函數的圖象及零點

由于函數的性質是高考命題的主線索，函數的圖象是函數形的體現，所以在近幾年各地的高考數學試題中都有與函數的圖象相關的試題. 有的是“顯性”地考查函數與圖象問題，即直接考查相關函數的圖象；有的是“隱性”地考查函數的圖象與性質，即在題干中雖然沒有明確提到函數的圖象，但在解決問題的過程中必然要用到相關函數的圖象. 從近幾年的試題來看，一般以中等難度、題型新穎的試題綜合考查.

對函數圖象的復習備考要做到以下“三會”：會識圖，即能由函數的圖象得到函數的相關性質——這是基礎；會畫圖，即能由函數的解析式畫出其圖象——這是關鍵；會應用，即能運用函數的圖象解決問題——這是目標.

（1）在復習和應試中，要努力提高利用函數的圖象解決問題的意識.

（2）熟悉基本函數的圖象，掌握函數圖象的平移變換、對稱變換、伸縮變換是迅速、準確地作出函數圖象的基礎.

（3）注意函數圖象的幾何特征與函數性質的數量特征之間的關系（如函數的定義域、值域、零點、單調性、奇偶性、周期性等性質在對應圖象中的體現）.

例1 已知函數y=f（x）是偶函數，當x≥0時， f（x）=-（x-1）2+1，則滿足f[f（a）]=的實數a的個數為（ ）

A. 2？搖？搖？搖？搖？搖 B. 4？搖？搖？搖？搖 C. 6？搖？搖 ？搖D. 8

破解思路 不難發現滿足條件的a的值“照理”都可求出來，若有這種“沖動”并付之于行動，則容易陷入繁雜的運算之中而不能自拔；由于試題只要求能求出方程解的個數就可以了，所以可利用函數的圖象解決之，做到“有圖有真相”，在具體操作中可作適當的估算，沒有必要弄得很精細，只要能確定答案即可，做到“難得糊涂”.

答案詳解 如圖3，作出函數y=f（x）的圖象，由圖象可知方程f（x）=有四個不同的解±x1，±x2（其中0

圖3

例2 設f（x）是定義在R上的偶函數，且f（2-x）=f（2+x），當x∈[-2，0]時， f（x）=-1，記g（x）=f（x）-log（x+2）（其中a>0，a≠1），試討論函數g（x）在區間（-2，6]上零點的個數.

破解思路 注意到g（x）的零點個數即為函數y=f（x）與函數y=log（x+2）的圖象公共點的個數. 不難發現函數y=f（x）已唯一確定，因此可先作出其圖象，再利用a的值的大小與函數y=log（x+2）的圖象之間的關系討論它們公共點的個數.

答案詳解 由f（2-x）=f（2+x）可知， f（4+x）=f（-x），又因為f（x）為偶函數，所以f（-x）=f（x），所以f（4+x）=f（x）.

當x∈[-2，0]時， f（x）=-1，如圖4，作出函數y=f（x）的圖象. 其中A（2，1），B（6，1）.

當a=4時，y=log（x+2）的圖象過點A（2，1）；當a=8時，y=log（x+2）的圖象過點B（6，1）.

圖4

由圖象可知：

①當0

②當a=4時，g（x）在區間（-2，6]上有且僅有2個零點；

③當4

④當a>8時，g（x）在區間（-2，6]上有且僅有4個零點.

1. 已知函數f（x）=x2-2，0

A. （0，2） ？搖？搖？搖？搖？搖 B. （2，4）

C. （，2）？搖？搖？搖？搖D. （2，2）

2. 已知函數f（x）=x+，x>0，x3+9，x≤0，若關于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有6個不同的實根，則a的取值范圍是（ ）

A. （2，8] B. （2，9]

C. （8，9] D. （8，9）

3. 若函數f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=-2對稱，則f（x）的最大值為_______.