多次反射對垂直磁偶極子的場強影響

張立琛 王英民 郭 拓

（西北工業(yè)大學航海學院 西安 710072）

0 引 言

電磁場在半空間或分層媒質(zhì)中是如何輻射和傳播的，一直受到人們極大的關(guān)注，這是因為它在實際工程領(lǐng)域甚至軍事應用方面有著重要的意義和廣泛的前景.水下通信［1－3］、地球物理勘探［4］、潛艇探測和通信［5］等領(lǐng)域都會遇到類似的問題.對于實際應用中的數(shù)學模型的建立，何種形式的偶極子模型更加接近實際情況，一直是研究的熱點和難點［6］.

海底通信在人類活動中早已存在，很多情況下人們利用環(huán)天線進行海水中的通信聯(lián)絡(luò)，因此研究海水中環(huán)天線的輻射電磁場是非常重要的.Moore［7］在假定海水是無限深的情況下討論了2層導電媒質(zhì)（空氣、海水）中環(huán)天線的輻射問題，這在海水較深或電磁波頻率較高時是適宜的.盧新城［8］推導出極低頻時諧水平電偶極子在海水中（2層導電媒質(zhì)）所產(chǎn)生電磁場的近似解析表達式，這在海水較深情況下（不用考慮海底影響）較為適宜.當研究淺海環(huán)境中極低頻偶極子天線的輻射問題時，需要考慮海底的影響，這時偶極子天線位于3層導電媒質(zhì)（空氣、海水、海底）中.最早是由Arutaki［9］推導出了3層導電媒質(zhì)中環(huán)天線在海水中的遠區(qū)場強公式，該方法涉及到數(shù)次積分變換和積分路徑的變換，而且積分的最速下降路徑越過了支割線，必須計算支點對總場的貢獻，公式推導繁雜、冗長.龍云亮［10］在 Chew［11］的基礎(chǔ)上用一種新的遠場近似方法得到了垂直磁偶極子在海水和空氣中的電磁場表達式，但其研究是基于無窮遠的條件下，對于極低頻電磁波，由于其波長很大，在無窮遠情況下電磁波信號很難被接收到，同時其認為海底反射影響很小，直接忽略海底部分，對于靠近海面情況下，可以近似忽略，對于淺海環(huán)境中，當靠近海底情況時，海底影響不能被忽略.

鏡像法是根據(jù)惟一性原理求解某些具有導體邊界的電磁場邊值問題的一種經(jīng)典方法［12］.本文將其用于3層導電媒質(zhì)中，對空氣－海水－海床3層媒質(zhì)組成的環(huán)境下海水中的極低頻垂直磁偶極子在海水中產(chǎn)生的電磁場進行了推導，由此得到海水中極低頻電磁場分布的解析表達式，該方法推導得到的解析表達式能夠清晰的表達出電磁波在海水中的傳播路徑，通過仿真計算和分析，表明遠場情況下，海面和海底之間的多次反射波對總場場強的貢獻很小，可忽略不計；對總場場強起主要作用的傳播路徑為：從場源發(fā)出以最小距離到達最近分界面經(jīng)一次反射直接到達接收點.

1 三層媒質(zhì)模型

所研究問題的物理模型見圖1.

圖1 3層媒質(zhì)中的垂直磁偶極子

全空間被z＝0和z＝D2個平面分成3個部分，其中z＝0為空氣和海水分界面；z＝D為海底平面.分成的3個區(qū)域分別為：1－空氣；2－海水；3－海床，對應媒質(zhì)的電容率、磁導率及電導率分別為（εi，μi，σi），i＝1，2，3.建立直角坐標系，以垂直于海平面向下為z軸正向，可設(shè)磁偶極子Imdl位于（x0，y0，z0）處，0＜z0＜D，即磁偶極子源位于海水區(qū)域中，場點坐標為（x，y，z），0≤z≤D，則表示場點也位于海水區(qū)域中.垂直磁偶極子Imdl平行于z軸，圖1中所示為3層媒質(zhì)中的垂直磁偶極子，下文以垂直磁偶極子為例進行推導.

2 三層模型中鏡像法的應用

推導偶極子模型產(chǎn)生的電磁場公式，既可以通過矢量位方法求得，也可以用傅里葉變換方法推導，也可以通過波動方程方法求得.但是，用矢量位方法求電磁場，物理意義更明顯，公式推導更方便.所以，越來越多的學者采用該方法推導電磁場解析表達式，本文也采用該方法推導垂直磁偶極子在3層媒質(zhì)中的電磁場的解析表達式.

2.1 2層媒質(zhì)（空氣、海水）

如圖2所示，只考慮存在空氣、海水2層媒質(zhì)，由于垂直磁偶極子源位于區(qū)域2（海水媒質(zhì)中）內(nèi)，因此，垂直矢量電位滿足非齊次標量亥姆霍茲方程［13］，即

若場點位于海水中，即z≥0，則由鏡像法可設(shè)像I′mdl位于（x0，y0，－z0），全空間視為充滿海水，式即為源和像共同在場點產(chǎn)生的矢量電位.第二項是非齊次標量亥姆霍茲方程的特解，代表電磁場源發(fā)射的球面波，即為源在場點產(chǎn)生的矢量電位；第一項是齊次標量亥姆霍茲方程的通解，可用分離變量法求出，即為像在場點產(chǎn)生的矢量電位.由于垂直偶極子的旋轉(zhuǎn)對稱性，通解與方位角無關(guān).通解實際上代表的是邊界的反射波，它表示為無窮多不均勻平面波的合成.在區(qū)域1內(nèi)，不存在任何場源，所以垂直矢量電位滿足齊次標量亥姆霍茲方程，即

把式（2），（4）代入式（5）得到區(qū)域2內(nèi)源和像共同在場點產(chǎn)生的矢量電位的表達式為

式中：M＝γ1＋γ2；P＝（γ1－γ2）／M.第一項是場源（垂直磁偶極子）產(chǎn)生的矢量電位，第二項是像（即界面反射）產(chǎn)生的矢量電位.－P可以看作是界面（空氣－海水）對不均勻平面波譜的反射系數(shù).

圖2 鏡像法求2層媒質(zhì)（空氣－海水）時海水中的場

2.2 三層媒質(zhì)（海水、海床）

只考慮存在海水、海床2層媒質(zhì)，同理，2.1中的分析可知，區(qū)域2內(nèi)源和像共同在場點產(chǎn)生的矢量電位的表達式為

式中：N＝γ2＋γ3；Q＝（γ3－γ2）／N.第一項是場源（垂直磁偶極子）產(chǎn)生的矢量電位，第二項是界面反射引起的矢量電位.－Q可以看作是界面（海水－海底）對不均勻平面波譜的反射系數(shù).

2.3 三層媒質(zhì)（空氣、海水、海床）

當存在2個平行分界面時，磁偶極子在2個界面之間不斷“鏡像”，因此在圖1所示的海水模型中，位于海水中一個垂直磁偶極子在海水中的場點處產(chǎn)生的場可以用圖3所示的無窮多個鏡像垂直磁偶極子在無限大的海水空間分別產(chǎn)生的場的疊加來替代.

通過上面分析可知，P和Q分別是2個分界面的反射系數(shù)，那么對于圖中場源和所有鏡像源，相對應的矢量電位表達式為

1）場源，位置 （x0，y0，z0）；傳播路徑：場源直接到場點；矢量電位表達式：e－jγ2｜z－z0｜.

2）鏡像1，位置 （x0，y0，－z0）；傳播路徑：從場源經(jīng)z＝0界面反射后到達場點；矢量電位表達式：－.

3）鏡像2，位置 （x0，y0，2D－z0）；傳播路徑：從場源經(jīng)z＝D界面反射后到達場點；矢量電位表達式：－.

4）鏡像3，位置 （x0，y0，－2D＋z0）；傳播路徑：從場源先經(jīng)z＝D界面反射，再經(jīng)z＝0界面反射后到達場點； 矢量電位表達式：.

5）鏡像4，位置 （x0，y0，2D＋z0）；傳播路徑：從場源先經(jīng)z＝0界面反射，再經(jīng)z＝D界面反射后到達場點；矢量電位表達式：.

6）鏡像5，位置 （x0，y0，－2D－z0）；傳播路徑：從場源先經(jīng)z＝0界面反射，再經(jīng)z＝D界面反射，再經(jīng)z＝0界面反射后到達場點；矢量電位表達式：－.

上面只是給出了場源和5個鏡像的具體分析，通過觀察規(guī)律，對比分析，可將磁偶極子及其所有的鏡像劃分為以下4類.

1）位置 （x0，y0，－2mD＋z0） 矢量電位表達式：（PQ

2）位置 （x0，y0，－2mD－z0） 矢量電位表達式：（－P）m＋1（－Q

圖3 3層媒質(zhì)時的垂直磁偶極子的鏡像

3）位置 （x0，y0，2nD ＋z0） 矢量電位表達式：

4）位置 （x0，y0，2nD －z0） 矢量電位表達式：（

式中：m ＝0，1，2，…；n＝1，2，… .

因此，3層媒質(zhì)中，區(qū)域2內(nèi)的垂直矢量電位的表達式為

3 仿真實驗

由于各個分量有其明確的物理意義，即分別代表不同的傳播路徑，因此可以通過仿真分析各個傳播路徑對總場強度的影響.本文對式（11）～（13）中的積分采用高斯勒讓德數(shù)值積分的方法來求解，在不追求算法速度的條件下，該方法計算過程簡單且結(jié)果足夠精確.

仿真條件：垂直磁偶極子的磁偶極矩Imdl＝10A·m2，頻率為3Hz，海水的深度為a，場源深度為d1，接收點深度為z，垂直磁偶極子在水下姿態(tài)如圖1所示.空氣電導率σ1＝0，海水電導率σ2＝4Ω／m，海底電導率σ3＝4×10－2Ω／m，空氣介電常數(shù)ε1＝8.85×10－12F／m，海水介電常數(shù)ε2＝81ε1，海底介電常數(shù)ε2＝8ε1，各層媒質(zhì)的磁導率均為真空磁導率.數(shù)值計算結(jié)果見圖4～7.

圖4 3個總場隨水平距離變化

圖4 是場源深度200m、接收點深度10m、海水深度500m時對電磁場（垂直磁偶極子）3個總場的場強強度對比，顯而易見，3個總場的場強衰減趨勢大體一致，近距離時衰減很快，隨著距離的增加，衰減速度慢慢變緩，當水平距離為2 000m時，Eφ分量的電場強度為－122dBmV／m，Hρ分量和Hz分量的磁場強度一樣，都為－69.83 dBmA／m.

由于3個總場的規(guī)律相似，鑒于篇幅限制，這里僅以Eφ電場分析對比，給出變化規(guī)律.下面幾幅仿真圖驗證不同傳播路徑對總長場強的影響.在圖中海面即為電磁波經(jīng)過z＝0分界面（空氣－海水）反射，海底即為電磁波經(jīng)過z＝D分界面（海水－海床）反射，括號里面的數(shù)值代表經(jīng)過幾次反射.例如鏡像5的傳播路徑為從場源先經(jīng)z＝0界面反射，再經(jīng)z＝D界面反射，再經(jīng)z＝0界面反射后到達場點，其表達形式為海面（2）、海底（1）.

圖5是場源深度200m、接收點深度10m、海水深度500m時對電場Eφ分量的多次反射傳播路徑的仿真對比.從圖中可以看出，同一種顏色表達的兩種傳播路徑的差別在于相差一次海面反射和海底反射，對比可知，在遠場情況下，增加一次海面海底之間反射，到達接收點的場強相比要小很多.其原因是由于電磁波在導電的海水中傳播時激起了傳導電流，致使電磁波的部分能量轉(zhuǎn)化為熱能被海水吸收，從而使得傳播途中出現(xiàn)能量衰減，且傳播越遠，衰減越大，頻率越高，衰減越快，界面間一次反射已經(jīng)很小，對場強貢獻可忽略不計，因此，多次反射的傳播路徑會更小，可忽略不計.下面幾幅圖將分析場源和場點位置不同時，不同傳播路徑對總場場強的貢獻.

圖5 多次反射對Eφ場場強的貢獻

圖6 和圖7是海深500m時場源和接收點分別靠近海面（場源深度20m、接收點深度5m）和靠近海底（場源深度480m、接收點深度495m）時不同傳播路徑對E（場場強的貢獻.由前面仿真分析已知，海面海底間多次反射對于總場場強貢獻可忽略不計，因此，這里仿真直接忽略了海面海底之間的相互作用（海面海底之間反射次數(shù)大于1），直接給出只經(jīng)海面或海底1次反射的傳播路徑.可以看出，在遠場情況下，離海面近時，經(jīng)海面反射直接到達接收點的傳播路徑的場強曲線與總場場強曲線重合，其他幾條傳播路徑對總場場強貢獻可忽略不計；離海底近時，經(jīng)海底反射直接到達接收點的傳播路徑的場強曲線與總場場強曲線重合，其他幾條傳播路徑貢獻可忽略不計.

圖6 場源和場點靠近海面時不同傳播路徑對Eφ場場強的貢獻

圖7 場源和場點靠近海底時不同傳播路徑對Eφ場場強的貢獻

上述仿真結(jié)果表明，在遠場情況下，對總場場強起主要作用的傳播路徑為：從場源發(fā)出以最小距離到達最近分界面經(jīng)一次反射直接到達接收點.

4 結(jié) 論

本文利用鏡像法，在空氣－海水－海床三層模型下，在電磁場惟一性原理的基礎(chǔ)上，通過矢量電位方法推導了垂直磁偶極子在海水中產(chǎn)生的電磁場的解析表達式.通過該方法推導出的電磁波表達式各個分量有明確的物理意義，且推導過程更加簡單.通過對各個分量仿真的結(jié)果可以得出以下幾個結(jié)論.

1）通過該方法推導得到的電磁波表達式能夠清晰的表達電磁波在海水中的各個傳播路徑，這樣，可以分別對每個傳播路徑進行仿真，分析其對總場場強的影響；

2）在遠場情況下，由于電磁波在導電的海水中傳播時激起了傳導電流，致使電磁波的部分能量轉(zhuǎn)化為熱能被海水吸收，因此，海面和海底之間的多次反射波對總場場強的貢獻可忽略不計；

3）在遠場情況下，對總場場強起主要作用的傳播路徑為：從場源發(fā)出以最小距離到達最近分界面經(jīng)一次反射直接到達接收點.

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