三自由度并聯機構性能分析與優化

張曉菊，張春友，吳曉強，于立波

(1.河套學院機電工程系，內蒙古巴彥淖爾015000; 2.內蒙古民族大學機械工程學院，內蒙古通遼028000; 3.鄭州宇通客車股份有限公司，河南鄭州450000)

0 前言

空間三自由度并聯機構具有結構簡單，經濟成本低，運動精度高等優點。目前，并聯機構的優化設計主要集中在工作空間、靈巧性、可操作度、各向同性、剛度等方面。近年來國內外許多學者對性能指標的研究越來越多，KUCUK等［1］采用遺傳算法對三自由度并聯機構靈巧性和可操作度進行了可行性設計研究;ZENG等［2］對三自由度并聯機構3-PRUR進行了各向同性、速度性能、承載能力等進行了優化分析; JOSHI等［3］對三自由度3UPU和3UPS-UP并聯機構的工作空間和全域條件數進行了優化比較分析;SICILIANO［4］基于可操作度對3-UPS-UP并聯機構進行了尺度綜合研究。

本文作者對三自由度 (兩轉一移)并聯機構3-UPS-PU、4-UPS-PU的全域靈巧指標和全域剛度進行了優化設計與分析，利用粒子群優化算法對結構參數進行優化分析，最終得到性能指標在整個工作空間的最優Pareto解。結果表明，4UPS-PU冗余并聯機構比3UPS-PU具有較好的靈巧指標和剛度指標。

1 機構模型的建立

1.1 3UPS-PU機構模型的描述

并聯機構3UPS-PU由動平臺、靜平臺及3條驅動分支和中間一條約束分支組成，如圖1所示。動平臺球鉸鉸點a1、a2、a3，a1a2a3為等邊三角形，靜平臺胡克鉸鉸點A1、A2、A3，A1A2A3也為等邊三角形，動靜平臺的外接圓半徑分別為r、R。由于中間支鏈的約束，對動平臺有3個運動約束;于是動平臺有3個自由度，即繞X軸和Y軸轉動和沿Z軸的移動。

圖13 -UPS-PU并聯機構結構簡圖

參考坐標系OXYZ固定于靜平臺，原點O位于等邊三角形的幾何中心，X指向A1，Y軸平行于A2A3，Z軸垂直向上;動坐標系oxyz固接于動平臺，原點o位于a1a2a3構成的等邊三角形的中心，x軸沿oa1方向，y軸平行于a2a3，z軸垂直于動平臺向上。初始位姿時，兩坐標系軸線平行，動靜平臺之間的距離為d。

1.2 4UPS-PU機構模型的描述

4UPS-PU空間3自由度并聯機構由動靜平臺和連接動靜平臺的5個分支組成。靜平臺通過4個結構完全相同的驅動支鏈UPS(虎克鉸-移動副-球副)以及1個中間含恰約束支鏈PU(移動副-虎克鉸)與動平臺連接。通過改變4個驅動桿的長度，機構可以在一定的工作空間范圍內實現二維轉動和一維移動。動平臺球鉸鉸點b1、b2、b3、b4，靜平臺虎克鉸鉸點B1、B2、B3、B4，動靜平臺的半徑分別為r、R。結構簡圖如圖2所示。

圖2 4UPS-PU并聯機構結構簡圖

在并聯機構的動靜平臺上分別建立坐標系，參考坐標系OXYZ固定于靜平臺，坐標系的中心為4個均勻分布的胡克鉸所在外接圓的圓心，其中，X軸指向B1，Z軸垂直向上，Y軸方向按右手定則給定。動坐標系oxyz建立在動平臺，初始位置x軸與X軸方向相同，y軸與Y軸方向相同，z軸與Z軸方向相同，動靜平臺之間的距離為d。

2 機構的運動學求解

2.1 3UPS-PU位置逆解和雅可比求解

如圖1所示，動平臺鉸點ai在動坐標系下的位置矢量為

靜平臺球鉸鉸點Ai在參考坐標系下的位置矢量為

動坐標系原點o在參考坐標系中的位置矢量為

動平臺鉸點ai相對于動坐標系下的位置矢量在參考坐標系下可以表示為

其中，利用組合變換RPY可得旋轉矩陣Q為

式中:sα=sinα，cα=cosα，其余類似。

并聯機構的驅動桿長矢量為

其中:li為驅動桿的長度;si為桿的單位向量。

對等式(6)求導，可得

其中:v為動平臺的速度;ω為動平臺的角速度。

等式(7)兩邊點乘si，可得

寫成矩陣的形式

則并聯部分的雅可比矩陣為

2.2 4UPS-PU位置逆解和雅可比求解

針對4UPS-PU并聯機構，根據坐標變換理論，有

其中:旋轉矩陣Q和動平臺參考點o的坐標值同3UPS-PU機構。

由幾何關系，可知桿長的矢量為

桿長的平方為

對等式 (14)兩邊求導數，整理可得

則并聯部分的雅可比矩陣為

2.3 串聯PU支鏈的雅可比矩陣求解

考慮中間被動約束支鏈，可以看成串聯機構，等效成P-R-R，運動結構如圖3所示。

圖3 中間PU支鏈運動簡圖

采用D-H法可得到從固定坐標系到運動坐標系的齊次變換矩陣T，

中間被動PU約束支鏈的D-H參數見表1。

表1 中間被動約束支鏈的D-H參數表

雅可比矩陣可以分解為

其中:Jli為線速度雅可比;Jai為角速度雅可比。若i為移動關節時，若為轉動關節時，

其中，bi=Q0…Qi-1b，［ri1］T=［x y z 1］T-T0…Ti-1r，b=［0 0 1］T，r=［0 0 0 1］T

則串聯部分的雅可比矩陣為

則并聯機構總的雅可比矩陣為

3 性能指標的建立

3.1 全域靈巧指標

雅可比矩陣的條件數可以定義為

式中:J為雅可比矩陣;‖·‖為矩陣的譜范數。

條件數是不同位姿下性能指標的局部反映，無法衡量機構控制精度的好壞。GOSSELIN等［5］提出全域條件指標，總體評價機構在空間內的整體性能，定義為雅可比矩陣條件數倒數的積分與工作空間體積的比值，即

其中:W為工作空間。

GPI∈(0，1］，GPI越大，說明機構在整個工作空間內的靈巧性和控制精度越高，機構性能越佳。

3.2 全域剛度指標

并聯機構的靜剛度是指動平臺處的輸出剛度，剛度的驅動映射方程可以表示為

其中:τ為驅動副處的驅動力旋量;Δq為相應關節的變形;k為剛度系數，設為常數，k=1 000。

則剛度矩陣可以表示為K

則機構的局部剛度為

則全域剛度指標［6］可以定義為

4 優化建模

4.1 優化算法

粒子群優化 (Particle Swarm Optimization，PSO)又稱微粒群算法［7］，采用粒子群在確定空間中追隨最優粒子進行搜索，尋找個體極值pbest和全局極值gbest，最終達到目標函數決定的適應值的過程，參數配置見表2。

表2 粒子群優化算法配置表

4.2 優化模型的建立

3UPS-PU、4UPS-PU兩種并聯機構的尺寸變量為動平臺半徑為r，靜平臺半徑為R，動靜平臺高度z，以及驅動支鏈lmax。由于lmax與性能指標的計算無關，只是在確定工作空間范圍內使用，lmax越大，工作空間必然越大，因此，lmax無須作為優化尺寸參數，在機構工作條件滿足的情況下盡可能增大時lmax來增大工作空間［8］。所以機構優化參數X=［r，R，z］

目標函數F=［GPImax，GSImax］

4.3 優化結果分析

在目標函數的尋優過程中可以得到設計變量的變化曲線和性能指標的變化曲線，如圖4、5、6所示。

圖4 Pareto解與設計變量的變化曲線

圖5 Pareto解與全域靈巧指標的變化曲線

圖6 Pareto解與全域剛度指數的變化曲線

從圖4可以看出，在進行粒子群優化求解過程中，設計變量最終達到平衡，取得最優Pareto解。圖5和6可以看出4UPS-PU冗余驅動并聯機構比3UPSPU并聯機構具有較好的全域靈巧指標和全域剛度指標。

設計變量r、R對全域靈巧指標和全域剛度指標的影響圖譜［9-10］，如圖7所示。

圖7 設計變量r、R與性能指標GPI、GSI的影響圖譜

基于粒子群優化算法，分別搜索兩種并聯機構的 最優結構參數和最優目標函數的Pareto解，見表3。

表3 兩種并聯機構優化結果比較

結合圖7和表3中可以看出，3UPS-PU并聯機構和4UPS-PU冗余并聯機構的全域靈巧指標優化后明顯提高，增大了約1.5倍，但全域剛度指標增加甚少;4UPS-PU冗余并聯機構的全域剛度比3UPS-PU并聯機構明顯增強，說明冗余驅動可以提高機構的剛度。

5 結論

(1)對兩種并聯機構3UPS-PU、4UPS-PU進行了運動學分析，建立運動學模型和數學模型，考慮中間約束支鏈的影響，建立完整的雅可比矩陣;

(2)建立全域靈巧指標、全域剛度指標，采用粒子群優化算法對兩種并聯機構進行優化比較，得到Pareto解與設計變量和目標函數的變化曲線;

(3)4UPS-PU冗余并聯機構相比3UPS-PU并聯機構，具有較好的全域靈巧性能和全域剛度性能。

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