二次函數與三次函數問題

雖然現行高中數學教材中，沒有專門介紹二次函數和三次函數，但由于二次函數涉及的問題“博大精深”，尤其二次函數的性質、最值問題，一元二次方程根的分布情況問題，二次不等式的解法和恒成立問題一直都是考試的熱點問題；由于三次函數的導函數是二次函數，因此可以通過研究其導函數（二次函數）來研究三次函數的性質，各地的高考試題中三次函數問題經常在壓軸題中出現.

對于二次函數，其重點和難點是：①二次函數在規定區間上的最值問題；②一元二次方程根的分布情況問題. 對于三次函數要做到：能由函數的解析式得到函數的極值、函數的單調性，從而畫出函數的大致圖象，了解其零點的分布情況.

解決二次函數的相關問題時，由于其解析式有三種形式（①一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；②標準式：y=a（x-m）2+k（a≠0）；③兩根式：y=a（x-x1）（x-x2）），所以對解析式的選擇顯得非常重要，特別要注意解析式與具體問題的匹配. 對于三次函數問題，特別要重視通過研究其導函數來解決問題，即把三次函數問題化歸為二次函數問題.

例1 已知函數f（x）=x2-2（a+2）x+a2，g（x）=-x2+2（a-2）x-a2+8，設H1=max{f（x），g（x）}，H2=min{f（x），g（x）}，其中max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值，記H1的最小值為A，H2的最大值為B，則A-B等于（ ）

A. 16 B. -16

C. a2-2a-16 D. a2+2a-16

破解思路 本題的常規解法是設法把A，B用a表示出來，然后再求出A-B. 若分別求出函數H1（x）和H2（x）的解析式，再求其最小值和最大值，則要經過繁雜的運算過程，且容易犯錯；而利用數形結合的思想方法解決則能做到“有圖有真相”. 同時，對于選擇題，也可以用特殊法來解決.

答案詳解 法1：拋物線y=f（x）=（x-a-2）2-4a-4的頂點為P（a+2，-4a-4），拋物線y=g（x）=-（x-a+2）2-4a+12的頂點為Q（a-2，-4a+12）.

由f（x）=g（x）？圳2（x-a）2-8=0？圳x=a-2或x=a+2，即兩拋物線的交點恰為拋物線y=f（x），y=g（x）的頂點. 如圖5，作出它們的圖象，由圖象可知A，B分別是P，Q兩點的縱坐標，即A=-4a-4，B=-4a+12，所以A-B=-16.

圖5

法2：事實上，對于？坌a∈R，函數y=f（x）和y=g（x）的圖象都有公共點，所以y=H1（x）和y=H2（x）也有公共點，不妨設其公共點的縱坐標為y0，則A≤y0≤B，所以對于？坌a∈R，A-B≤0，故可否定A，C，D.

例2 已知二次函數f（x）=ax2+2x-a滿足f（-1）

破解思路 要得到a的取值范圍，只需得到實數a應滿足的“目標不等式”，所以問題的關鍵是如何把題目給出的關于某些函數值的不等式“翻譯”成關于a的不等式，這里顯然要利用函數的單調性解決之. 注意到二次函數的單調性與二次函數圖象的開口、對稱軸相關，所以還要用到分類討論的方法.

答案詳解 由題意可知，a≠0.若a>0，則f（x）是（0，+∞）上的增函數，所以f（3）>f（2）>f（1），與已知矛盾. 所以必有a<0. 令x0=->0，由于y=f（x）的圖象關于直線x=x0對稱，且開口向下，由f（-1）3-x0>2-x0>x0-1，解得1

例3 已知函數f（x）=（1-2a）x3+（9a-4）x2+（5-12a）x+4a（a∈R）在區間[0，2]上的最大值是2，求a的取值范圍.

破解思路 （1）當a的值確定時， f（x）在區間[0，2]上的最大值也隨之確定. 從理論上講，其最大值可以表示成關于a的函數h（a），解方程h（a）=2可得到a的值. 但這個想法有以下兩個不足：其一，求函數h（a）的解析式是一件很不容易的事，所以沒有可操作性；其二，照理可求出a的值，而題目所要的結論是a的取值范圍，因此題目中可能還隱藏著其他“機關”.

（2）注意到函數f（x）在區間[0，2]上的最大值只可能在邊界點的函數值及在這個區間上的極值點的函數值中產生，因此必有f（0）≤2， f（2）≤2成立，由此可縮小“包圍圈”. 在操作過程中沒有必要真去求出函數f（x）的最大值，只需其在區間[0，2]上的極值點的函數值不大于2即可.

答案詳解 法1：（分類討論，各個擊破）因為f（x）=（1-2a）x3+（9a-4）x2+（5-12a）x+4a（a∈R），所以f ′（x）=3（1-2a）x2+2（9a-4）x+（5-12a）=（x-1）[3（1-2a）x-（5-12a）] .

記t=其中a≠，由t=1可得a=. 由題意可知， f（0）=4a≤2，得a≤. 又因為？坌a∈R， f（2）=2恒成立， f（1）=-a+2≤2得a≥0，所以0≤a≤.

①當0≤a<時，0<1

②當≤a<時，t≤0<1<2， f（x）是[0，1]上的減函數，是[1，2]上的增函數，所以f（x）在[0，2]上的最大值為max{f（0）， f（2）}=2，滿足條件.

③當

④當a=時， f（x）是[0，1]上的減函數，是[1，2]上的增函數，所以f（x）在[0，2]上的最大值為max{f（0）， f（2）}=2，滿足條件.

⑤當a=時， f ′（x）=（x-1）2≥0，f（x）是[0，2]上的增函數，所以f（x）在[0，2]上的最大值為f（2）=2.

由①②③④⑤可知a的取值范圍是0≤a≤.

評注 這種解法的指導思想是運用分類討論的思想，把需要論證的問題分解成若干個小問題，然后各個擊破，所以總的解題思路顯得很自然. 在該解題過程中利用了x=1是其中的一個極值點，邊界點的函數值f（0）≤2等條件，從而把a的取值范圍壓縮為0≤a≤，但后面的論證過程顯得比較繁雜. 若能大膽猜想0≤a≤就是a的取值范圍，則可以對其論證過程作必要的修正，如通過改變主元的方法，簡化證明過程.

法2：（大膽猜想，小心論證）由題意可知， f（0）=4a≤2，得a≤，又因為？坌a∈R， f（2）=2恒成立， f（1）= -a+2≤2得a≥0，所以0≤a≤.

下面證明：？坌x∈[0，2]，a∈0，有f（x）≤f（2）=2恒成立.

由于f（x）=g（a）=（-2x3+9x2-12x+4）a+x3-4x2+5x.

要證明：？坌a∈0，，g（a）≤2恒成立，只需證明：g（0）≤2，g≤2成立. 令h（x）=g（0）=x3-4x2+5x，則易知h（x）是[0，1]和，2上的增函數，是1，上的減函數，所以h（x）在[0，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}=2，即？坌x∈[0，2]，g（0）≤2成立.

令s（x）=g=（x-1）2+， s（x）在[0，2]上的最大值為max{s（0），s（2）}=2，即？坌x∈[0，2]，g≤2成立.

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤.

評注 本解法的關鍵是能注意到f（2）=2，且x=1是函數的一個極值點，從而大膽猜想a的取值范圍是0≤a≤. 這種解法過程簡捷，確實令人拍案叫絕，但其缺點也很明顯，即思路不是很自然.

在發現“暗藏機關”f（2）=2后，問題即化歸為“0≤x≤2時， f（x）≤f（2）恒成立，求實數a的取值范圍”. 運用分離變量法，把問題化歸為求函數的最值，是求解不等式中參數的范圍最常用的方法之一.

法3：（分離變量，再求最值）由題意可知， f（0）=4a≤2得a≤. 又因為？坌a∈R， f（2）=2恒成立，所以函數f（x）在區間[0，2]上的最大值是2？圳0≤x≤2時， f（x）≤f（2）恒成立？圳0≤x≤2時，（x-2）[（-a）（2x2-5x+2）+x2-2x+1]≤0恒成立？圳0≤x<2時，（-a）（2x2-5x+2）+x2-2x+1≥0恒成立？圳0≤x<2時，a（x-2）（2x-1）≤x2-2x+1恒成立？圳0≤x<時，a≤恒成立且

令g（x）=0≤x<，則g（x）=2--0≤x<，其值域為（0，2]，所以=的最小值為，所以a≤. 當

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤.

1. 關于x的方程x3-px+2=0有三個不同的實數解，則實數p的取值范圍為________.

2. 已知函數f（x）=x3-3x+1，x∈R，A={xt≤x≤t+1}，B={xf（x）≥1}， 若集合A∩B只含有一個元素，則實數t的取值范圍為________.

3. 已知函數ft（x）=（x-t）2-t（t∈R），設a