彈體侵徹干砂的數值模型*

李 杰，李猛深，李 宏，施存程

(1.中國人民解放軍理工大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007；2.南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094；3.空軍工程大學機場建筑工程系,陜西 西安 710038;4.沈陽軍區司令部工程科研設計所，遼寧 沈陽 110162；5.第二炮兵指揮學院，湖北 武漢 430012)

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彈體侵徹干砂的數值模型*

李 杰1,2，李猛深1,3,4，李 宏4，施存程1,5

(1.中國人民解放軍理工大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007；2.南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094；3.空軍工程大學機場建筑工程系,陜西 西安 710038;4.沈陽軍區司令部工程科研設計所，遼寧 沈陽 110162；5.第二炮兵指揮學院，湖北 武漢 430012)

基于砂粒的不可壓縮性假設，利用球形空腔動態收縮模型和廣義Mises強度準則推導了干砂的孔隙壓密演化方程；根據Hugoniot沖擊突躍條件和Grüneisen系數，推導了干砂考慮孔隙演化影響的狀態方程；根據關聯流動法則，得到了大變形時砂的彈塑性應力應變關系；基于動力有限元計算平臺，采用上述模型分析了彈體高速侵徹干砂的作用過程。結果表明，該模型能夠表征高速侵徹時砂的孔隙演化對應力應變狀態的反向影響，能夠較準確地反映高速侵徹作用下干砂的動力響應過程。

爆炸力學；孔隙壓密；有限元；干砂；高速侵徹

砂是自然界廣泛分布的材料，同時也是基本的建筑材料，其抗侵徹性能對防護工程建設具有重要參考價值。砂是由砂粒(尺度為0.062 5～2 mm)、孔隙水和孔隙內夾雜空氣構成的多組分、多相混合物，當孔隙內含水量為零時稱為干砂。干砂的抗侵徹性能受初始孔隙率、級配、顆粒強度、顆粒形態等影響，干砂的抗侵徹過程是一個多因素作用下的復雜物理過程，為此實驗仍然是研究砂的抗侵徹性能最直接有效的手段。文獻[1-6]系統研究了不同沖擊速度范圍、不同彈頭形狀、正侵徹和斜侵徹等工況下的侵徹深度、彈體阻力和運動軌跡，分析了砂的性能對侵徹深度的影響，得到了侵徹深度經驗公式，積累了大量實驗數據。實驗研究耗時費力，且難以反映侵徹機理，人們在實驗研究的基礎上發展了工程計算模型[7-12]。工程計算模型的核心在于建立彈體頭部阻力方程，然后采用動量守恒定律，根據邊界條件和初始條件即可得到彈體加速度、速度、侵徹深度等。但為了求解方便，對工程計算模型做了大量的假定和簡化，嚴重限制了解決問題的范圍，對諸如斜侵徹、分層介質中的侵徹等問題難以解決。為彌補上述不足，人們又發展了侵徹砂的數值計算方法[13-16]，主要通過有限元、離散元及兩者相結合的方法模擬砂的抗侵徹過程。數值計算是以質量守恒、動量守恒和能量守恒關系及材料模型作為計算框架的，數值計算方法在大幅降低實驗成本的同時可以最大限度地滿足人們感興趣的侵徹過程信息，發展迅猛。但數值計算是以準確掌握材料性能為前提的，當前砂的數值計算模型主要仍是基于經驗的唯象模型。高速侵徹過程中，位于侵徹近區的砂被壓密、壓碎，孔隙率的動態變化過程對砂的力學參量影響很大。如何在大的壓力范圍內建立砂的孔隙演化方程，并在材料模型中體現孔隙演化對砂力學性能的反向影響，是砂的侵徹計算模型中迫切需要解決的問題。M.M.Carroll等[17]將材料內部分散的孔隙簡化為內部單個空腔的均勻介質，利用Tresca準則得到了孔隙演化方程。借鑒上述方法，本文中從砂的孔隙演化方程入手，建立反映材料構造變化影響的多孔壓密狀態方程和本構模型，并基于動力有限元軟件計算平臺，將該模型應用于高速侵徹計算，分析砂的侵徹破壞過程，并與實驗結果進行比較，驗證模型的有效性。

1 砂的孔隙演化方程

從細觀角度看，砂的高速侵徹是一個孔隙壓密、顆粒斷裂的動態破壞過程。孔隙率變化對材料力學性能的影響不可忽視，為此有賴于建立孔隙演化的動態方程。建立模型時，將含大量孔隙的干砂簡化為內部僅包含單個球形氣孔的球形物質，如圖1所示，氣孔周圍是砂的基體，模型初始氣孔半徑為a0，外半徑為b0，所含基體物質體積、孔隙體積及初始孔隙率均與原物質相同，基體外作用有徑向壓力pm。

圖1 砂的孔隙演化等效模型Fig.1 An equivalent model of pore evolution for sand

定義孔隙相關的參數：

(1)

式中：V為多孔介質的體積，Vm為基體體積。

根據文獻[18]，孔隙材料與基體間滿足關系：

(2)

(3)

式中：Gm0和G分別為基體和孔隙材料的剪切模量，cm0為基體中的彈性波速，pm和p分別為作用在基體和孔隙材料上的壓力。

假定基體不可壓縮，滿足廣義Mises屈服準則。設變形前后基體中任一點的位置分別為r0和r，則pm作用下基體完全屈服后的控制方程為：

(4)

(5)

(6)

式(4)為球形空腔Euler形式的動量守恒方程，Y為靜水壓為零時的屈服強度，k為內摩擦角相關系數。邊界條件為：

σra=0，σrb=pm=αp

(7)

任一點的位移：

(8)

(9)

(10)

令a2va=c(t)，將式(10)、(6)代入式(4)：

(11)

(12)

根據式(5)，a、b、c與α、α0間滿足關系：

(13)

(14)

將式(3)、(13)、(14)代入式(12)：

(15)

上式即為壓應力作用下砂的孔隙演化方程，適用條件為基體完全屈服：

(16)

圖2 加卸載時砂的孔隙演化曲線Fig.2 Pore evolution curves for sand under loading and unloading conditions

假設孔隙率的變化速度和加速度很小，則式(15)簡化為：

(17)

對任一初始孔隙率為α0的干砂，根據式(16)計算的加卸載曲線如圖2所示。在加載初始段1-2，材料按不變的孔隙率α0壓縮，在壓力按照式(16)的規律繼續增大時(2-3段)，砂不可逆地被壓密了(α減小)。在孔隙率不變的條件下，材料由點3卸載至p=0(點4)。然后在零壓力條件下基體材料繼續被拉伸，因為此時基體材料不可能承受其拉伸應力，其體積的增大僅考慮孔隙容積的增加。

2 砂的材料模型

2.1 考慮孔隙演化的狀態方程

由于砂中空氣的質量比砂粒小幾個量級，因此孔隙內的空氣影響可以忽略不計，干砂就可以看作以砂粒為基體的多孔材料。利用基體的沖擊絕熱參數和Grüneisen方程，即可得到砂的狀態方程。如果已知基體材料沖擊波速D與質點速度u的函數關系：

D=cm0+qm0u

(18)

根據Hugoniot沖擊突躍條件和Grüneisen方程，基體的狀態方程為：

pm=pH+γmρm(Em-EH)

(19)

(20)

式中:pH為Hugoniot曲線上的壓力，γm為基體材料與ρm對應的Grüneisen系數，ρm0為基體的初始密度，EH為沖擊波振面上基體的質量內能，Em為基體與ρm、pH對應的質量內能。

根據沖擊波陣面上的守恒關系：

(21)

對帶孔隙的砂，忽略內部空氣的內能，認為內能僅存儲于基體之中(即Em=E(ρ，p)，E為砂的質量內能)，將式(21)、(20)、(1)代入式(19)，并考慮到γmρm=γm0ρm0，可得到壓縮時砂的狀態方程：

(22)

(23)

2.2 強度準則和應力應變關系

由大量實驗可知，當壓力p增長范圍很大時，砂的基體滿足以Mises屈服準則為極限、以廣義Mises準則作為過渡段的強度條件：

(24)

式中：F為屈服函數，sij為應力偏量，σ0為基體強度的極限值。

根據孔隙材料原理，孔隙率為α的砂強度準則為：

(25)

在大的壓力范圍內，與內摩擦相比,砂與黏聚力相關的強度值Y很小，同時當達到強度極限σ0時，材料已接近壓密狀態(孔隙率α趨近于1)，因此孔隙率α對偏應力強度的影響不大，為簡化起見，計算時可按式(24)處理。

當砂處于彈性階段時，應力應變關系可按滿足廣義虎克定律的各向同性線彈性材料處理，材料進入塑性后，根據關聯流動法則：

(26)

(27)

(28)

(29)

式中：I1和J2分別為應力張量第一不變量和應力偏量第二不變量。

將式(28)、(29)代入式(26)，并將體應變分離：

(30a)

(30b)

(31)

砂的破壞過程總是伴隨著材料構造的變化，微結構變化對微觀應力應變狀態具有反向影響，這種反向影響反映在狀態方程(22)和與損傷累積有關的式(2)、(25)中。至此，式(16)、(22)、(24)、(30)構成了完整的描述砂在大的應力加載范圍內的計算模型。

3 數值分析

基于大型動力有限元軟件LS-DYNA計算平臺，利用上述模型，計算彈體對干砂的侵徹深度，并分析侵徹作用過程。

3.1 彈體侵徹砂的有限元模型

采用文獻[1-2]中侵徹干砂的系統實驗，對模型進行校核。子彈采用圓柱形平頭彈，彈體帶有平衡尾翼，總體尺寸如圖3所示。

根據實驗數據和石英性能推算的干砂力學性能參數為：ρm0=2.65 g/cm3，ρ0=1.64 g/cm3，a0=1.62，cm0=3.68 km/s,qm0=2.12,Gm0=73 MPa,Y=100 kPa,k=0.75,γm0=1.00。

考慮到計算效率，利用結構的對稱性，取1/4彈體和靶體建模，并在對稱面上進行約束，為消除外邊界的影響，在靶體側向外邊界施加無反射邊界條件，當橫波和縱波到達外邊界時將被吸收。劃分網格時，要兼顧計算的準確性和效率，J.Leppanen[19]詳細討論了網格尺寸對侵徹成坑尺寸和侵徹深度的影響，并認為侵徹時彈體半徑壓住靶體3個以上網格時結果較理想。本文中經過試算，當彈體半徑壓住4個網格時計算結果較理想，劃分好網格的彈、靶片段見4。

圖3 彈體尺寸Fig.3 Projectile dimensions

圖4 彈靶的有限元模型片段Fig.4 Parts of the finite element models for the projectile and target

3.2 計算結果的驗證

對同一彈體在同一量級的不同入射速度下侵徹深度計算結果見表1,表中m為彈體的質量,vp,0為彈體入射速度,He為彈體侵徹深度實驗值,Hc為彈體侵徹深度計算值。由表1可以看出：除81.1 g彈體計算結果誤差大于30%，其他誤差均小于30%，表明計算結果與實驗結果基本吻合，也反映了本文計算模型的正確性。但與實驗結果相比，誤差大多約20%，偏大。原因是多方面的：(1)文獻提供的石英砂參數有限，部分參數是根據石英砂的特性估算的；(2)侵徹過程中高應變率對砂的性能影響很大，計算中沒有考慮，同時也未考慮溫度的影響；(3)侵徹實驗數據本身有很大的離散性，加大了誤差范圍；(4)為了計算方便，使用了式(16)的孔隙演化方程，忽略了孔隙收縮速度和收縮加速度的影響。

表1 砂的侵徹深度計算值與實驗結果Table 1 Test and computed results for penetration depths of sand

圖5 一質量80.3 g的彈體侵徹速度與侵徹深度的關系Fig.5 Velocity varied with penetration depth for a projectile with the mass of 80.30 g

3.3 侵徹過程分析

針對表1中第1行的80.3 g彈體，研究了侵徹作用過程。彈體進入砂后的速度vp與侵徹深度H關系見圖5，入射初始階段，彈體速度下降很快，隨著侵徹深度的增加，速度下降曲線逐步趨緩，表明計算結果與實驗測試值[1-2]吻合良好。40、90 μs時靶體內部壓力場如圖6所示，隨著時間延長，應力場的范圍在增大，但由于砂中應力波速極小，特別是在侵徹初始階段，彈體速度超過了應力波速度，導致壓應力波始終在彈頭周圍徘徊，壓應力場范圍很小，這是與混凝土中侵徹作用的顯著區別。

圖6 靶體在不同時刻的壓力場Fig.6 The pressure fields of the target at different times

4 結 論

(1)利用球形空腔收縮模型求得的孔隙率不僅可作為砂壓密程度的指標，也可作為砂的損傷參量指標，本文模型不僅能夠正確反映砂的力學性能，而且能夠在大的壓縮范圍內體現孔隙演化對干砂宏觀力學性能的反向影響。

(2)基于本文模型計算的侵徹深度、彈體速度和侵徹深度時程與實驗測試結果基本吻合，證明了模型的正確性，也表明該模型可以應用于干砂的高速侵徹計算分析。

(3)利用本文模型能夠較準確地計算干砂的抗高速侵徹行為，但模擬結果與實驗值結果存在一定的差距，主要原因在于：侵徹過程不僅產生砂的壓密，還發生砂的破碎，同時應變率效應也不可小覷，宏觀上均表現為黏聚力和內摩擦角的變化。更精確的分析，有待于在大的壓力和高應變率范圍對砂力學性能的精確量測。

(4)高速侵徹中砂不僅發生大的不可逆變形，而且產生開裂、顆粒飛散等不連續現象，數值模擬破壞形態的真實性不僅依賴于材料模型的準確性，也有待于算法的改進。

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(責任編輯 張凌云)

Numerical modeling of projectile penetration into dry sand

Li Jie1,2, Li Meng-shen1,3,4, Li Hong4, Shi Cun-cheng1,5

(1.StateKeyLaboratoryofDisasterPreventionandMitigationofExplosionandImpact,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,Jiangsu,China; 2.SchoolofMechanicalEngineering,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,Jiangsu,China; 3.DepartmentofAirfieldandBuildingEngineering,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an710038,Shaanxi,China;4.DesigningInstituteofEngineeringResearch,HeadquartersofShenyangMilitaryAreaCommand,Shenyang110162,Liaoning,China; 5.TheSecondArtilleryCommandCollege,Wuhan430012,Hubei,China)

Assuming that sand grains are incompressible, a compaction equation for porous dry sand was derived by applying the dynamic systolic model of a spherical cavity and the generalized Mises strength criterion. Based on the Hugoniot jump condition and the Grüneisen parameter, the equation of state for dry sand was given by considering porous compaction. According to the associated flow rule, the elasto-plastic stress-strain relationships of dry sand under large deformation were obtained. By means of the dynamic finite element computing method, the above models were used to analyze the penetration process of dry sand by a projectile. The results show that the models can reflect the reverse influence of sand pore evolution on the stress-strain state in the high-velocity penetration process, and can accurately describe the dynamic response of dry sand under high-velocity penetration.

mechanics of explosion; porous compaction; finite element; dry sand; high-velocity penetration

10.11883/1001-1455(2015)05-0633-08

2014-04-04；

2014-07-23

中國博士后科學基金項目(2013M541675，2014M552688);爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室開放基金項目(DPMEIKF201301)

李 杰(1981— )，男，博士,講師; 通訊作者： 李猛深,lms200508@163.com。

O385 國標學科代碼： 13035

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