經(jīng)典平差函數(shù)模型的概括形式分析

劉志平，張書畢，卞和方

（中國礦業(yè)大學(xué) 國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江蘇 徐州221116）

《誤差理論與測量平差基礎(chǔ)》是測繪專業(yè)的八大公共專業(yè)基礎(chǔ)課之一，該課程教學(xué)內(nèi)容受到高度重視［1－2］。經(jīng)典平差函數(shù)模型已發(fā)展為條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差、附有限制條件的間接平差以及附有限制條件的條件平差模型五種基本形式，但在過去較長時期內(nèi)沿用平差方法介紹孤立的體系［3］。對此，於宗儔［3］教授提出以附有限制條件的條件平差模型統(tǒng)一各種經(jīng)典平差模型（為敘述方便，簡稱於氏概括模型），對引導(dǎo)學(xué)生理解各種平差函數(shù)模型的區(qū)別與聯(lián)系起到了極大的作用。此外，王新洲［4］教授指出概括平差模型只是在形式上統(tǒng)一各種平差模型，但沒有真正揭示各種經(jīng)典平差模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，并證明附有限制條件的間接平差即為各種經(jīng)典平差模型的概括模型（簡稱王氏概括模型）。

在證明各種經(jīng)典平差模型的數(shù)學(xué)等價性方面，王氏概括模型優(yōu)于於氏概括模型；而在指導(dǎo)測量平差應(yīng)用中的參數(shù)選取等方面，於氏概括模型優(yōu)于王氏概括模型。例如，文獻［4］在證明條件平差模型是王氏概括模型的特例時，設(shè)參數(shù)個數(shù)與觀測數(shù)相等。這本身只是一個數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，易使初學(xué)者對剛掌握的“觀測數(shù)”、“多余觀測”、“參數(shù)”等重要概念產(chǎn)生混淆［5］。鑒此，為進一步在教學(xué)過程中突出測量平差理論的核心、反映經(jīng)典測量平差的研究對象－偶然誤差或帶有偶然誤差的觀測值，并在此基礎(chǔ)上提出另外一種概括模型形式－等價條件平差模型。

1 於氏概括模型的完備

對于某一平差問題，設(shè)觀測數(shù)為n，必要觀測數(shù)為t，則多余觀測數(shù)r＝n－t。r個多余觀測必然產(chǎn)生r個關(guān)于觀測值的一般條件方程。若選用u個參數(shù)，且參數(shù)之間可以形成s個函數(shù)關(guān)系式，則必然產(chǎn)生u－s個關(guān)于觀測值與參數(shù)的一般條件方程、s個關(guān)于參數(shù)的限制條件方程。因此，一般條件方程個數(shù)為c＝r＋u－s，限制條件方程個數(shù)為s。因此，根據(jù)上述平差問題，可形成於氏概括平差模型：

式中：A，B，C為已知的系數(shù)矩陣；W＝－（AL＋Bx0＋A0）為具有參數(shù)的條件方程閉合差；Z＝－（Cx0＋C0）為限制條件方程閉合差；DL為觀測值L的方差陣；V，x分別為待求的殘差與參數(shù)改正向量。

為保證平差函數(shù)模型解估計的存在性，應(yīng)滿足

因此，平差模型中的矩陣應(yīng)滿足：A為行滿秩矩陣，B為列滿秩矩陣或為列滿秩矩陣

C為行滿秩矩陣。基此，結(jié)合三大類參數(shù)選取方式，可以獲得五種基本平差模型形式，見表1。

表1 完備的平差函數(shù)模型

分析三大類參數(shù)選取及其對應(yīng)概括模型中的矩陣性質(zhì)：

1）當(dāng)不選取任何參數(shù)時，其參數(shù)數(shù)目u＝0，可建立條件平差模型，即B＝0，C＝0，A為行滿秩矩陣的概括模型。

2）選取獨立參數(shù)，其數(shù)目理論上滿足0＜u≤t。若0＜u＜t，則可建立附有參數(shù)的條件平差模型，即相當(dāng)于C＝0、A為行滿秩矩陣、B為列滿秩矩陣的概括模型。若u＝t則可列立間接平差模型，即相當(dāng)于A＝－I，C＝0。

3）當(dāng)選取的參數(shù)具有函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，其數(shù)目理論上滿足u＞0。若其中參數(shù)獨立數(shù)不超過必要參數(shù)個數(shù)t，則參數(shù)數(shù)目u＞0，可列立附有限制條件的條件平差模型，相當(dāng)于A為行滿秩矩陣，ˉB為列滿秩矩陣，C為行滿秩矩陣的概括模型；若其中參數(shù)獨立數(shù)恰好為必要參數(shù)個數(shù)t，則參數(shù)數(shù)目u＞t，可列立附限制條件的間接平差模型，即相當(dāng)于A＝－I，B為列滿秩矩陣，C為行滿秩矩陣的概括模型。

綜上所述，從參數(shù)數(shù)目u取值范圍的角度看，表1描述的經(jīng)典平差模型是完備的。然而現(xiàn)有文獻［6］介紹的附有限制條件的條件平差，對參數(shù)數(shù)目的要求（0＜u＜t）是不完備的，現(xiàn)有教材對u≥t且其中獨立參數(shù)少于t的情況沒有考慮。對此，曾在文獻［7］針對參數(shù)u＝t且其獨立參數(shù)少于t的附有限制條件的條件平差解法進行完善，其思路可以推廣至參數(shù)取值范圍完備的於氏概括平差。

2 等價條件平差模型

討論參數(shù)完備條件下的於氏概括模型，為平差模型應(yīng)用中的參數(shù)選取提供依據(jù)，同時也建立必要觀測、多余觀測、參數(shù)等基本概念與測量平差模型的聯(lián)系。

1）附有參數(shù)的條件平差模型、間接平差模型。首先，對任意列滿秩矩陣B，其零空間投影算子［8］HB可以仿照平差因子［9－12］得到

其中，零空間投影算子滿足HBB＝0。

進而，對附有參數(shù)的條件平差模型、間接平差模型分別左乘上述零空間投影算子HB，便可消去其中的獨立參數(shù)，由此可得相同形式的條件平差模型

經(jīng)零空間投影算子HB處理后，上述兩種基本平差模型均具有“條件平差模型”的形式。分析零空間投影算子可知，零空間投影算子HB的維數(shù)為c×c，由于附有參數(shù)的條件平差模型與間接平差模型的限制條件方程個數(shù)s＝0，則方程總數(shù)為c＝r＋u。另外，顧及到零空間投影算子的秩rank（HB）＝c－u，表明其僅r個行向量相互獨立。因此該“條件平差模型”具有r個有效的條件方程。

2）附限制條件的條件平差模型、附有限制條件的間接平差模型。與式（2）同理，令ˉBT＝［BC］可得列滿秩矩陣B的零空間投影算子 HˉB。

與式（3）、式（4）同理，對附有限制條件的條件平差模型、附有限制條件的間接平差模型分別左乘上述零空間投影算子HˉB，便可消去其中的相關(guān)參數(shù)，得到相同形式的條件平差模型

經(jīng)零空間投影算子HˉB處理之后，上述兩種基本平差模型均具有“條件平差”的形式。分別分析兩類零空間投影算子可知，HˉB的維數(shù)為（c＋s ）×（c＋s ） ，由于附有限制條件的條件平差模型、附有限制條件的間接平差模型具有s個限制條件，則方程總數(shù)c＋s＝r＋u。另外，考慮零空間投影算子的秩rank （HˉB）＝c＋s－u，表明其僅r個行向量相互獨立。因此該“條件平差模型”具有r個有效的條件方程。

綜上所述，式（2）、式（5）實現(xiàn)了四種基本平差模型至條件平差模型的轉(zhuǎn)換，證明了五種基本平差模型的等價性。因此，可將式（3）、式（4）、式（6）和式（7）以等價條件平差模型概括為

由前述分析可知，式（3）、式（4）、式（6）和式（7）的方程個數(shù)不少于r，但僅含有r個函數(shù)獨立的條件方程，即等價條件平差模型。此外，現(xiàn)有的於氏概括模型、王氏概括模型和本文概括形式——等價條件平差模型，從三個不同的角度均對各種經(jīng)典平差模型進行正確的概括，這本身也證明了各種經(jīng)典平差模型的等價性。本文僅對包含殘差向量V的等價條件平差模型進行概括，該特點便于在教學(xué)過程中使學(xué)生加深理解平差準則這一核心內(nèi)容。

實際上，在教學(xué)中要強調(diào)平差參數(shù)的引入僅是源于測量工作的實際需要，所需參數(shù)可能是函數(shù)相關(guān)、也可能是函數(shù)獨立的，而且參數(shù)個數(shù)也可因需要確定，但都不影響其平差實質(zhì)——對偶然誤差或帶有偶然誤差的觀測值按最小二乘準則進行調(diào)整。換言之，若不考慮實際工作，首先，不選任何參數(shù)而建立條件平差模型，之后根據(jù)所需參數(shù)與觀測值的函數(shù)關(guān)系進行參數(shù)估計、以及利用協(xié)方差傳播律進行參數(shù)精度評定。由此可知，本文概括模型凸顯了條件平差模型及與其他各種經(jīng)典平差模型的關(guān)系，也加強條件獨立與參數(shù)獨立、平差準則與平差模型等基礎(chǔ)概念的聯(lián)系，易使學(xué)生更加深刻理解“同一平差問題的平差結(jié)果不因平差函數(shù)模型的不同而不同”。

3 結(jié)束語

當(dāng)前，許多學(xué)者對各種經(jīng)典平差模型的等價性及其內(nèi)在聯(lián)系作了較為廣泛的探討。本文對比分析於氏概括模型、王氏概括模型的特點，同時從參數(shù)數(shù)目取值范圍的角度，完善於氏概括模型。在此基礎(chǔ)上，利用零空間投影算子（或稱平差因子）將各種經(jīng)典平差函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為等價條件平差模型，由此得出經(jīng)典平差模型的另一種概括形式。同時指出，等價條件平差函數(shù)模型僅包含殘差向量，便于加深學(xué)生對測量平差研究對象（偶然誤差或帶有偶然誤差的觀測值）、經(jīng)典平差理論核心（最小二乘平差準則）的理解。此外，推導(dǎo)過程中零空間投影算子的應(yīng)用，可讓學(xué)生對矩陣運算的重要性留下深刻印象，為學(xué)習(xí)高等平差做鋪墊。

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