歐拉算子系統柔性變結構控制器設計

劉云龍， 馬云峰， 徐國盛,2， 王文成

(1. 濰坊學院 信息與控制工程學院， 山東 濰坊 261061； 2. 北京交通大學 電子信息工程學院， 北京 100044)

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歐拉算子系統柔性變結構控制器設計

劉云龍1， 馬云峰1， 徐國盛1,2， 王文成1

(1. 濰坊學院 信息與控制工程學院， 山東 濰坊 261061； 2. 北京交通大學 電子信息工程學院， 北京 100044)

針對帶有不確定參數的模擬信號系統，提出了一種基于Sigmoid函數的飽和變速趨近律方法，設計了歐拉算子柔性變結構控制器?；跉W拉算子采樣原理，將模擬信號系統和采樣信號系統的變結構控制器設計統一到歐拉算子系統。該柔性變結構控制器在采樣頻率很高時，其穩定性仍與相應的模擬信號系統保持一致。給出了一個有源電力濾波器仿真實例，比較基于指數趨近律方法設計的變結構控制器，該柔性變結構控制器的抖振幅度較小，基波電流有良好的跟蹤補償。

歐拉算子; 移位算子; 變結構; 飽和變速趨近律; 柔性

0 引 言

隨著現代工業自動化的發展，電子通信，化工流程等實際領域的檢測與控制精度越來越高，以采樣技術為核心的計算機控制(Computer Control, CC)迅速成為控制科學領域的研究熱點。采樣控制是按照一定的間隔時序對模擬信號進行樣本采集，將其轉換為相應的脈沖序列，是計算機控制實現的重要轉換途徑。對于模擬信號系統，利用移位算子采樣時，如果頻率過高，系統狀態軌線將趨近于穩定圓域的邊界，使得采樣系統并不趨近于原來的模擬信號系統，可能引起環形振蕩，甚至造成系統失穩，降低控制器使用壽命[1]。歐拉算子是一種增量差分算子，又稱為Delta算子，能夠統一描述模擬信號系統和采樣信號系統[2]。利用歐拉算子采樣的控制系統能夠較好處理數字信號，即使采樣頻率非常高，其穩定性仍與原來的模擬信號保持一致，在有源電力濾波器(active power filter, APF)[3]、熱能快速轉化器[4]等實際系統中具有廣泛的應用。

對于不確定系統，研究系統可靠性診斷與控制策略優化非常重要，如最優控制[5]、模糊控制[6]。變結構控制也是一種有效的處理不確定系統的控制策略，在一定的匹配條件下，當系統狀態軌線到達切換面后，總會處于滑動模態，具有很強的完全自適應性，又稱滑?？刂芠7]。趨近律方法是變結構控制系統設計中采用主動設計思想的算法，實用可靠。針對采樣控制系統，文獻[8]提出了采用指數趨近律，所設計的變結構控制器調節時間短，響應速度快，但產生了抖振，影響了它的推廣應用。文獻[9]給出了能夠趨近平衡狀態的變速趨近律。人工神經網絡技術中的sigmoid函數，是典型的具有光滑飽和性的柔性函數。文獻[10]利用sigmoid函數改進了采樣指數趨近律。文獻[11]基于sigmoid函數設計了一種軟變結構水下機器人。文獻[12]基于S型函數構造了受限系統的軟變結構控制器，較好地削弱了系統抖振。文獻[13]給出了歐拉算子變結構控制系統實現穩定切換面的充分條件和控制器設計。文獻[14]設計了基于指數趨近律方法的歐拉算子變結構控制系統。文獻[15]基于歐拉算子構造了不確定魯棒變結構控制器。對于歐拉算子系統，基于柔性變結構控制策略的研究成果很少。

針對帶有不確定參數的模擬信號系統，基于移位算子采樣的變結構控制系統容易出現抖振的問題，利用sigmoid函數，提出一種飽和變速趨近律，基于歐拉算子采樣，設計歐拉算子柔性變結構控制器。該控制器既有效地削弱了系統抖振，又能在有限時間內趨近切換面，最終穩定于平衡狀態，具有良好的動態性能。

1 系統描述

歐拉算子的數學表達式為

(1)

考慮如下模擬信號系統：

(2)

(3)

其中，I為單位矩陣。利用歐拉算子采樣，得如下系統：

(4)

實際問題中，系統往往存在著未建模動力學等不確定因素，給出如下帶有不確定參數的歐拉算子系統：

(5)

式(5)對應的標稱系統為

(6)

2 歐拉算子飽和變速趨近律

文獻[8]給出基于移位算子采樣指數趨近律：

(7)

文獻[9]給出了變速趨近律：

(8)

(9)

式(9)能夠使得系統最終趨近于平衡狀態，但該方法的缺點是需要已知精確的數學模型，不具有魯棒性[16]。

人工神經網絡技術中的sigmoid函數是一類連續、可導、飽和有界的激勵函數，其數學表達式為

(10)

(11)

由于指數式(7)和變速式(8)都有難以克服的問題，同時，組合趨近律也不易準確實施切換，利用sigmoid函數，給出了一種歐拉算子飽和變速趨近律：

(12)

當系統在趨近過程階段，此時離平衡狀態較遠，有

因此，飽和變速趨近律(12)可化簡為

(13)

這表明在趨近過程階段內，系統能夠在有限時間內快速到達切換面。利用線性矩陣不等式技術，由引理1知，據文獻[13]，可以求取切換函數的系數矩陣。

當系統在滑動模態過程，此時一般離平衡狀態較近，根據等價無窮小量理論，由L'Hospital法則，有：

(14)

3 歐拉算子柔性變結構控制器設計

歐拉算子系統柔性變結構控制器設計分為兩個過程：首先選取線性形式或積分型等非線性形式的切換函數，目的是保證系統狀態軌線進入切換區域后，平穩趨近到滑動模態區域；其次，構造歐拉算子柔性變結構控制律,使得從任意初態出發的系統狀態軌線快速到達切換面，并最終穩定于平衡狀態或在平衡狀態附近形成較小的抖振。

這里選取線性切換函數：

(15)

其中：c∈Rn滿足Hurwitz條件。構造切換面為

(16)

構造切換帶為

(17)

其中：2ω為切換帶的帶寬。

考慮不確定歐拉算子系統式(5)，假定內部參數攝動和外在擾動滿足如下匹配條件：

ΔA=baT,D=bdT

(18)

其中，a∈Rn，d∈Rl。

假定選取的向量c使得cTb≠0，采用飽和變速趨近律式(12)，得歐拉算子柔性變結構控制律為

(19)

對于柔性變結構控制律式(19)，其中含有不確定參數，無法直接物理實現，其完全自適應性并不能保證。要使柔性變結構控制律式(19)能夠直接實施，需要限制系統不確定因素的變化范圍在有界區域，將該控制律的不確定因素用其上、下確界代替。這樣，該控制律就成為可直接實現的控制律。

考慮不確定參數是有界的，無妨假設

(20)

可得:

① 優化調節時間和響應速度的切換結構

② 削弱外在干擾因素影響的切換結構

于是，得到可直接實現的歐拉算子柔性變結構控制律：

(21)

將不確定參數的匹配條件式(18)、有界條件式(20)和柔性變結構控制律式(21)代入不確定歐拉算子系統式(5)中，有:

這表明不確定歐拉算子系統式(5)，在不確定參數滿足有界和匹配條件的前提下，存在著柔性變結構控制律式(21)，使得系統在滑動模態階段具有完全自適應性。

4 實例仿真

本節給出一個實例說明柔性變結構控制器設計的可行性。考慮某APF控制器，相關參數如下：電源電壓為380 V，等效電源電阻為0.1 Ω，等效電源電感為2 mH，連接電感為1.5 mH，高通濾波器電容為30 μF，濾波電阻為1 Ω，非線性負載為不可控阻感負載整流器，給出的歐拉算子系統為

相關參數如下：

為進行仿真分析，負載整流器參數為

利用移位算子采樣，給出采樣信號系統為

相關參數如下：

基于指數趨近律(7)設計的APF變結構控制器的基波電流波形如圖2所示。

圖1 基于趨近律(12)設計的APF基波電流波形

圖2 基于趨近律(7)設計的APF基波電流波形

圖3和圖4分別為基于飽和變速趨近律式(12)設計的APF柔性變結構控制器和基于指數趨近律式(7)設計的APF變結構控制器的輸入變化曲線。

圖3 基于趨近律(12)設計的APF柔性變結構 控制器的輸入曲線

對比圖1、圖2的基波電流補償效果，基于歐拉算子采樣，利用飽和變速趨近律式(12)設計的APF柔性變結構控制器補償效果優于利用傳統移位算子采樣設計的APF變結構控制器。若進一步增大采樣頻率，傳統移位算子采樣方法設計的變結構控制器抖振幅度增大，使得控制系統變得不穩定，而基于歐拉算子采樣設計的柔性變結構控制器仍然具有良好的穩態性能。

圖4 基于趨近律(7)設計的APF變結構控制器的輸入曲線

5 結 語

將模擬信號系統和采樣信號系統的變結構控制器設計統一到歐拉算子系統，消除了移位算子采樣過程易產生的病態問題?；陲柡妥兯仝吔煞椒ǎO計了不確定歐拉算子系統的柔性變結構控制器，具有良好的動態性能和穩態性能。另外，具有時間滯后的歐拉算子柔性變結構控制器設計有待于進一步研究。

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加快解決經濟社會發展對高質量多樣化人才需要與教育培養能力不足的矛盾、人民群眾期盼良好教育與資源相對短缺的矛盾、增強教育活力與體制機制約束的矛盾，為教育事業持續健康發展提供強大動力。

——摘自《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》

Design of Flexible Variable Structure Controller for Euler Operator System

LIUYun-long1,MAYun-feng1,XUGuo-sheng1,2,WANGWen-cheng1

(1. College of Information and Control Engineering, Weifang University, Weifang 261061, China;2. School of Electronic and Information Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Aiming at Euler operator system with uncertain parameters, a novel reaching law method, named saturated variable rate reaching law, is proposed based on the sigmoid function, and a flexible variable structure controller is designed based on saturated variable rate reaching law in this paper. By the designed variable structure controller, the analog signal system and sampling signal system can be unified into the Euler operator system based on the principle of Euler operator sampling. When sampling frequency is very high, the flexible variable structure controller can make the stability of the control system be closed to the original analog signal system. A simulation example of active power filter is given to demonstrate the application of the controller. Compared to variable structure controller based on exponential reaching law, the proposed flexible variable structure controller can reduce the chattering, and has a good compensation of fundamental current.

Euler operator; shift operator; variable structure; saturated variable rate reaching law; flexible

2014-10-31

國家自然科學基金資助項目(61403283)；山東省高等學?？萍加媱濏椖?J13LN81)；濰坊市科學技術發展計劃項目(2014GX022)；濰坊學院博士科研基金項目(2013BS10)

劉云龍(1982-)，男，山東日照人，博士，講師，主要研究方向為滑模控制，離散控制，電機控制。

Tel.: 13562650201; E-mail: fhylren@163.com

TP 273

A

1006-7167(2015)05-0093-04