導數(shù)的概念及其幾何意義初探

包頭鐵道職業(yè)技術學院 魏志丹

導數(shù)的概念及其幾何意義初探

包頭鐵道職業(yè)技術學院 魏志丹

導數(shù)是微積分的核心所在，在整個數(shù)學學習過程中占有重要的地位和作用。使學生將導數(shù)這一知識點徹底

導數(shù) 概念 幾何意義 初步探究

一、引言

微積分的創(chuàng)建是數(shù)學發(fā)展中一項里程碑，為變量和函數(shù)的研究提供了重要的方法和手段。導數(shù)概念是微積分的核心所在，已經(jīng)成為解決數(shù)學問題的重要工具和手段。隨著新課程標準的改革與發(fā)展，導數(shù)在數(shù)學教學領域中占據(jù)的位置越來越重要，導數(shù)的方法已經(jīng)成為深入研究微積分的直接工具，對學生其他學科的學習以及教師對各個領域知識的研究都具有積極的促進作用，在當今我國的生產(chǎn)和生活中已經(jīng)得到了廣泛的應用。導數(shù)概念和幾何意義的學習為導數(shù)的應用和微積分的學習奠定了堅實的基礎，對知識具有過渡作用。學習導數(shù)的過程中，學生要了解導數(shù)的實際背景和概念，懂得如何應用導數(shù)的概念進行求導，并能夠解釋導數(shù)的實際意義。

二、導數(shù)的起源

導數(shù)是在“極限”和“連續(xù)”的概念與應用下提出來的。導數(shù)來源于兩個問題的研究，分別是曲線的切線問題和函數(shù)極大值與極小值的求法問題。數(shù)學家費馬是最早進行研究這兩個問題的，他為導數(shù)概念的提出提供了與現(xiàn)代形式最接近的啟示，而最終將這兩個問題完全解決的是牛頓和萊布尼茲。

17世紀歐洲的經(jīng)濟迅速發(fā)展起來，需要較高的科學技術作為支撐，在這樣的國際背景下，經(jīng)過各國數(shù)學家和科學家的不斷努力，微積分理論應運而生。在阿基米德等數(shù)學家提出的面積和體積計算方法的基礎上，牛頓于1665年創(chuàng)立了微積分，萊布尼茲于1673年到1676年也發(fā)表了關于微積分思想的著作，將微分和積分這兩種運算結合在一起，進行全方面的研究。

三、導數(shù)的定義和概念理解

1.導數(shù)的定義

導數(shù)是微積分中一個比較重要的基本概念。導數(shù)的定義分為第一定義和第二定義。導數(shù)的第一定義：設函數(shù) y = f(x) 在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x 在x0 處有增量x (x0+x 也在該鄰域內(nèi) ) 時相應地函數(shù)取得增量 ?y = (x0+ x) - f(x0) ，如果 y與 ?x 之比當 x→0 時極限存在則稱函數(shù) y = f(x) 在點 x0處可導，并稱這個極限值為函數(shù) ，在點 x0處的導數(shù)記為 ,即導數(shù)第一定義。導數(shù)的第二定義：設函數(shù) 在點 x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當自變量x 在 x0處變化 ?x ( x - x0也在該鄰域內(nèi) ) 時相應地函數(shù)變化y = f(x) - f(x0) , 當 x→0,如果 ?y 與 ?x 之比時極限存在,則稱函數(shù) 在點 x0處可導,并稱這個極限值為函數(shù) 在點 x0處的導數(shù)記為 ,即導數(shù)第二定義。

2.對導數(shù)概念的理解

對導數(shù)概念的應用并不僅僅局限在瞬時速度、切線的斜率，任何事物的變化率包括增長率、效率、密度以及膨脹率都可以用導數(shù)這一概念來進行描述。

3.導數(shù)的實質(zhì)

因為?y 與 ?x 之比是函數(shù)的自變量x由x0變到x0+ ?x時的平均變化率，所以導數(shù)的實質(zhì)是函數(shù)在點x0的變化率。

四、導數(shù)的幾何意義與應用

1.導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f（x）在x=0處的導數(shù)的幾何意義是曲線在x0處的切線斜率。而曲線在某一點處切線是這樣定義的：設曲線C是函數(shù)的圖象，在該曲線上任取一點P（x0,y0）和與點P相鄰的一點Q（x0+ ?x，y0+?y），經(jīng)過P、Q兩點作圖象的割線，當點Q沿著曲線無限接近于P時，也就是?x趨近于零時，如果割線PQ有一個極限位置PT，那么則稱直線PT為該曲線在點P處的切線。導數(shù)的幾何意義使導數(shù)概念更加直觀、形象和生動，將導數(shù)的概念轉化為幾何模型，是將導數(shù)作為數(shù)學工具并加以運用的一條重要途徑。

學習將導數(shù)的幾何意義應用到實際生活和生產(chǎn)中時，需要特別注意的是：函數(shù)在x0處的切線與函數(shù)過點的切線是不一樣的，在x0處的切線斜率k的大小是，而過點的切線卻不一定是。

2.導數(shù)幾何意義應用

導數(shù)的幾何意義在各個領域都得到了廣泛的應用，尤其是在物理領域，大家都知道物理與數(shù)學這兩個學科是相輔相成，相互支撐的。導數(shù)與物理幾何代數(shù)的關系非常密切，導數(shù)的幾何意義常用來求物理中的瞬時速度。這里我們舉個例子來說明導數(shù)的幾何意義是如何在物理中得到一個用的。汽車在5個小時內(nèi)行駛了300千米，則我們可以求出該輛汽車的平均速度是60千米/小時，但汽車在行駛的過程中，其速度的快慢變化并不是一直保持在60千米/小時。為了更好地反映汽車在行駛過程中速度的變化情況，我們可以利用導數(shù)的幾何意義將汽車的行駛時間無限縮小。設汽車所在位置s與時間t的關系為，那么，汽車在由t0時刻到t1時刻的這一段時間內(nèi)的平均速度就可以用[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]來表示，當 t1與t0無限趨近于零時，汽車行駛的速度變化就可以近似看作瞬時速度，約等于平均速度。

這里把當t1→t0時的極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度的物理過程等實際上就是將導數(shù)的幾何意義應用到物理中平均速度類比到瞬時速度的過程。

五、結論

導數(shù)的概念和幾何意義以及倒數(shù)的應用無論是在生活、學習還是生產(chǎn)中都占有非常重要的地位，在學習過程中要了解并掌握導數(shù)的概念和幾何意義，并將其靈活應用到實際生活中去，從而促進各領域的發(fā)展與進步。

[1]徐 波.高中新課程“導數(shù)的概念”教學分析[J].中國數(shù)學教育:高中版，2011

[2]肖燕清.導數(shù)的概念及其應用[J].教育教學論壇，2012

ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0079

地解釋清楚，理解透徹是對數(shù)學教師教學水平的巨大挑戰(zhàn)，導數(shù)的學習對學生數(shù)學的發(fā)展具有極大的促進作用。本文對導數(shù)概念的起源、導數(shù)的定義與概念、導數(shù)的幾何意義和應用以及導數(shù)的實質(zhì)進行了詳細介紹，并對導數(shù)的概念和幾何意義進行了初步探究。