基于改進Cao算法確定奇異譜嵌入維數(shù)及應用

岳 順，李小奇，翟長治

（1．河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京210098；2．河海大學 水利水電學院，江蘇 南京210098）

我國自20世紀90年代起，在一些大型重要橋梁上均建立了不同規(guī)模的健康監(jiān)測系統(tǒng)，在這些橋梁關鍵部位均布設有GPS監(jiān)測點，由于監(jiān)測點變形的錯綜復雜性，變形監(jiān)測序列可能包含各種各樣的誤差與變形信息，必須通過對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行綜合處理分析，提取變形信息，發(fā)現(xiàn)變形規(guī)律。因此，針對不同橋梁的特點，在其運營期進行變形監(jiān)測和養(yǎng)護維修，通過對監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理與分析，挖掘提取結構變形特征，分析評定結構安全狀態(tài)，對潛在的結構和功能危險進行預警，對確保橋梁的安全，減少災害的發(fā)生具有十分重要的意義［1］。

基于主分量的奇異譜分析（singular spectr u m analysis，SSA）作為數(shù)字處理技術早已被廣泛應用，SSA的功能是對于原序列隱含的波形信號從它的含噪聲的有限長觀測系列中提取。但是由于奇異譜分析嵌入維數(shù)（Embedding Di mension），也稱窗口長度，大多數(shù)人是靠經(jīng)驗或者交叉驗證的統(tǒng)計方法來確定最佳的嵌入維數(shù)。但是這些方法具有很強的主觀性，缺乏實質性的分析，而由Cao Liangyue提出的Cao算法，由于其算法簡捷，易于實現(xiàn)，且實用性強，因此獲得廣泛的應用。本文基于Cao算法來確定SSA嵌入維數(shù)，并通過仿真實驗，驗證其可行性，最終通過SSA對蘇通大橋索塔GPS的監(jiān)測序列進行分析，得到較好結果。

1 Cao算法

Cao算法具有對數(shù)據(jù)長度依賴不強，能清楚地區(qū)分真實信號和噪聲，以及計算效率高等優(yōu)良特性［2－3］。首先，根據(jù)式（1）計算相空間中的點在各嵌入維數(shù)條件下的最近鄰點的距離變化值。

其次，根據(jù)式（2）計算相同維數(shù)下距離變化值的平均值。

式中：E（M）為所有a（i，M）的均值。最后，根據(jù)式（3）檢測E（M）的變化情況。

若當M＞M0時，E1（M）停止變化或變化波動較小，那么最小嵌入維數(shù)為M0＋1。

2 改進的Cao算法

Cao算法存在的問題是：在確定嵌入維數(shù)M時，是依據(jù)E1（M）停止變化為標準，但并沒有給出判斷停止變化的準則，僅依靠主觀判斷，而實際時間序列E1（M）是經(jīng)常有起伏的，很少出現(xiàn)嚴格意義上的停止變化，這給M的確定帶來困難。針對上述問題，本文對Cao算法提出改進，提出嵌入維數(shù)的穩(wěn)定性準則，計算步驟如下：

1）計算：

2）可根據(jù)E1的波動情況選取一個閾值e，找到第一個Δi＜e對應的下標u，計算：

3）重新設置：

4）取j≤i≤N－2，當Δi＞Δi＋1且Δi＋1＞Δi＋2且Δi＋1＜e時，嵌入維數(shù)M＝i＋1。

3 SSA原理

SSA是在Karhu men－loeve分解理論的基礎上形成的[4]，對象是經(jīng)過中心化的一維時間序列｛xt，t＝1，2，… ，N ｝，N表示時間序列長度。它可以從含噪聲數(shù)據(jù)序列中提取具有顯著周期振蕩行為的信號分量，并有效利用周期分量重建序列的預測技術，通過提煉數(shù)據(jù)主要成分，過濾掉非周期性的異常噪聲，達到降噪的目的［5］，進而得到序列變化的趨勢。SSA計算步驟如下：

3．1 確定嵌入維數(shù)M

把時間序列時延地排列成M階遲延矩陣

其中：

它稱為X的第i個狀態(tài)向量，共有N－M＋1個狀態(tài)［6］。

3．2 計算X的協(xié)方差矩陣S x

其中：

s（t）為時間序列遲后為t的自協(xié)方差，0≤t≤M－1。Sx的特征向量Ek反應時間序列x中的時間演變型，在SSA中稱為T－EOF，另外

稱為時間主成分（T－PC）。

3．3 重建成分

SSA最重要的應用是重建成分Rc（Reconstr uction），利用第k個T－EOF和T－PC重建成分ykt，則

原序列可以表示為所有重建成分的和，為

但在實際應用中通過使兩個指標，即噪聲殘余能量指標和信號畸變指標［7］同時達到最小來確定主分量的截斷位置，即p之所在。選取前p個具有顯著波形或周期分量重建原序列為

在SSA分解的基礎上重建分量序列，從而研究重建分量的長期變化特征。

4 仿真實驗

采用加噪序列

它由原序列為

和隨機噪聲w（t）組成，實驗前進行數(shù)據(jù)中心化，根據(jù)式（1）、式（2），隨著 M 的增大計算出式（3）的值，得到圖1。

圖1 仿真序列嵌入維數(shù)與E 1的關系

從圖1可以看出，當M＝20時，E1開始穩(wěn)定下來，但有些波動，這些波動對確定嵌入維數(shù)造成一定的影響，根據(jù)圖1的E1的波動情況，選取e＝0．0001利用改進的Cao算法可以解決這個問題，求出嵌入維數(shù)M＝42，然后利用求的嵌入維數(shù)對仿真序列進行SSA。為了突出SSA的效果，把當M＝20、M＝42時的原始序列、加噪序列和奇異譜分析后重建序列畫出來，得到圖2、圖3。

圖2 M＝20時仿真原序列、加噪序列和SSA分析后重建序列分布情況

圖3 M＝42仿真原序列、加噪序列和SSA后重建序列分布情況

從圖2、圖3中，當M＝42時，SSA重構序列較平滑，為了定量表示去噪的效果，引入平滑度系數(shù)r，其中

式中：f（i）表示原始序列；＾f（i）表示 SSA 去噪后重建序列；N表示序列長度，平滑度系數(shù)越小，表示去噪效果越好。當M＝20 M＝42時分別求出r為r20＝0．1801，r42＝0．0012，基于改進的 Cao得到的平滑度系數(shù)較小，說明改進的Cao算法具有較高的平滑度，去噪效果更好。經(jīng)過重建序列，原始時間序列中的主要趨勢成分和振蕩周期得到有效提取，噪聲干擾項明顯降低，說明基于改進的Cao算法能夠很好地確定嵌入維數(shù)，其對接下來的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理將提供幫助。

5 監(jiān)測數(shù)據(jù)處理

索塔是斜拉橋關鍵的工程部位，因為索塔不僅要承擔它本身的重量，還要承載全橋的荷載。因此，監(jiān)測與分析橋梁索塔的動態(tài)特性，包括變形幅度、振動的頻率、趨勢，可為確定橋梁索塔狀態(tài)提供可靠的科學依據(jù)。GPS對索塔的變形監(jiān)測是隨著時間進行的，可以看成是一種時間序列。奇異譜分析是可以較好地從含噪聲的有限尺度時間序列中提取信息，目前已應用于多種時間序列的分析中［8］。

監(jiān)測數(shù)據(jù)選自2012年3月1號0時到3月7號0時的7 d的蘇通大橋索塔監(jiān)測數(shù)據(jù)，采樣周期是5 min，首先進行數(shù)據(jù)中心化。蘇通大橋索塔變形監(jiān)測分為3個方向：X，Y，Z。分別對X，Y，Z 3方向運用改進Cao算法得到的嵌入維數(shù)M與E1的關系圖，如圖4～圖6所示。

圖4 X方向嵌入維數(shù)與E 1的關系

從圖4～圖6中可以看出隨著嵌入維數(shù)M的增大，X，Y，Z趨于穩(wěn)定，但是有點波動，基于改進的Cao算法求解嵌入維數(shù)，得到3個方向的嵌入維數(shù)分別為45、47、92。利用得到的嵌入維數(shù)，對監(jiān)測時間序列進行SSA，并做變形趨勢擬合，得到圖7～圖9。

圖5 Y方向嵌入維數(shù)與E 1的關系

圖6 Z方向嵌入維數(shù)與E 1的關系

圖7 X方向SSA前后序列及趨勢項序列的分布情況

根據(jù)式（17），求得X，Y，Z 3方向的平滑度系數(shù)分別為rx＝0．0007，ry＝0．0009，rz＝0．0083，三者的平滑度系數(shù)都很小，說明SSA對3方向序列有著顯著去噪效果。從圖7～圖9中X，Y，Z 3方向重構序列表現(xiàn)的比原序列光滑，沒有出現(xiàn)明顯銳角變化情況，具有顯著降噪的功能，其基本上反映原始序列的波動變化，較好地捕捉到原始序列的趨勢項。另外可以看出索塔在X方向的波動范圍比Y，Z方向大，而且具有一定的周期性，周期約為1 d，從X方向SSA后重建序列可以看出當白天溫度變化劇烈時，索塔混凝土膨脹收縮的較劇烈，索塔的變形量也同時變化顯著，晚上溫度變化緩慢，索塔混凝土膨脹收縮較平緩，索塔的變形量也跟著變化緩慢，但是索塔變形總能回到平衡位置，這與一天的溫度變化相符合，說明溫度對索塔有一定的影響，從整體的變形趨勢可以看出3方向的變形都趨于穩(wěn)定狀態(tài)，說明大橋處于良好的工作狀態(tài)。

圖8 Y方向SSA前后序列及趨勢項序列的分布情況

圖9 Z方向SSA前后序列及趨勢項序列的分布情況

6 結束語

根據(jù)上述分析，本文針對奇異譜分析時間序列嵌入維數(shù)存在主觀性問題，提出基于Cao算法確定嵌入維數(shù)，同時對算法存在的不足，提出了改進。通過仿真試驗，證明改進的Cao算法具有很好的準確性、穩(wěn)定性及實效性，可以為奇異譜分析時間序列提供良好的基礎，最后將其應用到GPS變形監(jiān)測數(shù)據(jù)上，表現(xiàn)其對GPS數(shù)據(jù)的顯著的降噪能力。分析溫度對索塔變形的影響，本文僅從外部GPS變形監(jiān)測序列進行分析，但是具體索塔內(nèi)部影響因子對索塔變形的影響還需進一步探索與研究。

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