函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

吳文堯

函數(shù)是整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的核心，也是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)最有利的武器，所以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)是歷年各地高考數(shù)學(xué)試卷中的最大熱點. 在選擇題、填空題、解答題三種題型中一般都有考查函數(shù)的試題，且理科試卷中的壓軸題通常是有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題. 因此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最具有挑戰(zhàn)性的教學(xué)內(nèi)容.做好函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)工作，提高函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用方面的應(yīng)試能力是高考數(shù)學(xué)取得高分的必要條件.

函數(shù)的概念及性質(zhì)

函數(shù)的概念及性質(zhì)一直都是各地高考數(shù)學(xué)中的必考內(nèi)容，尤其是函數(shù)的定義、值域的求法、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性等更是考試的熱點. 對函數(shù)的概念、性質(zhì)的直接考查一般有一至兩個小題，以容易題和中檔題為主；間接考查則屢見不鮮，有時也有一定的難度.

在函數(shù)復(fù)習(xí)中，要“圍繞一個中心，抓住兩個基本點”，即緊緊圍繞函數(shù)思想這個中心，學(xué)會運用函數(shù)的觀點去分析問題和解決問題；抓住基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)、與函數(shù)相關(guān)的基本題型這兩個基本點.如何抓住這兩個基本點呢？事實上，研究函數(shù)的程序可總結(jié)如下：

給出定義？圯求其定義域？圯求其值域？圯畫出圖象？圯研究性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性等）？圯綜合應(yīng)用.

函數(shù)中的基本題型都可以看成是生長在這個程序上的. 總結(jié)函數(shù)中的基本題型主要有以下幾類：①如何求函數(shù)的解析式；②如何求函數(shù)的定義域；③如何求函數(shù)的值域及最值，有哪些方法；④如何作出函數(shù)的圖象，有哪些解題對策；⑤函數(shù)的單調(diào)性是如何定義的，如何證明函數(shù)的單調(diào)性，如何說明函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性有何重要的應(yīng)用；⑥奇函數(shù)、偶函數(shù)是如何定義的，如何判斷函數(shù)的奇偶性，奇函數(shù)、偶函數(shù)有何重要性質(zhì)，為何要研究函數(shù)的奇偶性；⑦什么樣的函數(shù)叫周期函數(shù)，周期函數(shù)有何重要性質(zhì)，為何要研究函數(shù)的周期性.

（1）忽視相關(guān)函數(shù)的定義域是最容易犯的錯誤，因此，在解決有關(guān)函數(shù)問題時可優(yōu)先考慮相關(guān)函數(shù)的定義域，這樣可以有效地避免這方面的錯誤.

（2）當(dāng)利用函數(shù)的思想解題時，最后往往可化歸為求某一目標(biāo)函數(shù)的值域（或最值）問題. 要解決這個問題，首先，要努力掌握求函數(shù)值域的一些重要方法，如利用基本函數(shù)的值域、函數(shù)的單調(diào)性（可借助導(dǎo)數(shù)）求解，利用二次函數(shù)的最值求解，利用基本不等式求解，利用其反函數(shù)的定義域求解，利用判別式法求解等；其次，在具體操作中能根據(jù)試題的特點合理地選擇與之相匹配的解題對策.

（3）關(guān)于函數(shù)的奇偶性的判斷問題，要注意判斷的程序. 首先，檢查其定義域是否關(guān)于原點對稱；其次，利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性. 由于奇、偶函數(shù)的圖象具有對稱性，所以研究函數(shù)的奇偶性通常能對一些函數(shù)問題的解決起到事半功倍的效果，因此，同學(xué)們在平時的解題練習(xí)中要提高“自覺”地利用函數(shù)的奇偶性的意識.

（4）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)的重中之重，要努力做到會判定、會證明、會應(yīng)用.

例1 設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R），若 f（x）=g（x）+x+4，x

A. -，0∪（1，+∞）

B. [0，+∞）

C. -，+∞

D. -，0∪（2，+∞）

破解思路 由于本題是一個有關(guān)分段函數(shù)的問題，而解決分段函數(shù)問題的對策通常是“以其人之道還其人之身”，即分段函數(shù)問題可用分段解決的方法應(yīng)對之. 注意到分段函數(shù)的解析式?jīng)]有給出，故先求出其解析式，然后再各個擊破.

答案詳解 法1：由題意，將g（x）的解析式代入得f（x）=x2+x+2，x

所以當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）時， f（x）的值域為（2，+∞）；當(dāng)x∈[-1，2]時， f（x）的值域為-，0，故選D.

法2：注意到x≥g（x）時， f（x）=g（x）-x≤0，所以可否定B；注意到？坌x∈R有x2+x+2≥恒成立，所以可否定A和C. 故選D.

例2 定義在[-2，2]上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，2]時， f（x）=-x+1，則不等式f（x）-f（-x）≥2x的解集為_________.

破解思路 本題首先要解決的問題是利用所給函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，并把目標(biāo)不等式化簡，把原問題化歸為解基本不等式（組）的問題. 注意到本題是一道填空題，若利用數(shù)形結(jié)合的方法解決之，則可簡化運算.

答案詳解 法1：由題意知， f（x）=-x-1，-2≤x<0，0，x=0，-x+1，0

所以f（x）-f（-x）≥2x？圳f（x）≥x？圳-2≤x<0，-x-1≥x或x=0或0

法2：如圖1，作出函數(shù)y=f（x）的圖象，其中A-，-，B，，原不等式等價于f（x）≥x. 由圖象可知，原不等式的解集為-2，-∪，2.

例3 對于區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）={yy=g（x），x∈I}，定義域為[0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f -1（x），且f -1（[0，1））=[1，2）， f -1（（2，4]）=[0，1）. 若方程f（x）-x=0有解x0，則x0=________.

破解思路 從題目的條件看：本題給出的條件是反函數(shù)的性質(zhì)，因此先把它轉(zhuǎn)化為原函數(shù)y=f（x）的性質(zhì). 從題目的結(jié)論看：方程f（x）-x=0的解即為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x的圖象的公共點的橫坐標(biāo)，所以求解時最好能畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，但本題給出的函數(shù)是一個抽象函數(shù)，不可能畫出其圖象，所以可先作出函數(shù)圖象所在的平面區(qū)域.

答案詳解 由題意可知，函數(shù)y=g（x）（x∈I）的值域為g（I），又由f -1（[0，1））=[1，2）可知y=f（x）（1≤x<2）的值域為[0，1），由f -1（（2，4]）=[0，1）可知y=f（x）（0≤x<1）的值域為（2，4]. 由于函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)，且定義域為[0，3]，所以y=f（x）的圖象只可能落在圖2中的陰影區(qū)域之內(nèi)，直線y=x和陰影區(qū)域有唯一的公共點A（2，2），所以x0=2.

1. 定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）， f（2015）=1，則f（1）=________.

2. 設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x-4（x≥0），則{xf（x-2）>0}等于（ ）

A. {xx<-2或x>4}

B. {xx<0或x>4}

C. {xx<0或x>6}

D. {xx<-2或x>2}

3. 定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足： f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，有下列一些關(guān)于f（x）的判斷：①f（x）是周期函數(shù)；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；④f（x）在[-2，-1]上是減函數(shù). 其中正確的判斷是__________（把你認(rèn)為正確判斷的番號都填上）.