空間線面位置關系的判定

本考點考查同學們對定義、定理的深刻理解，以及對符號語言、圖形語言、文字語言三者之間轉換的能力. 考查主要以選擇題、填空題的形式出現，題目難度不大，主要是判斷命題真假、判斷充要關系等.

（1）理解空間中點、線、面的位置關系.

（2）熟練運用平行、垂直關系的判定定理和性質定理，判定較復雜的平行、垂直問題.

（3）通過大量圖形的觀察、實驗，實現平面圖形到立體圖形的飛躍，培養空間想象能力.

該知識點的重點、難點是：符號語言、圖形語言、文字語言三者之間的轉換，異面直線的定義及其所成角的求法.

（1）借助空間線面位置關系的線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理來解決問題.

（2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等中觀察線面位置關系，結合有關定理，肯定或否定某些選項，并作出選擇.

（3）注意反例和生活中的圖例的應用.

例1 若m，n是平面α內的兩條不同直線，l1，l2是平面β內的兩條相交直線，則α∥β的一個充分而不必要條件是（ ）

A. m∥β且l1∥α

B. m∥l1且n∥l2

C. m∥β且n∥β

D. m∥β且n∥l2

破解思路 要得到兩個平面平行，必須是一個平面內的兩條相交直線分別與另外一個平面平行. 若兩個平面平行，則一個平面內的任一直線必平行于另一個平面. 其實解決此類問題更好的辦法是利用數學模型，比如正方體模型，把相關直線、平面的關系在正方體上表示出來再進行判定.

答案詳解 對于選項A，不是同一平面的兩條直線，顯然既不充分也不必要. 對于選項B，由于l1與l2是相交直線，且l1∥m，m？奐α，l1？埭α，所以l1∥α，同理得l2∥α，且l1與l2相交，故可得α∥β，充分性成立；而α∥β不一定能得到l1∥m，它們也可以異面，故必要性不成立. 對于選項C，由于m，n不一定是相交直線，故是必要非充分條件. 對于選項D，由n∥l2可轉化為C，故不符合題意. 綜上所述，正確答案為B.

例2 如圖9，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是棱A1B1，BB1，B1C1的中點，給出下列結論：①FG⊥BD；②B1D⊥平面EFG；③平面EFG∥平面ACC1A1；④EF∥平面CDD1C1. 正確結論的序號是？搖______.

圖9

破解思路 本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，屬于基礎知識的考查. 可利用中位線的性質把有關量轉移到正方體的對角線或對角面考慮.

答案詳解 對于①，FG∥BC1，BC 與BD成60°角，所以①錯；對于③，只能得到直線EG∥平面ACC1A1，而判定面面平行需有兩相交直線的條件，所以③錯；②和④正確. 故答案為②④.

1. 設l，m，n表示三條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）

A. 若l∥m，m？奐α，則l∥α

B. 若l⊥m，l⊥n，m，n？奐α，則l⊥α

C. 若l∥α，l∥β，α∩β=m，則l∥m

D. 若l？奐α，m？奐β，l⊥m，則α⊥β

2. 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，C1D的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是（ ）

A. 相交 B. 平行

C. 異面 D. 以上都有可能

圖10

3. 四棱錐P-ABCD的頂點P在底面ABCD上的投影恰好是點A，其正視圖與側視圖都是腰長為a的等腰直角三角形（如圖11所示），則在四棱錐P-ABCD的任意兩個頂點的連線中，互相垂直的異面直線共有______對.

圖11endprint