三角函數(shù)的圖象

本節(jié)考題的重要類型是圖象變換和求函數(shù)解析式，這類問題在選擇題、填空題和解答題的第一問中都經(jīng)常出現(xiàn). 解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

本節(jié)知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是：①能用“五點(diǎn)法”作出y=sinx、y=cosx的圖象，并能作出y=tanx的圖象；②能夠由y=sinx的圖象通過變換得出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的圖象. 在確定正弦函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的圖象時(shí)，起關(guān)鍵作用的5個(gè)點(diǎn)是（0，0）， ，1，（π，0）， ，-1，（2π，0）.

在確定余弦函數(shù)y=cosx（x∈[0，2π]）的圖象時(shí)，起關(guān)鍵作用的5個(gè)點(diǎn)是（0，1）， ，0，（π，-1）， ，0，（2π，1）.

三角函數(shù)圖象變換：主要途徑是“先周期后相位”和“先相位后周期”，三角函數(shù)圖象的變換主要是指同名的三角函數(shù)圖象間的變換關(guān)系以及異名（主要是正弦與余弦）三角函數(shù)圖象的變換關(guān)系，對(duì)于后者，變換時(shí)要先將它們利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名的函數(shù)，兩個(gè)同名函數(shù)圖象的變換主要先考慮相位變換，再考慮周期變換，最后考慮振幅變換. 如果先進(jìn)行了周期變換，再進(jìn)行平移變換時(shí)，此時(shí)向左或向右平移的單位是 個(gè)單位長(zhǎng)度，而不是φ個(gè)單位長(zhǎng)度.

用待定系數(shù)法求正弦、余弦形式的三角函數(shù)解析式要注意：（1）已知函數(shù)圖象求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式時(shí)，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定ω，由適合函數(shù)解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定φ，但由圖象求得的y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式一般不唯一，只有限定ω的取值范圍，才能求出唯一解，否則φ的值不確定，解析式也就不唯一.

（2）將若干個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)解析式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)A，ω，φ，這里需要注意的是，要認(rèn)清選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)”中的哪一個(gè)點(diǎn)，并能正確代入式中. 依據(jù)五點(diǎn)法作圖原理，對(duì)于正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k，點(diǎn)的序號(hào)與式子的關(guān)系是：“第一點(diǎn)”（即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為ωx+φ=0；“第二點(diǎn)”（即圖象的最高點(diǎn)）為ωx+φ= ；“第三點(diǎn)”（即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為ωx+φ=π；“第四點(diǎn)”（即圖象的最低點(diǎn)）為ωx+φ= ；“第五點(diǎn)”為ωx+φ=2π.

例1 已知函數(shù)f（x）= ·sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin +φ（0<φ<π），其圖象過點(diǎn) ， .

（1）求φ的值；

（2）將f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 ，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在0， 上的最大值和最小值.

破題思路 根據(jù)方程思想，本題只有一個(gè)參數(shù)，所以把點(diǎn) ， 直接代入函數(shù)解析式，得到一個(gè)等式即可；化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，采用先周期變換、振幅變換，再相位變換比較簡(jiǎn)單.

答案詳解 由題意把點(diǎn) ， 代入函數(shù)的解析式得 sin sinφ+ cosφ- cosφ= ？圯 sinφ+ cosφ=sinφ+ =1.

（1）sinφ+ =1，φ∈（0，π），φ+ ∈ ， ，φ+ = ，φ= .

（2）f（x）= sin2x· + cos2x- = sin2x+ （1+cos2x）- = sin2x+ ，

依題意g（x）= sin2·2x+ = sin4x+ ，

當(dāng)4x+ = ，即x= 時(shí)，g（x）取最小值- ；

當(dāng)4x+ = ，即x= 時(shí)，g（x）取最大值 .

例2 函數(shù)f（x）=Acos +φ其中A>0，φ∈- ，0的圖象如圖1所示，

圖1

（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（π，1）和 ， ，求函數(shù)的解析式；

（2）如圖1所示，點(diǎn)M，N是函數(shù)y=f（x）的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，函數(shù)圖象上一點(diǎn)C（x0， ）滿足 · = ，求函數(shù)y=f（x）的最大值.

破題思路 對(duì)于三角函數(shù)問題中的“知圖求式”（及其性質(zhì)），應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下方面：

（1）周期（可推出ω的取值范圍）；

（2）振幅（可推出A（A>0））；

（3）特征點(diǎn)（可形成三角方程，以求φ的值）.

答案詳解 （1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)（π，1）和 ， ，

所以Acos +φ？搖=1，Acos +φ？搖= ，解得φ=- ，A=2，所以f（x）=2cos - .

（2）因?yàn)镸，N是零點(diǎn)，所以令A(yù)cos +φ=0得 +φ=kπ+ （k∈Z），解得x=2kπ+π-2φ.

令k=-1，得x=-π-2φ，即M（-π-2φ，0）；

令k=0，得x=π-2φ，即N（π-2φ，0），所以 =（π-2φ-x0，- ）， =（2π，0）.

· =2π×（π-x0-2φ）= ，即π-x0-2φ= ，解得x0+2φ= ①.

又因?yàn)镃（x0， ）在函數(shù)y=f（x）圖象上，即Acos +φ= ，Acos = ，

將①代入得：Acos = ，即A=2 ，

所以函數(shù)y=f（x）的最大值是2 .

1. 已知向量m=（sinx，1），n= Acosx， cos2x（A>0），函數(shù)f（x）=m·n的最大值為6.

（1）求A；

（2）求將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在0， 上的值域.

2. 已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），其中x∈R，A>0，ω>0，- <φ< 的部分圖象如圖2所示.

圖2

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）已知函數(shù)f（x）圖象上三點(diǎn)M，N，P的橫坐標(biāo)分別為-1，1，5，求sin∠MNP 的值.endprint