基于模糊函數頻率軸投影的CDMA信號時/頻差估計

楊林森 張子敬 郭付陽

(西安電子科技大學 西安710071)

0 引言

隨著衛星通信技術的飛速發展，地面干擾輻射源對于衛星正常通信的威脅越來越受到廣泛的關注，同步軌道雙星時差和頻差定位技術是一種常見的對地面輻射源定位的技術，已經得到了成功的應用［1］。

同步軌道雙星定位中，通常將與目標輻射源直接通信的衛星稱為主星，在主星附近輔助定位的衛星稱為鄰星。由于天線輻射一般具有指向性，主星往往處于地面輻射源的波束主瓣方向內，而鄰星常處于波束的某個旁瓣之內。地面輻射源天線主瓣和旁瓣發出的同源信號有且僅有功率的差別，但是由于主星和鄰星的位置以及速度不同，地面輻射源發射信號經過兩顆衛星分別轉發后就會產生時差和頻差。雙星時/頻差定位原理正是通過測量雙星接收信號間的時差和頻差，再聯合地球表面方程實現對未知輻射源的定位［1-3］。

CDMA 信號是一種常用的通信信號，在CDMA信號通信體制內，各用戶通過使用相互正交的用戶特征碼對數字通信內容進行調制，實現了多個用戶在相同頻段上的同時通信。由于CDMA 各用戶信號在時間和頻率上相互重疊，各用戶信號的信干比很低，導致各用戶時/頻差的精確估計具有很大困難。另外，由于CDMA 信號帶寬較大，相比于一般信號在相同的信號積累時間長度內，采樣的數據長度明顯增加，導致運算量顯著提高。模糊函數是時/頻差估計最常用的工具，然而直接計算CDMA 信號的模糊函數所需的運算量過大。為解決CDMA 信號中各個用戶相互干擾的問題，在文獻［4］中提出利用主星信號逆向分析得到的各用戶的重構信號，用重構信號進行估計時/頻差。為了解決運算量大的問題，文獻［4］根據實際問題中兩路信號頻差遠小于采樣頻率的特點，對混合積信號進行積分抽取，顯著提升了計算模糊函數的速度。

本文在文獻［4］提出的利用主星重構信號進行時/頻差估計的基礎上，提出一種基于模糊函數頻率軸投影的CDMA 信號時/頻差方法。該方法只需若干次FFT 即可實現，與現有方法對比，在運算速度方面具有顯著優勢。

1 信號模型

假設主星和鄰星接收到的CDMA 基帶信號為

其中sk(t)為主星接收到的第k個用戶信號，K為用戶個數，Δtk和Δfk為鄰星接收到相對于主星的第k個用戶信號的時差和多普勒頻差，n1(t)和n2(t)分別為主星和鄰星的噪聲。可以看出，鄰星接收到的信號為各用戶信號經過不同時延和多普勒頻移后的線性疊加，且各用戶的時差和多普勒頻差不同。

對于主星接收信號中的第k個用戶信號sk(t)，有

其中dk(m)為用戶傳輸的第m個符號，代表著用戶的通信內容，M為用戶傳輸的符號總數，Tb為單個符號持續的時間，CDMA 信號中各用戶通過特征波形區分，通信中傳輸的每一位符號都需要用用戶特征波形調整，第k個用戶的特征波形為

其中bk(l)為特征波形的第l個碼片，Tc為單個碼片持續時間，且有Tb= LTc，p(t)為持續時間為Tc的矩形脈沖。為了抑制通信中各用戶間的相互干擾，CDMA 信號常用正交偽隨機碼對各用戶的通信內容進行編碼。

2 模糊函數在頻率軸的投影

兩路信號f(t)和g(t)的互模糊函數(Ambiguity function，AF)定義為:

其中τ，v分別為時延和多普勒頻率。模糊函數可以認為是信號在時域和頻域的二維相關，其峰值位置對應兩路信號的時差和頻差。然而，當信號較長時，二維搜索模糊函數峰值的計算量過大，難以實時處理。

我們定義Pfg(v)為信號f(t)和g(t)的模糊函數χfg(τ，v)在頻率軸上的投影，文獻［5］給出了將模糊函數投影到頻率軸的快速算法:

其中F(v)和G(v)分別為信號f(t)和g(t)的傅立葉變換。式(5)將計算模糊函數在頻率軸上的投影簡化為了兩路信號自相關乘積的傅立葉變換，因此，計算模糊函數在頻率軸上的投影只需要若干次FFT 即可實現。

3 CDMA 信號時/頻差估計

由于CDMA 信號中包含有多個用戶，且各用戶的時/頻差不同，直接對主星和鄰星接收信號做互模糊函數會產生多峰，當用戶時/頻差接近時，峰值難以分辨，無法精確估計時/頻差。在文獻［4］中，通過對主星CDMA 信號逆向分析獲取各用戶的特征波形和通信內容，將各用戶信號進行重構。若將重構的主星各用戶信號分別與鄰星信號做互模糊函數，能夠有效去除用戶間的干擾，得到只有單峰的互模糊函數，最終能夠提高時/頻差估計精度。然而，利用重構的主星各用戶信號計算完整的模糊函數，運算量大的問題仍然沒有解決。為了減少計算模糊函數的運算量，文獻［4］利用現實中多普勒頻差遠小于采樣頻率的特點，提出對混合積信號積分抽取的方法來實現CDMA 信號各用戶時/頻差快速估計，其實質是通過對混合積信號降采樣來降低計算模糊函數的運算量。

由于CDMA 信號中各用戶的特征碼采用相互正交的偽隨機編碼序列，因而CDMA 各用戶發射信號具有尖銳的自相關函數，而各用戶間的互相關函數值接近零。對于偽隨機序列，其模糊函數為圖釘型［6］，存在一個很尖的主瓣，主瓣峰值遠高于旁瓣高度。若將主星重構的各用戶信號與鄰星接收信號的互模糊函數在頻率軸上進行投影將得到一個具有很高尖峰的曲線，投影的峰值的位置對應原于模糊函數峰值的頻率坐標，由投影的峰值位置可以估計出用戶雙星接收信號的頻差，對雙星信號補償頻差后通過一次相關，由相關峰位置即可估計出用戶雙星接收信號的時差。根據上面的分析，利用式(5)可以實現模糊函數在頻率軸上投影的快速計算，因此，本文提出了基于模糊函數在頻率軸上投影的CDMA 信號時/頻差估計快速方法，其具體流程為:

(1)，對于主星重構的第k個用戶信號sk(t)和鄰星接收信號r2(t)，按式(5)計算互模糊函數在頻率軸上的投影Pskr2(v)。

(2)，搜索Pskr2(v)的峰值，記峰值位置為v0，則第k個用戶的多普勒頻差估計為。

步驟(4)，對重構的各用戶信號依次按上述步驟處理，直到估計出所有用戶的時/頻差。

4 仿真實驗

假設仿真的CDMA 通信系統中包含8 個用戶，各用戶使用長度為31 的gold 偽隨機序列作為用戶特征碼。在T=5ms 的信號持續時間內，8 個用戶同時進行通信，數字通信符號傳輸速率為322.58kbps，單個符號的傳輸時間Tb=3.1μs，每傳輸一位符號都需要用31 位的用戶特征碼進行調制，因此用戶特征碼碼片持續時間為Tc=0.1μs，接收信號的采樣率為20MHz。雙星接收的8 用戶CDMA 信號中各用戶對應的時延差為［0，0.2，1，-1，2，-4，-0.3，5］(μs)，多普勒頻差為［0，1，50，74，12，-4，6.8，-8］(KHz)，為了驗證本方法的性能，特別選取第一個用戶和第二個用戶的時/頻差參數差距很小。

圖1 為主星和鄰星接收信號在信噪比為0dB 的情況下互模糊函數的局部仿真圖。從圖1 中可以明顯看出，CDMA 信號的模糊函數為圖釘型，存在若干個又高又窄的峰值，每一個峰值對應于一個用戶的時/頻差。由于第一個用戶和第二個用戶時/頻差相距較近，對應的模糊函數峰值部分重疊而無法清晰分辨，因此圖1 中的模糊函數只能看到7 個明顯峰值。

圖1 雙星接收信號的互模糊函數

為了避免用戶間的干擾，本文利用從主星接收信號中逆向分析得到的各用戶重構信號進行時/頻差估計。圖2 為第二個用戶的主星重構信號與鄰星接收信號之間的局部互模糊函數。對比圖1 和圖2可以看出，由于主星重構信號中只包含單個用戶的信號，利用主星重構信號得到的模糊函數只存在單峰且模糊函數旁瓣更低，因此利用主星重構信號能夠大大降低各用戶間的交叉干擾，進而更準確地估計出各個用戶的時/頻差。

圖2 用戶2 主星重構信號與鄰星信號的互模糊函數

從圖1 和圖2 中可以看出，由于CDMA 信號中用戶特征碼具有偽隨機性，CDMA 信號的模糊函數為圖釘型，其具有又高又陡的主瓣且主瓣峰值遠高于旁瓣高度，因此CDMA 信號模糊函數在頻率軸上投影的峰值點將對應其模糊函數峰值點的頻率坐標。圖3(a)為用戶2 主星重構信號與鄰星接收信號間的模糊函數在頻率軸上投影的曲線。由圖3(a)可以看出CDMA 信號在頻率軸上的投影將產生一個明顯的峰值，根據圖3 中峰值的位置，可以估計出第二個用戶的頻差為0.999 kHz。對雙星接收信號補償頻差后再做相關，利用相關峰位置可以估計出該用戶的時差。圖3(b)為兩路信號補償頻率后相關運算結果的仿真圖，由相關峰位置可以估計出雙星接收信號的時差為0.2μs。利用上述方法，可以分別估計出雙星接收的CDMA 信號中各用戶的時差為［0，0.2，1，-1，2，-4，-0.3，5］(μs)，頻差為［0，0.999，49.997，73.996，11.999，-4，6.8，-8］(kHz)。文獻［4］中利用各用戶主星重構信號，提出了基于積分抽取的CDMA 時/頻差估計方法，而本文在其基礎上，利用模糊函數在頻率軸上的投影實現CDMA 信號時/頻差的快速估計。下面通過對比這兩種方法的復乘次數，說明本方法在運算速度上的優勢。

圖3 CDMA 信號時/頻差估計仿真

對于文獻［4］中提出的積分抽取算法，假設雙星接收信號長度為N且抽取倍數為D，則計算一次混合積信號需要N次復乘，抽取后混合積長度降為N/D，對抽取的混合積做一次FFT 的運算量為N D，計算模糊函數需要重復N次上述過程，則用文獻［4］中提出的算法估計時/頻差需要的運算量約為。

對于本文提出的算法，同樣假設信號長度為N，由式(5)可以看出，計算模糊函數在頻率軸上投影只需要計算5 次長度為N的FFT，得到了頻差估計后，對信號補償頻率，最后通過相關實現時差估計，本文提出的算法需要的運算量約為5Nlog2N+N+3(2N-1)log2(2N-1)。

對于上面仿真的參數，得到信號長度N=100000，假設文獻［4］中的方法使用的抽取倍數為D=100 。表1 為本文提出的方法和文獻［4］中的方法在運算量上的對比，可以看出，本文提出的算法在運算量上具有顯著的優勢，即使當利用文獻［4］中提出的算法抽取倍數達到D=100 倍的情況下，本文算法在運算量上仍然具有明顯的優勢。

表1 積分抽取與本文方法運算量對比

5 結論

針對雙星定位問題中，現有CDMA 信號時/頻差估計方法運算量較大的問題，本文提出了基于模糊函數在頻率軸投影的CDMA 信號時/頻差估計方法。針對CDMA 信號模糊函數為圖釘型的特點，本文通過求模糊函數在頻率軸上的投影即可實現CDMA 信號間時/頻差的估計。仿真結果說明本文提出的方法能夠快速估計CDMA 信號中各用戶的時/頻差，相比已有方法，運算量顯著減少。

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［2］龍寧，曹廣平，王勤果.雙星時差頻差定位系統中的多信號定位技術［J］.電訊技術，2011，51(2):16-20.

［3］嚴航，姚山峰.基于參考站的低軌雙星定位誤差校正分析［J］.計算機仿真，2012，29(10):114-118.

［4］嚴航，朱珍珍.基于積分抽取的時/頻差參數估計方法［J］.宇航學報，2013，34(1):99-105.

［5］Sharif M R，Abeysekera S S.Efficient wideband signal parameter estimation using a Radon-Ambiguity transform slice［J］.IEEE Trans.on AES，2007，43(2):673-688.

［6］Nadav Levanon，Eli Mozeson.Radar signals［M］.New Jersey:John Wiley and Sons，2004:100-164.