基于組合積分系統的濾波

李娜，陳亮，任正云

（東華大學信息科學與技術學院，上海201620）

在信號采集過程中，由于外界干擾常常會在采集的數據中引入噪聲，有時甚至會使信號發生失真，因此對于采集的大量數據往往需要進行濾波，去除干擾[1]。數字濾波器在語音信號處理、信號頻譜分析、信號去噪及圖像信號等各種信號處理中都有廣泛的應用，無線脈沖響應（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器與有限脈沖響應（Finite Impulse Response，FFR）濾波器[2]相比，具有相位結構簡單、運算量小、經濟高效的特點，并且可以用較少的階數獲得很高的選擇性。

組合積分系統作為新型控制系統，廣泛存在于工業生產中，組合積分環節本質上是一個均值濾波器，具有一定抑制噪聲的能力。

本文在IIR數字濾波器算法基礎上，設計基于組合積分系統的濾波算法，仿真實例表明：應用組合積分系統進行濾波，濾波參數固定、隨機可調，與常用濾波方法相比具有明顯優點。

1 IIR數字濾波器設計原理與方法

IIR數字濾波器傳輸函數的標準表達式（1）及對應的差分方程（2）為：

設計遞歸濾波器就是確定濾波器的系數ak、bk，使它滿足濾波器的技術指標。

IIR濾波器的實現有多種結構，直接型、級聯型、并聯型及格型結構等。其中級聯型較為容易實現且易于實現高階濾波器，且任何高階IIR濾波器都能表示成一階和二階的級聯。

設計思路：根據任務確定數字濾波器的技術要求指標后，設計出與此性能相似的模擬濾波器，求出傳遞函數Ha（s），然后將Ha（s）按一定的方法轉換成數字濾波器的系統函數。主要實現方法包括沖激響應不變法和雙線性變換法。由于沖激響應不變法容易產生頻率混疊現象，故多采用雙線性變換法。

1.1 IIR數字濾波器的MATLAB實現

MATLAB信號處理工具箱實現IIR數字濾波器設計，流程圖如圖1所示。

文中采用巴特沃斯濾波器設計，MATLAB提供了估算濾波器階數的函數，格式：[n，wn]=buttord（wp，ws，ap，as，‘s’），給定濾波器性能參數情況下，選擇濾波器的最小階數n。其中wp是通帶頻率，ws是阻帶頻率，ap是通帶最大衰減系數，as是阻帶最小衰減系數，“s”代表模擬濾波器。數字濾波器階數估計時，wp和ws是歸一化值，只能在[0，1]上取值。IIR數字濾波器的完全設計函數有Butter、cheby1、cheby2、ellip。這些工具函數既可用于設計模擬濾波器，也可適用于設計數字濾波器

圖1 MATLAB實現IIR數字濾波器設計流程圖Fig.1 MATLAB realization of IIR digital filter design flow

2 組合積分系統

在過程控制領域，存在很多帶有時滯的積分系統，而一些帶有大慣性環節的一階過程也可以看成是積分過程[4-5]。在現代流程工業中，有許多過程是由多個不同的積分時滯項組成，但目前尚未引起人們的關注。蒸餾塔的底層過程具有傳遞函數k/s（1-2e-τ1s）e-τ2s，其是一個非最小相位時滯過程[6]。組合積分系統是一類新型的積分時滯過程系統，其傳遞函數由兩個或多個積分時滯對象組成并可表示為如下形式：

Gi（s）是不含積分環節的穩定多項式，式k/s（1-e-τs）是包含在組合積分系統中的穩定的系統，時間延遲τ1i，τ2i必須滿足等式：τ2i=τ2(i-1)+τ1(i-1)，1＜i＜n保證了過程的連續性。

2.1 組合積分環節本質

假設指數有界信號f（t），其變換為F（s），將其乘以組合積分環節g（s）:

得傳輸函數：

對式（4）求反變換可得：

式（6）右部可解釋為對信號f（t）在長度為τ時間段[t-τ，t]上進行積分，對所得積分除以時間長度進行τ平均，相當于對信號f（t）在長度為τ時間段[t-τ，t]上進行的均值濾波算法。故式（4）所定義的組合積分環節等同于一個均值濾波器，與均值濾波器具有相同作用。均值濾波器是低通濾波器的一種特例，由此推出此組合積分環節為一個均值濾波器。

低通濾波器是數字濾波器的基礎，高通及帶通濾波器都可由低通濾波器轉換實現。在設計基于組合積分系統濾波時可人為改變延遲時間的大小，便可控制參與均值濾波的項數。濾波器項數越大，低通濾波效果越好，濾去的高頻分量越多。

2.2 組合積分環節方框圖分析

用于濾波的組合積分系統濾波方框圖如圖2所示。

圖2 組合積分系統濾波框圖Fig.2 Block diagram of combined integral control system

傳遞函數為：

參數τ1控制參與均值濾波的項數，參數τ1，τ2共同控制高通濾波，參數K控制最后輸出濾波與實際濾波的誤差。

低通濾波環節傳遞函數為：

如式（6）推導知，此環節實現信號低通濾波的效果，時滯常數τ1可控，決定參與均值濾波的項數。τ1越大，低通濾波效果越好，濾去的高頻分量越多，濾波后的信號越平滑。

高通傳遞函數為：

原信號通過延時環節不會改變原信號的頻率，改變原信號的相位。而信號通過環節后只剩低頻信號，即用原信號減去低頻信號等同于高頻濾波作用，故此環節實現的是高通濾波的作用。

最終濾波環節傳遞函數g′（s）為：

g′（s）作用等同于g1（s）將信號的頻譜放大K倍，信號通過濾波環節之后會有衰減，放大倍，可減小信號與濾波信號的誤差。高頻濾波后信號通過此低頻濾波環節，濾出高頻環節后信號中相對的低頻信號，信號達到了帶通濾波的效果。

3 組合積分系統濾波計算機輔助設計

MATLAB信號處理工具箱的兩個基本組成就是濾波器的設計和實現及頻譜分析，工具箱提供了豐富而簡單的設計，使原來繁瑣的程序設計簡化成函數的調用，特別是濾波器的表達方式和濾波器形式之間的相互轉換顯得十分簡便，為濾波器的設計和實現開辟了一片廣闊天地。

IIR濾波器目前最通用的方法是利用已成熟的模擬濾波器的設計方法來設計。IIR的設計都包括以下3個步驟：給出所需要的濾波器的技術指標；設計一個使其逼近所需要的技術指標；實現所設計的H（z）[6]。

3.1 Simulink仿真

Simulink仿真環境中建立組合積分系統模型，實現對信號動態的頻譜分析。支持圖形用戶界面，并提供了許多自帶的模塊庫，使建模過程像是壘積木一樣簡單易行。基于組合積分系統濾波系統模型圖如圖3所示。該仿真模型中共有5個示波器，示波器用來顯示濾波后的時域響應。

濾波結果分別如圖4～圖7所示，由圖4可以看出，濾波前時域波形比較雜亂，無法識別出信號周期；濾波之后無論是LP、HP、BP信號都特別穩定，濾波效果比較好。

圖3 基于組合積分系統濾波仿真模型Fig.3 Combined integrating control system simulation model

圖4 復合信號時域波形Fig.4 Time-domain waveform before filtering

圖6 高通濾波后信號時域波形Fig.6 Time-domain waveform of the HP filtered signal

圖5 低通濾波信號時域波形Fig.5 Time-domain waveform of the LP filtered signal

圖7 信號對比時域波形Fig.7 Comparison of time domain response

3.2 濾波算法分析

圖4和圖5分別為巴特沃斯低通和高通濾波后信號的時域響應。濾波器前信號中有0.03 Hz、0.3 Hz、1 Hz共3個信號頻率，圖4濾波后只剩下0.03 Hz信號頻率，其他高于0.03 Hz的頻率信號已經被濾除。圖5濾波后只剩下0.3 Hz和1 Hz共2個信號頻率，其他低于0.3 Hz的頻率信號已經被濾除。

采用基于組合積分系統濾波出的信號很穩定，只含有一種頻率的信號，噪聲少，信號平滑。IIR數字濾波器設計的巴特沃斯濾波程序，濾波后的信號中噪聲較多，采用組合積分系統濾波效果較好。

圖8 帶通濾波后信號時域波形Fig.8 Time-domain waveform of the BP filtered signal

4 結論

MATLAB仿真可以非常方便設計出具有嚴格線性相位要求的濾波器，在應用中只需對程序中濾波器的起始頻率、截止頻率、采樣頻率和窗函數等參數進行修改就可實現需要的濾波功能，實用性強[7]。

采用組合積分系統濾波是在數字濾波算法的基礎上提出的一種新的濾波算法，通過構建系統模型，根據需求調節延時常數、、及常數來實現濾波，簡單易懂，易操作。下一步工作是采用該方法對其它周期信號（方波、三角波）進行有效的設計，實現濾波效果。

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