數學需要“按圖索驥”
——數形結合是重要的數學思想方法

●許欽彪(稽山中學浙江紹興312000)

數學需要“按圖索驥”
——數形結合是重要的數學思想方法

●許欽彪(稽山中學浙江紹興312000)

“用數來研究形，用形來表達數，探究數與形的關系和轉化”是數學的重要內容，數形結合是數學的重要思想方法.從高中數學主干知識和主要內容來看，代數函數的圖像和性質、三角函數的圖像和性質、解析幾何、立體幾何、坐標系、幾何向量等等，都是數形結合思想研究的結果.因而在學習數學和解決數學問題時要充分利用數形結合這一常用的思想方法.全國各地的高考要求明確和特別重視數形結合思想的考查，尤其在客觀題中對思維能力要求較高的最后幾題，基本上考查的是數形結合的思想、按圖索驥的方法.本文通過一些方式、步驟、實例來說明在平時的數學教學中如何養成該數學思想，使數形結合成為學習數學、解決問題和探索創新的主動、自覺、自然的思維方式.

1 看圖說話是基礎

看圖說話是啟發幼兒認知能力的常用方法，其實也是數形結合思想的基礎，是學習數學和解決數學問題的一種基本方法.數與形可以體現數學美，體現數學的本質，也可以激發培養對數學的興趣和探究愿望.在教學中有意識地引入這類問題對培養學生的數學思維是很有益處的.

圖1

例1四面體A－BCD及其三視圖如圖1所示，過棱AB的中點E作平行于AD，BC的平面交棱BD，DC，CA于點F，G，H.

1)證明:四邊形EFGH是矩形;

2)求直線AB與平面EFGH的夾角θ的正弦值.

(2014年陜西省數學高考理科試題第17題)

實施新課程標準以來，有關三視圖的問題一直是高考的熱點題型之一，這是一類典型的“看圖說話”題.

分析從三視圖看出主要的2個條件:一是有關的棱長，并得到BD=DC=2，AD=1，;二是AD⊥DB，AD⊥DC.將這些信息標注在四面體的立體圖上，容易得到其證明及解法.

1)由AD∥面EFGH，面ADB∩面EFGH=EF，面ADC∩面EFGH=HG，知

從而EFGH是平行四邊形，且F，G，H是各棱的中點.又AD⊥DB，AD⊥DC，得AD⊥面DBC，從而

因此四邊形EFGH是矩形.

圖2

2)如圖2，取AD的中點P，EH的中點R，聯結PE，PH，PR.由P，R，H是各側棱的中點，知PF∥AB，，面EPH∥面BDC.又AD⊥面BDC，AD⊥面EPH，知

由AD∥EF，知

又PE=PH=1，得

二次問題，如二次方程根的個數、根的分布范圍等，用代數解法有時會產生失誤，而利用圖形往往更形象、直觀、準確.根據筆者調研發現，在教學和學生解答時，比較習慣于用代數方法，因此應注意提倡數形結合在這方面的應用.

例2當k為何值時，方程組有4組實數解?

分析用代數方法容易產生2種錯誤.

錯誤1將x2=y－k代入，得

若要有4組實數解，還須x2=y－k＞0，即

錯誤2由得

事實上這2者是不等價的.

正解由得

要有4組實際數解，須滿足

用數形結合可以避免以上容易錯漏的問題.如圖3，x2+ 2y2=2是一個固定的橢圓，y= x2+k是頂點為(0，k)的向上移動的拋物線.容易知道2條曲線相切時，，因此有4個交點時，

圖3

同樣，由圖還可以得到0個、1個、2個、3個交點時的各種解答.而用代數方法，對無解、1組、2組、3組的解法將要考慮各種情況的計算.

2 按圖索驥找規律

學習數學，要養成一個好習慣，就是在作圖時，要充分利用圖形來分析，從圖形分析中探索條件、目標之間的關系，探索解決問題的途徑，這就是“按圖索驥”.按圖索驥的原意是按照圖形尋找需要的目標，是一種循規蹈矩、教條主義的思想方式，而數學思想是嚴謹規范的思想.在數學上，可以把按圖索驥提升理解為“按圖形尋方法”的思想，那么，按圖索驥實際上是一種重要的數學思維和解決問題的思想方法.作圖分析可以幫助我們知道“已知什么，要求什么，已知與要求的關系”，從而知道“該怎么做”.形象地說，作圖分析相當于作一份交通地圖，把出發點、目的地標注清楚，從而來尋找出發點到目的地的最佳途徑.有些數學問題的條件信息量較多且難以整合，而在圖形上一一標注后就容易得到它們之間的溝通橋梁.有些復雜、陌生的問題，通過圖形可以轉化為簡單、熟悉的問題，更有一些問題，經過作圖能直接得到答案.

例3已知函數f(x)=x2+mx－1，若對于x∈［m，m+1］，都有f(x)＜0成立，則實數x的取值范圍是______.

(2014年江蘇省數學高考試題第10題)

分析代數方法通常是由f(x)＜0得

對于一個高考填空題來說，要求盡量準確、快速解答.以上的方法如果根式再復雜一點，那么解根式不等式的時間會更費，也更容易產生計算錯誤.

如果用數形結合作圖分析，就比較簡潔明了.

如圖4，f(x)開口向上，根據題意，得

這樣就避免了解根式不等式的難點和易錯點，大大簡化了解答.

圖4

圖5

例4在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1，0)，，C(3，0)，動點D滿足|CD|= 1，則的最大值為______.

(2014年湖南省數學高考理科試題第16題)

分析如圖5，設動點D(x，y)，由條件知D是定圓周上的動點，所求目標用坐標代入得

3 數形轉化達目的

有了看圖說話的基礎認識，掌握了按圖索驥的方法規律，就會逐步自然地利用數形結合進行數形轉化，從而達到解決問題的目的.需要指出的是能用數形結合的應盡量用數形結合來解決:一是容易找到解題途徑;二是可以簡化計算過程;三是減少計算失誤;四是避開困難和錯誤;五是確保準確的結果.

數學教學和高考中的函數問題是重要內容，也是考試熱點之一.涉及到函數的圖像問題可以充分利用數形結合來看圖說話，按圖索驥來解決.

例5已知f(x)是定義在R上的周期為3的函數，當x∈［0，3］時.若函數y=f(x)－a在區間［－3，4］上有10個零點(互不相同)，則實數a的取值范圍是_______.

(2014年江蘇省數學高考試題第13題)

分析這是周期函數分段討論問題，用代數法討論當然也可以解決，但需要較長的時間.考慮到所給函數能作圖，就應該充分利用圖形.

圖6

圖7

例6min{a，b}表示a，b中的最小值.若函數f(x)=min{|x|，|x+t|}的圖像關于直線對稱，則t的值是( )

A.－2 B.2 C.－1 D.1

(2010年湖南省數學高考理科試題第8題)

分析如圖7，畫出函數y=|x|的圖像，由圖像關系得知y=|x+t|的圖像是由y=|x|的圖像平移得到.要f(x)的圖像(實線部分)關于直線對稱，必須使t=1.

例7設函數f(x)=4sin(2x+1)－x，則在下列區間中函數不存在零點的是( )

A.［－4，－2］ B.［－2，0］

C.［0，2］ D.［2，4］

(2010年浙江省數學高考理科試題第9題)

分析此題作為選擇題，如果用函數討論將花費較長時間并有一定難度，而由作圖則可以快捷準確地看出結果.

如圖8，分別作出y=sin(2x+1)和y=x的圖像，從2個圖像的交點情形可以看出:2個函數在［－4，2］上不存在交點，即函數f(x)在［－4，2］上不存在零點.故選A.

圖8

圖9

例8點P(x，y)在直線4x+3y=0上，且x，y滿足－14≤x－y≤7，則點P到坐標原點距離的取值范圍是( )

A.［0，5］ B.［0，10］

C.［5，10］ D.［5，15］

(2014年海南省數學高考文科試題第10題)

分析如圖9，分別作出區域－14≤x－y≤7及直線4x+3y=0，求出交點A(6，8)到原點O的距離即為最大值10，而最小值顯然為0.故選B.

例9已知函數的圖像與函數y2=kx－2的圖像恰有2個交點，則實數k的取值范圍是______.

(2012年天津市數學高考理科試題)

分析此題顯然要利用函數圖像“按圖索驥”.如圖10作出的圖像，因為y2= kx－2過定點P(0，－2)，kPA=0，kPB=4，要y2與y1有2個交點，須0＜k＜1或1＜k＜4.

此類問題往往2個圖像中有一個是確定的，另一個是動態的，但要充分注意到動態圖像的“定值”特征，比如過定點的特征.

圖10

圖11

例10設函數，g(x)=ax2+bx，若y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有2個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以下判斷正確的是( )

A.當a＜0時，x1+x2＜0，y1+y2＞0

B.當a＜0時，x1+x2＞0，y1+y2＜0

C.當a＞0時，x1+x2＜0，y1+y2＜0

D.當a＞0時，x1+x2＞0，y1+y2＞0

(2012年山東省數學高考理科試題第12題)

分析作出f(x)的圖像，注意到g(x)必過原點，對a的正負進行討論.

當a＜0時，要有2個交點，只有如圖11所示的形狀.由A關于原點O的對稱點C(x1，y1)可知，顯然有

當a＞0時，同樣可得x1+x2＜0，y1+y2＞0.

例11定義運算設 f(x)=(2x－1)*(x－1)，且關于x的方程f(x)= m(其中m∈R)恰有3個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是______.

(2012年福建省數學高考理科試題第15題)

圖12

圖13

分析由定義的運算得

作出其圖像(如圖12)，由圖可知f(x)=m有3個不同根的條件是.不妨設x1＜x2＜x3，由圖可知x2＞0，x2+x3=1，從而

數形結合思想方法的應用非常廣泛，在其他內容和題型上也有重要運用.

例12設F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF1|=|F1F2|，且點F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為( )

A.3x±4y=0 B.3x±5y=0

C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

(2010年浙江省數學高考試題理科第8題)

分析此題的關鍵是找a，b的關系，難點是把條件轉換成a，b，c的關系式，較好的方法就是作圖，其中F2T⊥PF1，把條件在圖中標注出來(如圖13).

由圖得到關系式

例13設x＞0時，均有［(a－1)x－1］(x2－ax－1)≥0，則a =______.

(2012年浙江省數學高考理科試題第17題)

分析作為客觀題的最后一題，有一定的難度，主要考查的是靈活處理問題的能力以及數形結合的思想.

根據當年的考試和評卷情況，此題的得分率是不高的，其原因是缺少數形結合思想和按圖索驥、看圖說話的能力.許多考生陷入了常見的2種思路模式.

等價于f(x)≥0在(0，+∞)恒成立，再利用導數討論求解.

這2種方法過程繁雜，有些學生甚至做不下去，半途而廢.而用數形結合思想解決此題，則比較清楚明了.

先把題設轉化為

分別作出f(x)=ax，g(x)=x+1，h(x)=x2－1的圖像(如圖14).當x＞0時，滿足

等價于當x＞0時，f(x)的圖像在g(x)與h(x)之間，從而f(x)=ax只能過g(x)與h(x)的交點，此時.

也可以直接從y1=(a－1)x－1，y2=x2－ax－1的圖像都過點P(0，－1)分析.如圖15，y1的圖像與x軸的交點必須在x正半軸上，否則不能保證x＞0時，y1y2≥0，因此a＞1.這時y2的圖像必須過點才能使x＞0時，恒有y1y2≥0.代入得

圖14

圖15

例14已知平面向量α，β(其中α≠0，β≠0)滿足|β|≠1，且α－β的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

本題直接用向量方法求解有難度，可以利用數形結合的思想將其轉化為圖形問題，然后按圖索驥.

數形結合不但是探究數學的思想、解決數學問題的方法，其實也是數學命題的一種根據和來源.

例15記設a，b為平面向量，則( )

A.min{|a+b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B.min{|a+b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C.min{|a+b|2，|a－b|2}≥|a|2+|b|2

D.min{|a+b|2，|a－b|2}≤|a|2+|b|2

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

此題就是由“平行四邊形的對角線平方之和等于四邊平方之和”這一結論類比成向量而來的.

圖16

圖17

例16設x，y，z為正實數，求證:

此題用代數方法是難以解決的，從根式內容和結構上分析，可以利用數形結合轉化為圖形問題.可以看成是以x，y為2條邊長、夾角為60°的三角形的對邊長，另外2個根式也可以同樣看待.而所需證明的不等式是a+b＞c的形式，從圖形來說就是三角形的兩邊之和大于第三邊.因此可構造如圖17所示的三棱錐，其中3條側棱分別為x，y，z，3個頂角都為60°，則底面三角形的3條邊長顯然有

從以上數形結合的解法可以進一步發現:如果改變頂角的大小，比如15°，30°，45°，75°等，3個頂角也可以不一樣，這樣可以得到更復雜的同類不等式，用代數方法較難解決，而用圖形則簡便得多.

數形結合思想應用廣泛，培養學生的數形結合思維、看圖說話、按圖索驥的能力意義重大.希望本文能對中學數學教育有一些積極的作用.