導數及其應用
2015-04-16 13:28:22
數學教學通訊·初中版 2015年4期
導數及其應用一直是高考數學中的重點、熱點、難點，特別是通常出現在理科數學試卷的壓軸題中，對考生數學能力的要求較高. 試題往往具有挑戰性，是考生能否得高分的分水嶺.
在導數的復習備考中要努力過好以下三關：第一關，會求目標函數的導函數，即能準確、熟練地根據導數的運算法則及基本函數的導數，求出試題給出的目標函數的導數，特別要重視運算的準確性，它關系后面結果的對錯；第二關，會直接應用導數解題，即能解決導數的簡單應用問題，如利用導數說明（或證明）函數的單調性，求函數的極值和最值等；第三關，會構造應用，即能對試題所涉及的目標函數進行合理的改造和變形，然后再利用導數解決之.
（1）要熟悉運用導數研究函數性質的基本程序：先求出函數的定義域，再求其導函數，確定導函數的零點，由此可得函數的單調性及極值（或最值）.
（2）對于含參變量的最值問題，特別要注意分類討論思想的應用.
（3）對于比較陌生的創新問題，要注意等價轉化思想的應用，若能化歸為熟悉的基本問題，則離成功就不遠了.
（4）若試題中有若干個小題，則特別要注意前后小題之間的聯系，要有利用前面小題所得的結論解決后面問題的意識.
例1 已知a為常數，函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x1，x2（x1 A. f（x1）>0， f（x2）>- B. f（x1）<0， f（x2）<- C. f（x1）>0， f（x2）<- D. f（x1）<0， f（x2）>- 破解思路 由于給出的函數含有參數a，因此可由條件確定參數a的取值范圍，再由函數的導函數確定兩個極值點x1，x2（x1 答案詳解 法1：因為f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x1，x2（x1 法2：同法1知f ′（x）=lnx+1-2ax有兩個不同的零點，即關于x的方程2ax=lnx+1在（0，+∞）上有兩個不同的實數解，即2a=h（x）= 在（0，+∞）上有兩個不同的實數解. 由h′（x）= >0得0 例2 已知函數f（x）= ，試問：是否存在實數a，使得對？坌x∈（0，1）∪（1，+∞）， f（x）> 恒成立？若不存在，請說明理由；若存在，求出a的值并加以證明. 破解思路 由不等式f（x）> 成立，求字母系數a的取值范圍，解決的常規方法是分離變量法，即從不等式中分離出a，然后化歸為求函數的最值問題. 要實現變量的分離，必須把等式左邊的分母lnx除去，即需要確定lnx的值的正負，但lnx的值的符號是不確定的，所以可用分類討論的方法，把原問題分解成兩個小問題來解決. 答案詳解 （1）？坌x∈（0，1）， f（x）> 恒成立？圳？坌x∈（0，1）， > 恒成立？圳？坌x∈（0，1），a>x- lnx恒成立. 令h（x）=x- lnx，則h′（x）= （ -1-ln ）. 令t= ，t∈（0，1），則s（t）=t-1-lnt，所以s′（t）=1- . 當0 （2）？坌x∈（1，+∞）， f（x）> 恒成立？圳？坌x∈（1，+∞）， > 恒成立？圳？坌x∈（1，+∞），a 令t= ，t∈（1，+∞），則s（t）=t-1-lnt，所以s′（t）=1- . 當t>1時s′（t）=1- >0，所以s（t）=t-1-lnt是（1，+∞）上的增函數，則？坌t∈（1，+∞），s（t）>s（1）=0. 所以？坌x∈（1，+∞），h′（x）= （ -1-ln ）>0，h（x）=x- lnx是（1，+∞）上的增函數，？坌x∈（1，+∞）時，h（x）=x- lnx>h（1）=1，所以a≤1. 由（1）（2）可知，當且僅當a=1時， ？坌x∈（0，1）∪（1，+∞）， f（x）> 恒成立. 1. 若已知曲線y=x4+ax2+1在點P（-1，a+2）處的切線的斜率為8，則a的值為（ ） A. 9 B. 6 C. -9 D. -6 2. 已知e為自然對數的底數，設函數f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2），則（ ） A. 當k=1時， f（x）在x=1處取到極小值 B. 當k=1時， f（x）在x=1處取到極大值 C. 當k=2時， f（x）在x=1處取到極小值 D. 當k=2時， f（x）在x=1處取到極大值 3. 已知直線l：y=3x-e（e為自然對數的底數）是函數f（x）=ax+xlnx圖象的切線， （1）求實數a的值； （2）設g（x）= （其中x>1）， ①證明：函數g（x）在區間（1，+∞）上存在最小值； ②設k為整數，且對于任意的x∈（1，+∞）有k
