立體幾何

俞毅婷

立體幾何是培養(yǎng)空間觀念和公理化體系處理數(shù)學(xué)問題的重要載體，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容. 從歷年的高考試題來看，立體幾何一般以“兩小一大”命題，以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，空間角與空間距離的探求為考查重點，同時空間向量在研究上述問題中也起著很大的作用.

本考點為新增內(nèi)容，主要考查空間幾何體三視圖的識別和判斷，通過所給三視圖計算空間幾何體的表面積和體積等問題. 題型主要是選擇題或填空題，基本上都是中等難度或比較簡單的試題.

（1）了解柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中的簡單物體的結(jié)構(gòu).

（2）能畫出簡單空間幾何體的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.

認(rèn)識三視圖的關(guān)鍵是要分清觀察者的方向，應(yīng)從正、側(cè)、上三個方向觀察，原則是：長對正，高平齊，寬相等. 在畫一個物體的三視圖時，一定注意實線與虛線要分明；另外，幾何體的主視圖和側(cè)視圖會因觀察角度的不同而不同. 因此，要注意幾何體中所給出的觀察角度.

例1 一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）

A B C D

破解思路 本題考查三視圖的判斷. 由題意畫出幾何體的直觀圖，然后以zOx平面為投影面，得到正視圖即是答案.

答案詳解 因為一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫出其直觀圖如圖1所示，是一個以正方體的頂點為頂點的正四面體，所以以zOx平面為投影面得到的正視圖如圖2所示. 故選A.

圖1 圖2

例2 一個四棱錐的三視圖如圖3所示，其側(cè)視圖是等邊三角形.該四棱錐的體積等于（ ）

A. B. 2

C. 3 D. 6

圖3

破解思路 本題首先通過俯視圖確定幾何體底面的大致形狀，然后利用正視圖和側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，最后確定幾何體的形狀如圖4所示.

圖4

答案詳解 由三視圖可知，四棱錐的底面是俯視圖中對應(yīng)的梯形，四棱錐的側(cè)面是等邊三角形且該側(cè)面和底面垂直，所以四棱錐的高為 ，底面梯形的面積為 =3，所以四棱錐的體積為 ×3× = ，選A.

1. 某幾何體的三視圖如圖5所示，根據(jù)所給尺寸（單位：cm），可知該幾何體的體積為________cm3.

圖5

2. 一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A處出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點C1位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是（ ）

① ② ③ ④

A. ①② B. ①③

C. ③④ D. ②④endprint