基于PDE 的圖像去噪方法

陳 龍，蔡光程

CHEN Long,CAI Guangcheng

昆明理工大學 理學院，昆明650500

Faculty of Science,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China

1 引言

圖像在各種傳輸路徑和轉換過程中會產生噪聲，而噪聲在很大程度上模糊了圖像的細節信息。傳統去噪方法有中值濾波、加權平均法和高斯濾波等[1]。此類方法強調濾除高頻成分，而圖像的細節如圖像的拐角、流形結構、紋理等也分布在高頻區域，這必然造成了細節特征的模糊，所以急需發展新的去噪方法。

近年來，基于偏微分方程的圖像處理方法因其具有局部自適應性和模型建立的靈活性等特點，在圖像處理領域得到了廣泛應用。非線性擴散方程對應于物理學中動力學所描述的熱擴散過程，通過調整擴散系數來控制擴散程度以達到圖像細節特征不被破壞的目的。1990 年，Perona 和Malik[2]提出了保護邊緣的非線性各向異性擴散模型，它對圖像去噪效果有了很大的改善，但該模型會產生“塊狀”效應以及對圖像中孤立的強噪聲去除效果并不理想。自蛇模型[3]也是一種非線性濾波方法，它的特點在于與方向擴散類似，因此繼承了方向擴散沿著平行于邊緣的切線方向進行的特性，同時該模型帶有增強圖像的沖擊濾波器能夠對去噪圖像起到增強的效果，但也存在去噪結果不理想的問題。

本文通過分析P-M 擴散模型和自蛇模型，考慮到兩種模型各有所長，遂建立了一個自蛇模型與P-M 模型的混合模型，使所建模型在圖像的不同區域根據圖像的不同特征發揮兩種模型各自的特性。實驗結果表明，這種對兩種模型進行融合的方法是有效的，達到了各自優勢的互補，既獲得了較好的去噪效果，又可以較好地保留圖像邊緣等細節。

2 偏微分方程去噪模型

2.1 P-M 模型

Perona 和Malik 提出了如下的非線性各向異性擴散模型：

其中ut為時刻t時的噪聲圖像，?ut為圖像的梯度算子，div 表示散度算子，g(|?ut|) 為擴散函數，通常為非負的光滑單調下降函數，其值表示擴散強度。P-M 非線性各向異性擴散模型在抑制噪聲和保護邊緣兩方面取得了較好的效果，但也存在如下問題：（1）對孤立噪聲點處理不理想；（2）不能較好地保持紋理細節特征且會產生“塊狀”效應。

2.2 自蛇模型

自蛇模型是在不含自由參數測地線活動輪廓模型，簡稱GAC 模型的基礎上考慮使圖像水平集按GAC 模型運動而得到的，非線性去噪模型如下：

對模型式（2）進行擴散行為分析：

上式右端第一項為擴散項，是一個帶有邊緣停止函數的方向擴散模型，即

其中ξ表示垂直于圖像梯度的單位矢量，由式（4）可知方向擴散只沿著圖像邊緣的切線方向進行擴散，而沿梯度方向沒有任何擴散，雖能保持圖像邊緣的銳度，但是會在圖像的光滑區域產生階梯效應，所以需要適當的在圖像的梯度方向加入擴散項。第二項為為沖擊項，它具有增強邊緣的作用。綜上可知自蛇模型在實際的去噪過程中存在去噪不干凈的問題[4-5]。

3 混合去噪模型

P-M 模型利用與梯度成反比的函數為擴散系數，根據圖像不同區域的梯度模值來控制擴散系數的大小，但在處理細節信息時擴散模糊了邊緣。而自蛇模型具有方向擴散的性質同時帶有邊緣停止函數和沖擊濾波器可以更好地保持邊緣的銳度。因此，本文融合上述兩種模型的優點把它們進行優化，同時為了保留圖像中更多的紋理細節增加了忠誠項[6-8]，建立的混合模型如下：

式中，α∈[0，1]且β=1-α是控制參數，α是以梯度|?u|為變量的減函數，β是以梯度|?u|為變量的增函數，λ是忠誠項控制參數，其用于控制平滑程度。把P-M 模型與自蛇模型有機的結合，根據圖像不同區域的特征發揮兩種模型各自優勢比單一的模型顧此失彼要好很多。

3.1 模型分析

對于去噪模型而言，既能使去噪后的圖像保持原有邊緣信息，又能很好地消除噪聲是最好的。因此需要清楚地知道模型在擴散過程中沿各個方向擴散時的控制因素，下面對上述混合模型的擴散項進行分析。

式中η是梯度方向的單位向量，ξ是垂直于梯度方向的單位向量，且

令邊緣停止函數以及控制參數分別為：

其中k為梯度閾值它的選取參照Canny 算子提取邊緣的高閾值，把它們帶入式（6）得：

式（7）中邊緣方向擴散系數H(|?u|)為：

梯度方向擴散系數G(|?u|)為：

根據式（7）分析整個擴散過程中在圖像不同區域的擴散行為，首先希望在圖像的邊緣區域，即梯度模值|?u|較大的區域，沿邊緣方向擴散系數盡可能的大以保證消除邊緣附近的噪聲，即擴散系數H滿足大于零的常數，而垂直邊緣的方向希望擴散系數盡可能的小，當為負數時有助于邊緣的銳化[9-12]，而擴散系數G亦滿足這一要求；其次在圖像的漸變區域，即|?u|較小的區域，希望沿邊緣方向擴散系數較大，而沿梯度方向的擴散以能保護紋理細節為最好，即H(|?u|)≈1，G(|?u|)?1。

3.2 模型的離散化

利用有限差分法對模型（5）進行求解，采用如下“半點離散化”方案迭代實現，設時間步長為Δt，空間步長均為1。

式中每一項可用u和g在整點處的值近似表示，如

由于mi，j=div(g?u|?u|)i，j可能為正，也可能為負，故采用迎風格式。而P-M 模型的離散格式與此相仿，使用AOS 策略[13-14]實現，最后獲得的顯示迭代格式為：

4 實驗結果與分析

本文選取Lena 圖像和簡單圖像作為測試圖像，分別用P-M 模型、自蛇模型、文獻[15]方法以及本文的混合模型進行數值實驗比較，實驗結果如圖1、圖2 所示。去噪后的圖像使用峰值信噪比和信噪比進行評價分析，如表1、2 所示。（lena 圖像高斯噪聲方差為0.008，簡單圖像椒鹽噪聲強度為0.3，k取10，λ取0.1）。

圖1 為幾種去噪方法對含有高斯噪聲圖像去噪的效果比較，（a）為原始圖像，（b）為噪聲圖像，（c）為P-M模型的去噪效果，可以看出P-M 模型模糊了圖像微小細節去噪效果不理想；（d）為自蛇模型的去噪效果，由表1的性能參數可以看出自蛇模型的去噪效果優于P-M 模型，且能快速得到較高的峰值信噪比，而峰值信噪比至少能提高1 dB，但從圖像可以看出圖像細節不夠清晰；（e）為文獻[15]中提出的方向擴散模型與四階PDE 相結合的混合模型的去噪效果，發現圖像中有噪聲斑塊（如額頭、帽沿）；（f）為本文方法的去噪效果，在對噪聲得到很好抑制的同時，也保留了圖像的細節且沒有出現斑塊現象。由表1 的性能比較也反映出本文方法對圖像進行噪聲抑制后的效果優于其他模型。

圖1 不同方法對lena圖像高斯噪聲去噪比較

表1 針對高斯噪聲的各種模型性能比較 dB

從圖2（c）可以看出P-M 模型對于椒鹽噪聲的去除并不是有效的，平滑圖像中存有大量噪聲，而表2 的性能參數偏低也反映出去噪效果不理想；從圖2（d）可以看出自蛇模型能夠去除椒鹽噪聲，但是隨著擴散圖像中的邊緣部分出現了模糊和失真；從圖2（e）看出采用文獻[15]中的混合模型對椒鹽噪聲的去除能力很強，但圖像邊緣同樣存在失真的情況。從表2 的性能參數可以發現，本文方法的信噪比和峰值信噪比優于P-M 模型和自蛇模型而低于文獻[7]的方法，但是信噪比只從一個側面反映了處理結果的優劣，從圖2（f）效果看，本文方法顯然優于文獻[7]的方法，在有效去除椒鹽噪聲的同時，很好的保持了圖像邊緣的銳度且忠實于原圖像。

表2 針對椒鹽噪聲的各種模型性能比較 dB

圖2 不同方法對簡單圖像椒鹽噪聲去噪比較

5 結語

本文提出了基于P-M 模型和自蛇模型混合的圖像去噪方法，該模型克服了P-M 模型在去除高斯噪聲的同時損失圖像邊緣信息以及對椒鹽噪聲去除能力較差的缺點，同時彌補了自蛇模型的不足。最后的實驗比較結果表明，本文方法既能有效去除噪聲又能較好的保持圖像的形狀，同時提高了圖像的視覺效果。

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