基于輸出反饋控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)

齊 跡， 李艷輝， 張景炘

(1. 齊齊哈爾大學(xué) 通信與電子工程學(xué)院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006；2. 東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院， 黑龍江 大慶 163318；3. 大慶石化建設(shè)公司， 黑龍江 大慶 163714)

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基于輸出反饋控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)

齊 跡1， 李艷輝2， 張景炘3

(1. 齊齊哈爾大學(xué) 通信與電子工程學(xué)院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006；2. 東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院， 黑龍江 大慶 163318；3. 大慶石化建設(shè)公司， 黑龍江 大慶 163714)

由于直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中，小車和倒立擺速度不能直接測(cè)量，所以嘗試采用基于輸出反饋控制器的魯棒H∞控制方法對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行控制。首先，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合LMI技術(shù)進(jìn)行輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)，然后在Matlab環(huán)境下對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的輸出反饋控制器是令人滿意的。

二級(jí)倒立擺； 輸出反饋控制； 魯棒性；H∞范數(shù)

0 引 言

倒立擺系統(tǒng)具有高階次、多變量、嚴(yán)重不穩(wěn)定等特點(diǎn)[1-2]，控制系統(tǒng)中一些抽象的概念如穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)的收斂速度和抗干擾能力都可以通過(guò)倒立擺系統(tǒng)反映出來(lái)[3-4]，許多控制理論的專家、學(xué)者一直將它視為典型的研究對(duì)象，不斷探索新的控制策略和方法。文獻(xiàn)[5]研究了直線倒立擺系統(tǒng)控制特性的影響因素；文獻(xiàn)[6]采用變?cè)鲆鍸QR控制方法對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制；Taylor 和Ibanez等人分別采用極點(diǎn)配置和Lyapunov函數(shù)對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行研究[7-8]；文獻(xiàn)[9]采用非線性逆系統(tǒng)軌跡控制實(shí)現(xiàn)三級(jí)倒立擺的自動(dòng)擺起；文獻(xiàn)[10-12]采用基于觀測(cè)器的方法對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行研究。這些控制方法已被廣泛接受，具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。然而，直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中直接可測(cè)的狀態(tài)只有小車和倒立擺的位置，小車和倒立擺的速度是不能直接測(cè)量的，所以上述方法存在一定的局限性。

本文通過(guò)設(shè)計(jì)輸出反饋控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制[13-14]，將該系統(tǒng)中小車與導(dǎo)軌之間的摩擦力當(dāng)作一種擾動(dòng)，同時(shí)考慮系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題，對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行建模，選擇合適的Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)出輸出反饋控制器存在的充分條件，并將其表達(dá)成具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問(wèn)題，利用數(shù)字軟件進(jìn)行求解。仿真實(shí)驗(yàn)證明所設(shè)計(jì)的輸出反饋控制器在干擾信號(hào)作用和模型參數(shù)攝動(dòng)的情況下，具有較強(qiáng)的抗干擾能力和魯棒穩(wěn)定性。

1 問(wèn)題描述

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，得到包含擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)的倒立擺線性化模型為

(1)

其中：x(t)∈Rn是狀態(tài)變量；y(t)∈Rp是被控制信號(hào)；z(t)∈Rq是測(cè)量輸出；u(t)∈Rm是控制輸入信號(hào)；w(t)是作用在小車上的干擾信號(hào)；假定系統(tǒng)矩陣A,A1,A2,B,B1,C是不確定性矩陣，但可以表示為某些已知頂點(diǎn)矩陣的凸組合，即Ω=(A,A1,A2,B,B1,C)∈R，集合R為一個(gè)給定的凸有界多面體域，表示為

其中,Ri=(Ai,A1i,A2i,Bi,B1i,Ci)為R的第i個(gè)向量。

本文目標(biāo)是設(shè)計(jì)如下形式的輸出反饋控制器，用來(lái)測(cè)量小車和倒立擺的速度，采用魯棒H∞控制方法使得二級(jí)倒立擺在不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)處保持穩(wěn)定的平衡。

(2)

其中:xc(t)是控制器狀態(tài)向量;Ac,Bc,Cc,Dc是待設(shè)計(jì)的控制器增益矩陣，考慮式(1)和式(2)可以得到如下倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)

(3)

其中:

(4)

2 基于輸出反饋控制器的魯棒H∞方法

本文的期望目標(biāo)為：

(5)

2.1 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與H∞性能分析

(6)

(7)

其中，P>0。

沿方程(3)的解對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)，得：

(8)

因此，當(dāng)假定擾動(dòng)輸入w(t)=0時(shí)，可得

(9)

2.2 輸出反饋控制器求解

(10)

此外，若上述線性矩陣不等式(10)有可行解，則H∞輸出反饋控制器的參數(shù)可由下式求得：

(11)

證明：根據(jù)定理1，若條件(6)滿足則有P為非奇異矩陣，令

(12)

不失一般性，假設(shè)P2為非奇異矩陣，我們可以定義如下的矩陣變量:

(13)

(14)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無(wú)論是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何，還是統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)，處處蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想。教材借助幾何圖形的直觀來(lái)幫助學(xué)生理解抽象概念。生動(dòng)形象的圖形使得抽象的知識(shí)變得趣味化、直觀化，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，不再感到枯燥乏味，反而能從中獲得有趣的情感體驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)了主動(dòng)探索，把握了概念本質(zhì)。

(15)

定義矩陣變量P1=X,R1=Y和

(16)

考慮式(4)，則不等式(15)中各符號(hào)表示為：

(17)

將式(17)代入式(15)得到式(10)，再將P1=X,R1=Y代入式(16)得到式(11)。因此根據(jù)定理1可知倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)(3)式漸近穩(wěn)定且具有H∞性能水平γ>0。證畢。

(18)

其中，δ=γ2。

由凸多面體不確定系統(tǒng)的內(nèi)在特性，很容易將定理2推廣，從而得到不確定倒立擺系統(tǒng)的魯棒H∞輸出反饋控制器。

(19)

此外，若上述線性矩陣不等式(19)有可行解，則H∞輸出反饋控制器的參數(shù)可由下式求得

(20)

3 實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)

考慮形如(1)式的倒立擺系統(tǒng)Σ，系統(tǒng)參數(shù)如下[16]:

其中,ρ,σ為不確定參數(shù)。

根據(jù)定理1很容易證明給定這個(gè)倒立擺系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。針對(duì)倒立擺系統(tǒng)、凸多面體不確定倒立擺系統(tǒng)分別進(jìn)行仿真研究，驗(yàn)證所得結(jié)果的有效性。

(1) 倒立擺系統(tǒng)。當(dāng)ρ=0,σ=0時(shí)的H∞輸出反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。

應(yīng)用Matlab線性矩陣不等式工具箱求解定理2可得最優(yōu)擾動(dòng)衰減水平為γ*=0.923 8，同時(shí)可求得H∞輸出反饋控制器的參數(shù)

(2) 凸多面體不確定性倒立擺系統(tǒng)。當(dāng)不確定參數(shù)ρ,σ滿足-1≤ρ≤1,-0.5≤σ≤0.5時(shí)的魯棒H∞輸出反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。

應(yīng)用Matlab線性矩陣不等式工具箱求解推論1可得最優(yōu)擾動(dòng)衰減水平為γ*=2.032 5，同時(shí)可求得H∞輸出反饋控制器的參數(shù)

可見(jiàn)，無(wú)論系統(tǒng)矩陣是否存在不確定性，所采用的方法都可以得到令人滿意的擾動(dòng)抑制度，只是倒立擺系統(tǒng)存在凸多面體不確定性時(shí)擾動(dòng)抑制度大，說(shuō)明不含攝動(dòng)時(shí)的控制效果較好。

為了進(jìn)一步證明本文設(shè)計(jì)方案的可行性，我們將所設(shè)計(jì)的H∞輸出反饋控制器應(yīng)用于凸多面體不確定性二級(jí)倒立擺的穩(wěn)擺控制實(shí)驗(yàn)中。圖1給出倒立擺系統(tǒng)上、下擺角度隨時(shí)間變化的輸出響應(yīng)，可以看出，基于H∞輸出反饋控制器的倒立擺穩(wěn)擺控制是有效的，上擺和下擺均在較短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到了平衡狀態(tài)。

圖1 倒立擺的輸出變化曲線

4 結(jié) 語(yǔ)

將二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中小車與導(dǎo)軌之間的摩擦力當(dāng)作一種擾動(dòng)，同時(shí)考慮系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題，嘗試采用輸出反饋控制器的方法對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制。給出了系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且滿足H∞性能的充分條件，應(yīng)用LMI設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器。不僅從理論上證明了該方法可行，而且通過(guò)仿真對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，理論和實(shí)驗(yàn)都表明該設(shè)計(jì)方法確實(shí)可行。

[1] 王家軍,劉棟良,王寶軍. X-Z倒立擺的一種飽和非線性穩(wěn)定控制方法的研究 [J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2013,39(1)：92-96.

[2] 宋運(yùn)忠,張蛟龍,張 偉. 基于性能協(xié)調(diào)的平面二級(jí)倒立擺控制[J]. 控制工程, 2011,18(2)：258-261.

[3] 高星泉,陳 虹. 電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩受限的旋轉(zhuǎn)倒立擺保代價(jià)控制[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào), 2011,41(5)：1444-1449.

[4] 馮 帥,馬 州,周 珂，等. 虛擬線性倒立擺模型在行走機(jī)器人雙腿支撐相中的應(yīng)用[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào), 2011,51(7)：960-965.

[5] 羅 忠,史志勇,胡 鵬，等. 直線倒立擺系統(tǒng)控制特性的影響因素分析與實(shí)驗(yàn)[J]. 東北大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 32(4):559-562.

[6] 張永立,李洪興,苗志宏，等. 基于變?cè)鲆鍸QR控制方法的二級(jí)倒立擺自動(dòng)擺起[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2011, 31(7): 1342-1355.

[7] Ibanez C A, Frias O G. Controlling the inverted pendulum by means of a nested saturation function[J] Nonlinear Pynamics, 2005,40:367-374.

[8] Taylor C T,Chotai A. Non-minimal state dependent Riccati equation and pole assignment control of nonlinear systems[C]//19thInternational Conference on Systems Engineering， Las Vegas, 2008:49-54.

[9] 張永立,程會(huì)峰,李洪興. 三級(jí)倒立擺的自動(dòng)擺起與穩(wěn)定控制[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2011,28(1) :37-45.

[10] 王洪斌,姚洪磊. 基于干擾觀測(cè)器的倒立擺自適應(yīng)滑模控制及仿真研究[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2010, 22(6)：1476-1480.

[11] 羅 忠,趙士鑫,史志勇，等.基于狀態(tài)觀測(cè)器的倒立擺系統(tǒng)控制與實(shí)驗(yàn)研究[J]. 東北大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 31(1):107-110.

[12] 王 雪,柴 毅,丁寶蒼，等. 自動(dòng)控制原理開(kāi)放性實(shí)驗(yàn)的開(kāi)發(fā)[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索, 2011,30(7)：242-244.

[13] Graichen K, Treuer M, Zeitz M. Swing-up of the double pendulum on a cart by feedforward and feedback control with experimental validation[J] Automatica, 2007, 43(1):63-71.

[14] 祁 虔,李祖樞,譚 智，等. 基于卡爾曼濾波的倒立擺控制系統(tǒng)噪聲抑制[J]. 控制與決策, 2010,25(8)：1144-1148.

[15] 劉珊中,朱邦太. 基于控制的倒擺平衡系統(tǒng)魯棒性研究[J]. 電光與控制, 2000(2):1-6.

[16] 李艷輝,李紅星,李建華，等.魯棒H∞控制在非線性倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用[J]. 大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào), 2007,31(5) :97-100.

Study of Double Inverted Pendulum System Based on Output Feedback Control

QIJi1,LIYan-hui2,ZHANGJing-xin3

(1.Communication and Electronic Engineering Institute, Qiqihar University, Qiqihar 161006, China;2. Electrical and Information Engineering college, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China;3. Daqing Petrochemical Construction Company, Daqing 163714, China)

Due to line two level inverted pendulum system, cart and inverted pendulum velocities can not be measured directly, Therefore, it is tried to use robustH∞control method based on output feedback controller to control the two stage inverted pendulum. First, the output feedback controller is designed with Lyapunov stability theory and LMI technology, and then simulation is realized under Matlab. The result shows that the designed output feedback controller is satisfactory.

double inverted pendulum; output feedback control; robustness;H∞norm

2014-10-24

國(guó)家杰出青年基金項(xiàng)目(61004067)；黑龍江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(QC2011C043)；齊齊哈爾大學(xué)青年教師項(xiàng)目(2012k-M08)；齊齊哈爾大學(xué)教育科學(xué)研究項(xiàng)目(2013068)

齊 跡(1979-)，女，黑龍江呼蘭人，碩士，副教授，主研領(lǐng)域：魯棒控制,濾波,隨機(jī)系統(tǒng),網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。

E-mail:qi_ji_1979@126.com

TP 273

A

1006-7167(2015)05-0108-04