時實際上并不真正要求矢量勢在全空間都有很好的定義，而只要求其在球面上有很好的定義就可以了.遺憾的是，即使這樣退而求其次的要求也是達不到的，因為它使得下面在球面上的面積分產生矛盾的結果:

其中第一個等號成立是因為按照格林公式此等號右邊的積分應該等于在積分曲面的邊界曲線上曲線積分，而目前由于是封閉曲面，沒有邊界曲線或者說邊界曲線的長度為零(可以看成是一個縮小為一個點的邊界)，因而在邊界上的曲線積分為零.在第4個等號后我們應用了此磁場是來自于位于球心的磁單極的條件.從上面結果看即使在這簡化了的球面上，矢量勢仍是無法很好定義的，因而用勢定義的作用量在球面上似乎仍是不存在的！如前所述，這樣的事情發生一定意味著有什么更深刻的內涵.請見下節的討論.

3 出現磁單極導致不存在作用量體系的啟示

上節討論了一個在球心具有單位磁荷的磁單極、限制在單位球面上電荷q質量為m的質點系統，對此質點來說它的運動范圍被限制在三維空間的一個二維球面上，它自己的運動實際上是這個二維球面上的一條曲線，即它的實際運動軌跡是一維的，具體運動軌跡由方程(13)決定.我們發現這個系統的作用量是不存在的，如果非要強行寫下來它的作用量應該是

它由于矢量勢無法定義因而也是沒有很好定義的.既然此系統作用量不存在，它一定會有某些特別之處，深度挖掘也許會給我們有價值的啟示.首先注意到作用量式(14)實際并未涉及所討論的球面的全部，而只是球面上涉及質點所走過的曲線.因此由上節中證明的矢量勢在整個球面上沒有很好的定義，所導出的作用量沒有很好的定義實際上并不真的發生在整個球面上，而只是在球面上質點所走過的曲線上沒有很好定義.

為了能繼續深入下去，考慮一個子情形: 其中粒子在球面上走了一個閉合回路γ，也就是r(t初始)=r(t結尾),具體如圖2所示.

圖2 在球心有磁單極的單位球面上的帶電質點走過了閉合回路γ

由于粒子走的是閉合路徑，這個回路γ就把球面分割成為D和D′兩個區域.而作用量中出問題的涉及磁單極貢獻的矢量勢的最關鍵項可以寫為

其中由于r(t初始)=r(t結尾) ，積分變成一個回路積分，因而可以利用格林積分公式把在回路γ上的曲線積分轉化為回路所包圍的表面D上的曲面積分，而被積函數相應地轉變為矢量場的旋度,也就是磁感應強度.雖然矢量勢是奇異的，但最后結果并不依賴它，而只依賴一個沒有奇異被很好定義的磁感應強度.把式(15)代回式(14)，發現對粒子走一個回路的情形，作用量不是不存在或不能很好定義的，而是存在且能很好定義的量，

代價是此質點系統的描述不再只局限在它所運動的路徑γ上了，它與磁單極相關的部分必須被擴充到它所沒走過的區域D，而γ只是D的邊界.從這個角度看，在球面上，雖然矢量勢沒有很好定義，但作用量確能夠很好定義，只不過是超出了質點所走的路徑.如何理解這個結果？

首先，作用量按其原始定義都只存在于坐標所經歷的區域，對粒子來說就是在它所走過的路徑上，此路徑對目前的系統是一維的.超出這個區域意味著要用非坐標所經歷的區域(姑且把它定義為非物理區，對應坐標經歷的區域叫物理區)的東西來表征在物理區里所展示的物理，對目前的系統就是要用延展到粒子所沒走過的二維表面D上的磁場來表征在軌道γ上運動的粒子涉及磁單極部分的作用量.這隱含了兩層意思: 對涉及磁單極部分的作用量，一是物理區域(目前即為粒子所走的路徑)自己在作用量層面上已經無法有效地描述自己的運動了(體現為作用量不存在)，非需要非物理區域(目前就是粒子足跡未曾踏及的區域D)的某些東西的介入.再有就是在目前系統從物理區域到非物理區域涉及了空間維數的升高，

原本物理一維曲線上的事務現在需要在非物理的二維曲面上辦理才可以.

再有在目前這個系統中，對涉及磁單極部分的作用量，這個一維不存在作用量的區域和二維存在作用量的區域的聯系是，一維物理區域是二維非物理區域的邊界，這體現了某種全息性: 二維不可觀察(也就是粒子沒有踏及)的非物理區的信息全都最后以實際的粒子運動展現在了一維可觀察(粒子真實走過)的物理區內，即大范圍區域的信息在小范圍區域展示.到此為止，好像我們被啟發了一些似是而非的“洞見”.這些結果在當今量子場論最前沿的進展中有進一步的發展，我們不在這里介紹.

故事還不止于此，注意到在圖2中D和D′兩個區域實際上是對稱的，在應用格林公式時結果既可表達在D上，也可表達在D′上，表達式由于回路正方向和曲面法向相同或相反會導致相差一個負號.這兩個區域的結合會導致更奇葩的結果.首先利用

這實際上是磁場的高斯定理，它把在區域D上的磁單極所產生的磁通量與在D′上的磁通量關聯起來了，

這樣又得到在第一篇文章[1]中所得到的電荷量子化條件.我們發現只要涉及磁單極和量子力學，電荷就要量子化！

4 結語

磁單極存在導致在物理區域不存在的涉及磁單極的作用量可以在延拓到以物理區域作為邊界的高維非物理區域存在，并且考慮到量子力學則要求電荷是量子化的.

[1] 王青.電磁學與電動力學中的磁單極——I[J]. 物理與工程，2013，23(6): 8-11.

[2] 王青.電磁學與電動力學中的磁單極——II[J]. 物理與工程，2013，24(5): 29-33.

[3] Witten Edward. Global aspects of current algebra [J]. Nucl Phys, 1983, B223: 422-432.

祝賀張曉光教授榮獲“北京高校教學名師獎”

近日，北京郵電大學理學院張曉光教授被評選為“第十一屆北京市高等學校教學名師”.作為基礎物理教師和光纖通信專家，他將基礎物理教學工作與光纖通信科研工作完美結合，走出了一條教學與科研相互促進，教學成果與科研成果雙豐收的學術之路.

張曉光教授1994年和1996年在我刊發表《普通物理教材中氦氖能級圖的一些問題》和《利用波疊加觀點討論光波導模式的物理意義》；今年還應編輯部特約在第3期發表2015國際光年專題文章之一《光纖偏振控制研究：從理論和實驗到應用》，同期彩頁上還發表了《風采實錄：張曉光教授和他的教學與科研并重之路》.

《物理與工程》編輯部

MAGNETIC MONOPOLE IN ELECTROMAGNETISM AND ELECTRODYNAMICS—Ⅲ

Wang Qing

(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084)

This is the third paper in the series of magnetic monopole. These series include four individual papers. They discover some peculiar properties of magnetic monopole which will be introduced as popular science in the frameworks of electromagnetism and electrodynamics. In this particular paper, we use an example to illustrate the presence of a magnetic monopole and the action relate to magnetic monopole do not exist in the physical region for a point charge system, however it can exist in a higher dimension non-physical region where the physical region is the boundary of non-physical region. Also, the charge is quantized if we put quantum mechanics into consideration.

magnetic monopole; least action; high dimension; holography; charge quantization

2015-05-21

王青，男，教授，主要從事理論物理的科研和教學工作，研究方向為量子場論與基本粒子理論.wangq@mail.tsinghua.edu.cn