數(shù)列、推理與證明

湯小梅

為了讓您理清數(shù)列、推理與證明的復(fù)習(xí)要點(diǎn)，理順數(shù)列中的一對(duì)姐妹花（等差數(shù)列與等比數(shù)列），成功穿越數(shù)列的應(yīng)用，理透推理與證明的橫向聯(lián)系和縱向延伸，整合知識(shí)，提煉破解技巧，現(xiàn)走進(jìn)經(jīng)典例題，通過跟蹤練習(xí)，讓您復(fù)習(xí)數(shù)列、推理與證明so easy，輕松突破數(shù)列、推理與證明的思維瓶頸.

等差數(shù)列與等比數(shù)列是新課標(biāo)高考的必考熱點(diǎn)之一，一般的考查方式是一道客觀題、一道解答題，試題難度多為中偏低檔或中檔，總分值約為16～18分.

（1）等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與第n項(xiàng)an的關(guān)系式；（3）與數(shù)列有關(guān)的最值問題.

（1）活用公式→熟練掌握等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及其有關(guān)性質(zhì).

①方程法，即將an與Sn統(tǒng)一表示為a1和d（或q）的方程（組），以求其基本量（五個(gè)基本量中，通常先求出a1和d（或q），然后求其他的基本量）：

對(duì)于等差數(shù)列{an}，an=a1+（n-1）·d，Sn= d=na1+ ；

對(duì)于等比數(shù)列{an}，an=a1qn-1，Sn=na1，q=1， ，q≠1.

②性質(zhì)法，即運(yùn)用等差（比）數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解題，常可整體代換，回避單個(gè)求值. 較為常用的如：a，b，c成等差？圳2b=a+c；a，b，c成等比？圯b2=ac；若m+n=p+q？圯am+an=ap+aq（或aman=apaq）（n，m，p，q∈N ）；有關(guān)和的性質(zhì)，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等差（比）數(shù)列等. 需要指出的是，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)具有對(duì)稱性，因此可用類比的思想理解和記憶.

（2）分類討論→熟練掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與第n項(xiàng)an的關(guān)系，由Sn求解an時(shí)，要注意n=1的檢驗(yàn)，這是通項(xiàng)公式能否合寫的關(guān)鍵；

（3）提煉方法→疊加法、迭乘法、倒序相加求和法、錯(cuò)位相減求和法、裂項(xiàng)相消求和法、分組求和法.

（4）尋找規(guī)律→求解數(shù)列中項(xiàng)的最值或前n項(xiàng)和的最值時(shí)，應(yīng)注意結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式的特征靈活處理，在做題過程中要認(rèn)真研究，總結(jié)相應(yīng)的規(guī)律.

例1 已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，a1，a2是方程x2-3x+2=0的兩根.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn.

破解思路 （1）先求出方程x2-3x+2=0的兩根，再利用數(shù)列{an}的單調(diào)性，得出a1，a2的值，從而可求出等差數(shù)列{an}的公差，即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）利用（1）的結(jié)論，先求出數(shù)列 的通項(xiàng)，觀察通項(xiàng)的特點(diǎn)，只需利用裂項(xiàng)相消法即可破解求和問題.

答案詳解 （1）方程x2-3x+2=0的兩根為1，2，由題意得a1=1，a2=2. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d=a2-a1=1， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n.

（2）由（1）知 = = - ，所以Sn= + +…+ =1- + - +…+ - =1- = .

例2 已知數(shù)列{log3（an-1）}（n∈N ）為等差數(shù)列，且a1=4，a2=10.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求證： + +…+ < .

破解思路 （1）利用a1=4，a2=10，先求出數(shù)列{log3（an-1）}的首項(xiàng)與第二項(xiàng)，再求出等差數(shù)列{log3（an-1）}的公差，從而求出數(shù)列{log3（an-1）}的通項(xiàng)公式，即可解出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）利用（1）的結(jié)論，先求出數(shù)列 的通項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，求其前n項(xiàng)的值，通過放縮法，即可證明原不等式成立.

答案詳解 （1）設(shè)等差數(shù)列{log3（an-1）}的公差為d，由a1=4，a2=10得log3（4-1）=1，log3（10-1）=2，所以d=1，所以log3（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=3n+1.

（2）由（1）知，an=3n+1，所以 = = · ，所以 + +…+ = + + +…+ = = 1- < .

例3 已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N ），且-2S2，S3，4S4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：Sn+ ≤ （n∈N ）.

破解思路 （1）求解的切入點(diǎn)是已知三項(xiàng)成等差數(shù)列，得等比數(shù)列{an}的公比q的方程，從而可求出q的值，即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.（2）證明的關(guān)鍵是先求出Sn，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可破題.

答案詳解 （1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)?2S2，S3，4S4成等差數(shù)列，所以2S3=4S4-2S2，即S4-S3=S2-S4，可得2a4=-a3，于是q= =- . 又因?yàn)閍1= ，所以可得an= ×- =（-1） · .

（2）由（1）知，an=（-1） · ，所以Sn=1-- ，從而可得Sn+ =2+ ，n為奇數(shù)，2+ ，n為偶數(shù).

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn+ 隨n的增大而減小，所以Sn+ ≤S1+ = .

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn+ 隨n的增大而減小，所以Sn+ ≤S2+ = . 故對(duì)于n∈N ，有Sn+ ≤ .

例4 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為__________.

破解思路 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公差，求出Sn，數(shù)形結(jié)合，判斷Sn的圖象特點(diǎn)，求nSn的最小值.

答案詳解 由S10=0，S15=25得a1=-3，公差d= ，所以Sn= n（n- 10）. 所以Sn是關(guān)于n的函數(shù)，其圖象關(guān)于n=5對(duì)稱，n<10時(shí)，Sn<0，n>10時(shí)，Sn>0，所以nSn的最小值應(yīng)在n=5，6，7，8，9中產(chǎn)生，代入計(jì)算得n=7時(shí)nSn最小，最小值為-49.

1. 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，a2+a4=8，且對(duì)任意n∈N ，函數(shù)f（x）=（an-a +a ）x+a ·cosx-a ·sinx，滿足f′ =0，解決下列問題：

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=2an+ ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

2. 已知數(shù)列{an}，a1=1，an=λan-1+λ-2（n≥2）.

（1）當(dāng)λ為何值時(shí)，數(shù)列{an}可以構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）若λ=3，令bn=an+ ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

3. 已知數(shù)列{an}滿足a1=- ，a2=1，anan+1+anan-1=2a a （an≠0，n∈N ，n≥2），Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且b1= ，4nSn+3 =3·4n.

（1）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列{cn}滿足cn= ，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn+1-2Tn+Tn-1（n≥2）的最大值.endprint