含間隙曲柄滑塊機構的動力學建模及誤差補償

，王湘

(南華大學 機械工程學院，湖南 衡陽 421001)

0 引言

由于加工設備的精度不同、零部件安裝的需要以及構件在長期運行過程中的磨損，構件間的運動副中會出現間隙。間隙的普遍存在使得機械系統的運動精度大大降低，因此對含間隙機構的運動特性進行分析提高其運動精確性就顯得十分必要。很多國內外的專家學者對此進行了大量的研究。Wu和Earles[1]利用無質量桿描述了間隙特性，多數研究人員利用了彈簧和阻尼器的方法來描述間隙特性，例如，Kelvin-Voigt模型是線性彈簧阻尼模型；Hertz模型認為間隙接觸力是完全彈性形變造成的非線性力；Hunt和Crossley[2]模型在Hertz模型的基礎上綜合考慮彈性力和阻尼的非線性；Lankarani-Nikravesh[3]模型從能量損失的角度入手對接觸力進行計算。

在低速運動的情況下，能量損失較小，本文應用線性的阻尼力來代替文獻[3]中的非線性彈性阻尼模型，利用simulink對模型仿真，并進行實驗；并與無間隙模型對比找出誤差的具體情況并進行相應的補償。

1 實驗系統搭建

本文以伺服電機驅動含間隙的曲柄滑塊機構，實時測量滑塊的位移數據，并進行對比分析。搭建的實驗系統如圖1所示。

圖1 實驗流程圖

實驗系統動力為安川伺服電機(型號為SGM7J-04AFC6E)，調速范圍為0～3 000 r/min。電機與減速器(減速比30∶1)采用彈性聯軸器連接，曲柄轉速0～100 r/min。曲柄帶動連桿推動滑塊做周期性的往復運動，滑塊位移由無觸點角度傳感器測得，電源(EM1713A)對傳感器供電，并由數據采集卡(PCI-1710U)采集并記錄在工控機中。具體實驗過程如圖2。

圖2 含間隙曲柄滑塊實驗機構

實驗裝置中的曲柄長度L1=35.8 mm、質量m1=0.32 kg、相對于質心轉動慣量I1=1185.4 kg·mm2，連桿兩端孔中心長度L2=245.88 mm、質量m2=0.175 kg、連桿相對于質心轉動慣量I2=4751.3 kg·mm2，滑塊質量m3=0.895 kg，連桿和滑塊間軸銷與軸套的半徑差e=0.5 mm，軸銷半徑R=4 mm。

滑塊下方通過齒條與傳感器測量軸上的齒輪嚙合齒輪半徑為15 mm，傳感器的電壓輸出經換算得出滑塊位移區間在[0 mm，72 mm]。

2 曲柄滑塊機構模型建立及驗證

2.1 理想曲柄滑塊機構的建模

圖3 理想曲柄滑塊示意圖

圖3是理想的曲柄滑塊機構，圖中θ1為曲柄轉角，θ2為連桿轉角，L1、L2分別表示曲柄、連桿的長度，L3為滑塊的位移。建立起如下系統方程[5]：

(1)

2.2 含間隙曲柄滑塊機構建模

含間隙曲柄滑塊機構如圖4所示。本文采用的實驗機構中曲柄和連桿連接處的間隙遠小于連桿與滑塊連接處的間隙，因此只分析后者。為了方便觀察放大了間隙部位，大圓代表滑塊上軸套的內徑，小圓代表連桿末端軸銷的外徑。Lc1為軸套和軸銷的中心距，θc1為它們連心線段與X軸的夾角，θ1為曲柄轉角，θ2為連桿轉角，Fijx和Fijy為i、j兩構件的作用力在X軸和Y軸上的分量。

圖4 含間隙曲柄滑塊示意圖

2.2.1 建立力學方程[4]

對曲柄建立力學方程得：

(2)

對連桿建立力學方程得：

(3)

(4)

對滑塊建立力學方程：

(5)

2.2.2 機構的封閉矢量環方程

(6)

2.2.3 接觸力計算

(7)

令δ=Lc1-e(e為軸套半徑與軸銷半徑差)，當δ>0時S=0；當δ≤0時S=1。

軸套與軸銷在接觸點處的法向相對速度和切向相對速度為：

(8)

式中：ex=Lc1cosθc1，ey=Lc1sinθc1。

于是接觸力的法相分量與切向分量為：

(9)

式中：K—剛度系數，μ—軸套和軸銷的摩擦系數，Cn—法相阻尼，Ct—切向阻尼。

接觸力分別向X軸和Y軸投影得：

(10)

Cc1=cosθc1，Cn=220 N·s/m，Ct=0 N·s/m[5]。

聯立上述方程，在Matlab的Simulink工具中建立仿真模型，編寫Matlab Function并設置各個模塊的參數進行仿真，保存仿真數據。

2.3 模型驗證

在Simulink工具中搭建RTW平臺進行數據采集，得到滑塊位移如圖5、圖6。

圖7 濾波以后的滑塊位移誤差

對誤差進行濾波(以下誤差圖均經過濾波)，去掉失真值后結果如圖7所示。

圖5為電機轉速在1 200 r/min時滑塊位移隨時間的變化，從圖中可以看出含間隙模型與實際系統輸出吻合的很好，由圖7可以計算出誤差的均方差為0.418 mm，說明含間隙模型與機構實際運行情況一致。

為防止單次實驗的偶然性，分別進行了電機在1 500 r/min和1 800 r/min時理論模型與實際輸出的對比分析，結果如圖8和10。從圖中可以看出不同轉速下含間隙模型與實際輸出吻合程度很高。表1是不同轉速下誤差的均方差，通過含間隙模型與實際輸出的對比，驗證了含間隙曲柄滑塊機構模型建立的有效性，可近似用含間隙模型代替實際機械系統。

表1 滑塊位移誤差的均方差

3 運動控制

本文用無間隙的理想模型作為控制標準，在實際情況中可能因工況不同有不同的控制標準，由圖13可知滑塊實際位移和無間隙模型還有較大差距，這主要是因為間隙的存在使得滑塊在每個運動周期中運動到最遠位置或最近位置時，連桿的軸銷在滑塊的軸套中反向運動需要時間通過間隙，使實際運動較理想運動有所滯后。經計算得該誤差的均方差為1.139 mm，說明滑塊的實際位移與理想位移之間還有一定的差距，有很大的補償空間。

由于電機在控制過程中存在加速減速過程，使得機構運動存在滯后，為了讓電機速度變化幅度較小，建立機構的逆模加入控制系統,由圖13得：

(11)

分別向X軸Y軸分解得：

(12)

移項并兩邊同時平方得:

(13)

式(13)中兩式相加并變形求得θ1為：

(14)

PID控制具有算法簡單，魯棒性強的優點被廣泛應用于各種工業過程的控制中，下面結合逆模前饋控制與PID反饋控制來增強對系統的控制。本文運用基于誤差的比例-積分-微分控制器(圖14)在仿真的基礎上進行試驗。

圖14 加逆模前饋的PID控制原理圖

圖15為PID加逆模控制的結果經計算得誤差的均方差為0.410 mm。從圖16可以看出補償后的誤差比補償前的誤差減小了64%，使得系統的穩定性有了較大的提高，說明了補償方法的有效性。

4 結論

1)以非線性彈簧阻尼碰撞模型為基礎，從力學角度出發建立了含間隙曲柄滑塊機構的動力學方程，得到機構的系統矩陣，搭建了系統的仿真模型并進行仿真。

2)搭建實驗系統，改變電機轉速進行多次實驗，采集實驗數據并與仿真數據對比，得到誤差均方差都在0.5 mm以下，驗證了所建模型的準確性。

3)對系統實施PID加逆模控制，把誤差降低64%有效提高了系統的穩定性。

4)實際情況與無間隙的理想模型還有一定差異說明雖然間隙很小但對于機構運動的精確性影響較大，更精確的控制還有待進一步研究。

[1] Earles S W E,Wu.Motion analysis of a rigid link mechanism with clearance at a bearing using lagrangian mechanics and digital computation [C].Conference on Mechanisms, Landon: IME, 1972: 83-89

[2] Hunt. KH. Crossley. F.R. Coefficient of restitution interpreted as damping in vibroimpact[J]. Journal of applied mechanics.1975,42:440-445

[3] Lankarani HM, Nikarvesh PE. A contact force model with hysteresis damping for impact analysis of multibody system [J]. Journal of Mechanical Design.1990,112:369-376

[4] 楊倩. 基于SIMULINK的含間隙機構動力學仿真及可靠性研究[D].青島大學,2005

[5] 薛邵文,王湘江. 含間隙曲柄滑塊機構運動誤差分析及其精確控制[J]. 現代機械，2011(01)24-27