飽和黏彈性半空間中摩擦樁的豎向振動

崔春義，張石平，楊 剛，許成順，李曉飛

(1.大連海事大學 土木工程系，遼寧 大連 116026；2.北京工業大學 建筑工程學院，北京 100022)

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飽和黏彈性半空間中摩擦樁的豎向振動

崔春義1,2，張石平1，楊 剛1，許成順2，李曉飛1

(1.大連海事大學 土木工程系，遼寧 大連 116026；2.北京工業大學 建筑工程學院，北京 100022)

為深入了解飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向振動特性，基于Boer多孔介質理論，考慮激振頻率對摩擦樁樁底土體動剛度的影響，采用平面應變模型并結合樁土接觸面的混合邊值條件，推導求解得出了飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向動力阻抗模型公式和樁頂速度時域響應解并驗證了其合理性。進一步通過參數化對比分析探討了樁基埋深比和土體滲透系數對所得豎向動力阻抗和樁頂速度時域響應的影響規律。解析推導得出的對應豎向動力阻抗模型公式和樁頂速度時域響應解，豐富了樁基動力學的理論，可為相關工程實踐提供參考和理論支持。

摩擦樁；豎向振動；飽和黏彈性半空間；Boer多孔介質理論

摩擦樁是一種廣泛應用的樁基礎形式，由于樁周土層多為固液兩相耦合的飽和多孔介質，因此，飽和地基中摩擦樁振動問題一直以來都是學術界和工程界的研究熱點[1-9]。目前，諸多學者已圍繞飽和地基中摩擦樁振動問題進行了研究，并取得了較為豐富的成果。李強等[10-11]在三維軸對稱條件下，通過求解Biot動力固結方程，得出單層飽和彈性土阻抗因子解析公式和摩擦樁豎向振動解，并對樁周剪應力分布、樁頂頻率和時域響應進行了參數化分析，同時探討了滲透力、土層厚度、土層底部反力系數、樁土模量比對土層阻抗的影響。王桂敏等[12]通過建立單層彈性飽和土中樁豎向振動簡化模型，基于Biot理論和一維桿件理論，得出了樁土耦合振動頻域解析解，并分析了樁豎向振動特性的主要影響因素。程澤海等[13]考慮沉樁過程中樁周土受到擾動產生的軟化和硬化現象,建立了飽和彈性地基中徑向分區樁豎向振動簡化模型,得到了樁豎向振動頻域解析解和時域半解析解。丁選明等[14]建立了軸對稱飽和地基中現澆薄壁管樁縱向振動簡化模型，分析了樁周土和樁芯土阻尼系數對樁頂速度導納和動力阻抗的影響。上述已有研究成果均是基于Biot動力控制方程展開，但Edelman等[15]指出了Biot動力控制方程中質量守恒方程和動量守恒方程存在一定局限性和不足，認為Biot理論本質上是一種工程描述方法。在此基礎上，Boer等人[16-17]提出了同時滿足質量守恒定律和熱動力學定律等物理公理的多孔介質理論，相比Biot理論其推導更加嚴密，且合理性和準確性已在相關研究中得到驗證[15-17]。而后，劉林超等[18]基于Boer多孔介質理論采用勢函數法研究了飽和土中端承樁的豎向耦合振動問題。此外，在前述關于摩擦樁的研究成果中所采用的樁底土層動剛度均是常數，并未考慮土層動剛度隨激振頻率的變化關系，而文獻[19-20]通過研究表明激振頻率對基底土層動剛度具有顯著影響。

為此，本文將基于Boer多孔介質動力控制方程，考慮激振頻率對摩擦樁樁底土層動剛度的影響，采用平面應變模型并結合樁土接觸面的混合邊值條件，推導求解相關方程組得出飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向動力阻抗公式，進而通過Fourier逆變換得到半正弦脈沖波作用下樁頂的速度時域響應解，在此基礎上進一步分析激振頻率、樁基礎埋深、飽和土滲透系數對摩擦樁豎向振動特性的影響規律。

1 飽和黏彈性半空間中摩擦單樁樁頂豎向動力阻抗及速度時域響應推導與求解

基于Boer[16-17]理論，飽和黏彈性地基土體的動力控制方程為

(λS+μS)grad divUS+μSdiv gradUS-

(1)

(2)

(3)

式中：η為土體黏滯阻尼系數；υ為土體泊松比；E為土體彈性模量；γLR為流體真實比重；kL為土體Darcy滲透系數。

(4)

(iωSv-ρLω2)WL=iωSvWS

(5)

聯立上式可推得

(6)

解該方程得

WS=AI0(qr)+BK0(qr)

(7)

式中：A、B為方程未知系數，可進一步由樁土系統邊界條件求得。

圖1 力學模型與坐標系統Fig.1 Mechanics model and coordinate system

根據飽和黏彈性半空間地基無限遠處位移為零的邊界條件可知A=0。另外，在樁土接觸面處位移滿足

wS(r0,t)=w0eiω t

(8)

所以有

(9)

則

(10)

樁周剪應力為

(11)

沿樁周對剪應力積分可得到土體對樁基的作用力為

(12)

建立樁基動力平衡方程為

(13)

采用分離變量法有wp(z,t)=Wpeiω t

(14)

則有

(15)

解該方程可得

Wp=A1cos(Λz)+B1sin(Λz)

(16)

根據樁土系統邊界條件，在樁頭處有

(17)

樁底反力由半空間理論[21]計算得出

R=-Gr0KbWp(L)

(18)

(19)

式(19)為第二類Fredholm積分方程，可通過數值方法求解得到Φ(x)。方程中

設樁的內力以拉為正，則有

(20)

樁底內力等于半空間的反力，于是有

R=-N(z)

(21)

綜合式(17)和(21)所述邊界條件求解可得

(22)

樁頂的動力阻抗可定義為

(23)

即

(24)

則有

Kz=kw+icw

(25)

定義單樁豎向動力阻抗因子為

(26)

由此可得樁頂速度響應函數為

(27)

將其無量綱化為

(28)

在基樁低應變動測時，可將樁頂荷載簡化為半正弦脈沖激勵，即

(29)

式中：t∈(0,T)；T為脈沖寬度。

根據Fourier逆變換的性質，通過對樁頂激勵與樁頂速度頻域響應函數的Fourier逆變換進行卷積可得樁頂時域半解析解表達式為

V(t)=q(t)×IFT(H(ω))=IFT(Q(ω)·H(ω))

(30)

無量綱后化為

(31)

2 數值算例分析

為了驗證本文所推導飽和黏彈性半空間中摩擦樁豎向動力阻抗因子模型的正確性，將本文結果退化為樁底為剛性基巖支承時的解與文獻[22]中相應端承樁解隨無量綱激振頻率a0的變化曲線進行了比較分析，如圖2所示。從圖中可以看出，本文與文獻[22]中對應動力阻抗因子曲線吻合較好，從而在一定程度上反映了本文所推導計算模型的合理性與正確性。

數值算例基于圖1所示力學模型與坐標系統，采用前述求解驗證的飽和黏彈性半空間中摩擦樁豎向動力阻抗模型，具體土層參數取值為：土體剪切模量G=19.7 MPa，泊松比υ=0.2，土體孔隙率nL=0.4，土體密度ρS=1 800 kg/m3，孔液密度ρL=1 000 kg/m3。樁基彈性模量Ep=20 GPa，密度ρp=2 500 kg/m3。無量綱激振頻率a0范圍取為0

圖2 樁頂退化豎向動力阻抗因子隨無量綱激振頻率變化曲線對比情況Fig.2 Comparison of reduced dynamic impedance factorat pile cap against excitation frequency

圖3所示為不同埋深比對應的樁頂動力阻抗及速度時域響應隨激振頻率的變化情況。由圖可見，激振頻率對樁頂動力阻抗有顯著影響。隨著激振頻率的增大，動力阻抗實部曲線隨激振頻率呈現波動變化，且埋深比越大，此波動變化的變異性越強。相應地，動力阻抗虛部絕對值基本隨激振頻率呈增大趨勢。其對應的埋深比越小，波動變化變異性越明顯。從樁頂速度時域響應變化曲線可以看出，樁基在振動過程中伴隨著應力波反射現象，且樁基埋深比越大，相應的波反射現象出現時間越滯后，且二次反射幅值顯著減小，反映了振動在傳播過程中伴隨著的能量耗散現象。

圖4所示為不同地基土滲透系數對應的樁頂動力阻抗及速度時域響應隨激振頻率的變化情況。由圖可見，滲透系數變化對樁頂動力阻抗實部及虛部隨激振頻率變化曲線的影響均很小，僅在高頻階段，實部曲線波動極值隨滲透系數的增大而略有小幅增大。另外，地基土滲透系數變化對樁頂速度響應隨無量綱時間的變化曲線基本上沒有影響。

圖3 樁基動力特性隨埋深比的變化Fig.3 Dynamic impedance characteristics of pile cap versus burial depth ratio

圖4 樁基動力特性隨地基滲透系數的變化Fig.4 Dynamic impedance characteristics of pile cap versus permeability coefficient of soil

3 結論

基于Boer多孔介質理論，考慮了激振頻率對摩擦樁樁底土層動剛度的影響，采用平面應變模型并結合樁土接觸面的混合邊值條件，求解驗證得出了飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向動力阻抗模型公式和樁頂速度時域響應解，通過進一步計算分析表明：

1)隨著激振頻率的增大，樁頂動力阻抗實部曲線隨激振頻率呈現波動變化，且埋深比越大，此波動變化的變異性越強。動力阻抗虛部絕對值基本隨激振頻率呈增大趨勢，且埋深比越小，波動變化變異性越明顯，同時應力波反射現象也越顯著。

2)地基土滲透系數變化對樁頂動力阻抗實部及虛部隨激振頻率變化曲線的影響均很小，僅在高頻階段，實部曲線波動極值隨滲透系數的增大而略有小幅增大；而滲透系數變化對樁頂速度時域響應曲線基本上沒有影響。

3)基于解析推導提出的飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向動力阻抗模型公式和樁頂速度時域響應解具有良好的合理性，豐富了樁基動力學的理論，可為具體工程應用提供參考和理論支持。

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(編輯 王秀玲)

Vertical vibration of friction pile in saturated viscoelastic half-space

CuiChunyi1，2，ZhangShiping1，YangGang1，XuChengshun2，LiXiaofei1
(1. Institute of Road and Bridge Engineering，Dalian Maritime University，Dalian 116026，Liaoning，P.R.China;2. School of Civil Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100022，P.R.China)

Analytical solutions of vertical dynamic impedance and velocity response at pile cap for vibration of friction pile in saturated viscoelastic half-space foundation were obtained and verified by considering plain strain model and mixed boundary condition of pile-soil interface as well as effect of excitation frequency based on Boer’s porous medium theory for a deeper comprehension of its vertical vibration characteristics. Furthermore，effects of pile depth ratio and permeability coefficient on vertical dynamic impedance and velocity response at pile cap were discussed by parametric comparative analyses. The solutions and results of vertical dynamic impedance and velocity response at pile cap derived diversified the theories of pile dynamics and provided technical references and theoretical support for related engineering practice.

friction pile; vertical vibration; saturated viscoelastic half-space; Boer’s porous medium theory

10.11835/j.issn.1674-4764.2015.02.005

2014-08-21 基金項目：國家自然科學基金(50809009、51278015)；中央高?；究蒲袠I務費(3132015095)

崔春義(1978-)，男，副教授，主要從事巖土工程數值分析研究，(E-mail)cuichunyi@dlmu.edu.cn。

Foundation item：Natural Science Foundation of China (No. 50809009,51278015)；Fundamental Research Funds for the Central Universities (No. 3132014326)

TU435

A

1674-4764(2015)02-0028-06

Received：2014-08-21

Author brief：Cui Chunyi (1978-), Associate professor, main research interest: numerical analysis of geotechnical engineering,(E-mail)cuichunyi@dlmu.edu.cn.