直接證明與間接證明

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合. 近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現，此時難度為高檔，分值約為4～8分. 對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區的高考卷中出現，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.

以數列、函數與導數、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.

（1）綜合法解決問題的關鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”. 其逐步推理，實質上是尋找已知的必要條件. 分析法解決問題的關鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結論的充分條件. 因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.

（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據什么去推導（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，常考慮用反證法來證明. 一般地，可在假設原命題不成立的前提下，經過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設錯誤，從反面證明原命題成立.

例1 已知等比數列{an}中，a5+2a4=a2a4，前2m（m∈N？鄢）項和是前2m項中所有偶數項和的 倍.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若數列{bn}滿足bn=（n-λ）an（λ∈R，n∈N？鄢），且{bn}是遞增數列，證明：λ<3.

破解思路 （1）前2m（m∈N？鄢）項和是前2m項中所有偶數項和的 倍，求出等比數列{an}的公式；利用a5+2a4=a2a4，求出a3，即可寫出數列{an}的通項公式；

（2）把（1）中的數列{an}的通項公式代入bn=（n-λ）an，求出數列{bn}的通項公式，再利用{bn}是遞增數列，得關于λ的不等式的恒成立問題，即可證得結論.

答案詳解 （1）設等比數列{an}的公比為q，由已知得a1+a2+a3+…+a2m= （a2+a4+…+a2m），所以a1+a3+a5+…+ a2m-1= （a2+a4+…+a2m），所以a1+a3+a5+…+ a2m-1= q（a1+a3+a5+…+a2m-1），解得q=2.

又由a5+2a4=a2a4，得a3q2+2a3q=a23，即q2+2q=a3，所以a3=8，所以an=a3qn-3=2n.

（2）由（1）知，an=2n. 因為bn=（n-λ）an（λ∈R，n∈N？鄢），所以bn=（n-λ）2n.

因為{bn}是遞增數列，所以bn+1>bn對n∈N？鄢恒成立，所以（n+1-λ）2n+1>（n-λ）2n對n∈N？鄢恒成立，

得λ

例2 已知數列{an}滿足：a1= ，a - a = ，a ·an<0（n≥1），數列{bn}滿足：bn=a2n+1-a2n（n≥1）. 證明：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列.

破解思路 先求出數列{an}的通項，然后利用反證法證明.

答案詳解 因為a - a = ，所以1-a = （1-a ），令cn=1-a ，則c = cn. 又c1=1-a = ，則數列{cn} 是首項為 ，公比為 的等比數列，即cn= · ，所以1-a = · ，所以a =1- · ，所以bn=a -a =1- · -1- · = · . 假設數列{bn}存在三項br，bs，bt（rbs>bt，則只有可能有2bs=br+bt成立，所以2· · = · + · ，化簡得3 ·2 =3 ·2 +1①. 因為r

已知數列{an}滿足a1=a，an+1= （n∈N）.

（1）數列 是否為等比數列？若不是，請說明理由；若是，試求出通項an.

（2）如果a=1時，數列{an}的前n項和為Sn，試求出Sn，并證明當n≥3時，有 + +…+ < .