認識與超越：小學數學教學的應然取向

江蘇揚州市廣陵區教育局（225000） 湯雪峰

當前，小學數學課程以學生數學“四基”的獲得，“四能”的發展，以及對數學的情感、態度的培養作為重要目標。換言之，就是讓學生通過有限知識的學習，掌握探索無限世界之本領。這就需要教師站在更高的視角去審視小學數學教學，實現從一般認識到理性超越。本文主要從文本之中與文本之外相結合的視角，以“審視課標、審視教材、尊重知識、尊重兒童”作為研究重點，探索小學數學教學實踐的應然取向。

緣由

課標、教材、知識和兒童，是除教師之外最重要的教學要素。作為對小學數學教學的認識和超越，我們既要理解作為文本的課標和教材，更要讀懂文本之外的數學教學知識和教育教學對象——兒童，真正做到審視課標、審視教材、尊重知識、尊重兒童。

課標和教材不是一成不變，而是經常變化的，所以我們一方面要認識作為文本的課標和教材，另一方面要超越文本，關注課標和教材的歷史發展走向，及其背后的教育思想、教育原理、教育方法的演變，把握其實質，辨別其合理性，以改進我們的教育教學。

一百多年以來，小學數學課標和教材的多變性、不確定性，制約了其可靠性，所以我們在理解課標和教材的同時，要學會以科學的數學觀、哲學觀、教育觀和歷史觀去審視之，實現認識上的超越。同時值得注意的是，現代數學基礎確立以后，小學數學基礎知識是相對穩定的，在小學數學教學研究和實踐中，要給予足夠的重視和尊重。此外，教育教學對象是活生生的兒童，我們要充分研究兒童，尊重兒童的年齡特征、個體差異，以及認知基礎和認知經驗的發展水平。

審視課標

課程標準是具有法規性質的課程改革綱領性文件，從1902年8月15日我國第一部由政府頒布，兼有小學數學課程標準功能的《欽定學堂章程》問世算起，一百多年間，我國小學數學課程標準前后發生了很大的變化。每一次變化都值得認真研究和對待。

比如，《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》倡導：在教學內容上，“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。內容的呈現應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求。”在學習方式上，“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”在教學方式上，“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”在教學活動中的師生關系上，“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者”。

然而，《義務教育數學課程標準（2011年版）》認為：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。”“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。”“學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”

通過比較，不難發現：課標所倡導的，無論是課程內容、教學方式以及師生關系，十年前后變化就很大。可見，課標不是絕對真理，而且也很不穩定。

此外，二十一世紀以來我國義務教育數學課程改革在課程理念、課程目標、教材編制以及教學方式等幾個方面和美國的很多做法極其相似。例如，在課程理念上，課程標準（實驗稿）強調數學課程要實現“人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上有不同的發展”，而美國1989年數學課程標準（NCTM）中提出“每個人都要學數學，他們學人人都需要的數學的機會是均等的”。在課程目標體系上，參照美國1989年數學課程標準，我國小學數學課程目標原來的“算術學科核心型結構”調整為美國特色的“條目并列型”結構。但是，中美兩國的教育基礎、教學傳統以及社會價值等方面都存在很大的差異，因而我們在學習和理解課程標準時，一定不能盲從，要堅持積極而又審慎的態度，很有必要梳理一百多年來的小學數學課程標準的嬗變與堅守，遵循數學知識的本質、兒童的本性和教育的本義，探索出課程改革發展的應然走向，為兒童的數學學習扎實思想根基。

審視教材

有人認為“課本、課本，教學的根本”，這話有一定道理，但也未必全對。2001年，教育部頒布了《中小學教材編寫審定管理暫行辦法（試行）》，鼓勵和支持有條件的單位、團體和個人參與中小學教材的編寫工作。目前，全國已有10多種小學數學教科書在教學一線使用，出現了多種版本教科書競相發展的局面。

現行小學數學教科書在編寫結構上基本采用“大螺旋式”編排，即在六個年級教學內容的整體編排上采用螺旋式，而在每個單元上采用直線式。這樣強調了數學內容內部每一領域的連續性與系統性。利用這種“小步子”“高密度”的方式編排單元知識，時間跨度大，學生容易遺忘，而且不能很好體現知識整體結構的系統性。這應該引起我們一線教師的重視。

另一方面，數學知識和數學思想是數學教科書編排的兩條主線。數學知識是一條明線，它被明明白白地寫在教材里，而數學思想則是一條暗線，需要教師挖掘、提煉，并在教學中凸顯。數學思想相比數學知識，具有更高的概括性和包容性，所以數學思想對學生的數學學習品質，以及學生的成長和發展具有更重要的影響，它應成為數學教育的重要內容。

例如，蘇教版小學數學教科書一年級下冊（2012年版）第1頁“20以內的退位減法”（如圖）。

這里應該利用好幾種算法，比如第3種算法“算減想加”。我們都知道要引導學生思考：要算13－9＝？想9＋？＝13。因為 9＋4＝13，所以 13－9＝4。這樣的過程就是根據“減法的意義”進行演繹推理。這樣，也就適時進行了推理思想的教學。

尊重知識

先弄清數學知識的來龍去脈、縱橫聯系，以及背后的精神、思想和方法，再根據本班學生的情況進行教學設計和實施，這應該是小學數學教學的上乘境界。

學生學習數學的過程實際上是一個數學認知的過程，在這個過程中學生在教師的引導下，把數學知識結構轉化成自己的數學認知結構。教師只有充分把握數學知識自身的結構（主要包括數學知識的來龍去脈、縱橫聯系以及背后的精神、思想和方法等）、教材的編排結構，以及學生已有的認知基礎、認知經驗，這樣才能幫助學生在進一步的學習中不斷豐富和發展自己的數學認知結構。

例如，蘇教版小學數學教科書四年級下冊“用數對確定位置”一課，在數學知識自身結構上，用有序數對確定物體的位置是點的坐標的雛形，而坐標的概念則是解析幾何的基本概念，解析幾何不僅是創立微積分的基礎，又與微分幾何、高維空間幾何等有著密切聯系，它們共同構成坐標幾何體系；在教材編排結構上，學生在一、二年級已經學習了“上、下、左、右、前、后”以及“第幾排第幾個”等相關知識，這里是在此基礎上學習“用數對表示物體的位置”，而將來到了中學則要學習通過建立直角坐標系來研究圖形的位置與運動；從學生的認知基礎和認知經驗來看，學生不僅具有上述一、二年級學習的相關書本知識，在日常生活中學生已經具有用數對確定物體的經驗，如確定教室、電影院里的座位等。

尊重兒童

現代認知心理學認為，學生學習數學的過程實際上是一個數學認知的過程，在這個過程中學生在教師的指導下，把數學知識結構轉化成自己的數學認知結構。奧蘇伯爾提出，有意義學習過程的實質，就是符號所代表的新知識與學習者認知結構中已有的適當觀念建立非人為的（nonarbitrary）和實質性的（substantive）聯系。

“非人為的”聯系，即新知識與認知結構中有關觀念在某種合理的或邏輯基礎上的聯系。在數學知識的學習問題上，“非人為的”的聯系一般是依托數學知識自身的結構來實現的，前面已經有所論述。例如教學“分數的再認識”時，通過讓學生討論分數“是什么”、“怎么做”、“為什么”的教學環節，使學生體經歷了分數概念的“再創造”的過程后對整個過程進行梳理和反思，充分實現了新知識和學生已有認知結構的非人為的聯系。“實質性的”聯系，是指新的符號或符號所代表的觀念與學習者的認知結構中的已有的表象、已經有意義的符號、概念或命題的聯系。在“分數的再認識”的新課教學時，先引導學生思考“以領帶度量沙發長時，沙發沒有一個領帶長，怎么辦呢？你有辦法嗎？”學生得出“用分數來表示”的結論，這是因為學生在三年級已經學習了“分數的初步認識”，雖未形成真正意義上的分數概念，卻已經具有分數的“前科學概念”。很快，學生就得出“沙發是7／8個領帶長”。

除了要依據學生的認知基礎和認知經驗教學外，我們還要尊重學生的思維發展水平，依托學生的思維水平改善我們的教學實施。例如教學蘇教版四年級上冊“可能性”一課時，就得關注兒童的思維能力。皮亞杰和印海德（Piaget＆ Inheldel，1975）的研究表明，7 歲以前的兒童尚無法區分事件的必然性與可能性；7～14歲兒童已能認清事件的必然性與可能性，但無法系統地產生一系列關于概率的概念。四年級學生基本處于9～10歲，也就是說開始具有區分簡單事件的必然性與可能性的能力，但是這個能力還不是很穩定，需要不斷強化發展。

整體把握

審視課標、審視教材、尊重知識、尊重兒童，這些都是實現對當前小學數學教學的認識和超越的重要視角。我們在具體教學實踐中，要從整體上去把握這四個不同的層面，它們既有區別又彼此聯系，并統一于小學數學教學的理論研究與教學實踐之中。一方面，我們從文本的視角研究課標和教材時，要深入思考文本背后所蘊含的哲學思想、教育理論、教學原理和方法，實現文本認知到理性思考的超越；另一方面，我們不僅要對作為文本的課標和教材進行認識和審思，更要對文本之外的數學本體知識和兒童現實作出深刻把握。簡言而之，遵循教育的本義、數學的本質和兒童的本性，永遠是小學數學教育研究與教學實踐的應然取向。