梯度折射率介質對復變量sinh-Gaussian光束傳輸的影響

黃永超，張廷蓉

(1.內江師范學院工程技術學院，內江641112;2.四川師范大學物理與電子工程學院，成都610066)

引 言

非線性光學不僅從理論上豐富了人們對光與物質相互作用的認識，而且已經得到廣泛的應用。因此，研究非均勻介質在激光束作用下產生的非線性現象及其應用是一個非常熱門的課題。梯度折射率介質是比較典型的非均勻介質，它在光纖耦合器、光通信、光學設計應用開發等方面具有廣泛的應用前景。目前人們對梯度折射率介質的特性及其應用做了深入的研究［1－5］。梯度折射率介質中余弦高斯光束、平頂高斯光束、洛倫茲高斯光束、雙曲正弦高斯光束和空心高斯光束的傳輸特性也有廣泛研究［6－10］。雙曲正弦高斯光束(sinh－Gaussian beams，ShGB)是厄米余弦高斯光束的特例［11］。對雙曲正弦高斯光束中雙曲正弦函數的變量取復數，稱之為復變量雙曲正弦高斯光束(elegant sinh－Gaussian beams，EShGB)［12］，雙曲正弦高斯光束在直角坐標系下各軸上光強為0，但是各象限中雙曲正弦高斯光束的光強分布具有明顯的對稱性，并且雙曲正弦高斯光束可看作是具有相同束寬的兩偏心高斯光束合成。基于此，研究復變量雙曲正弦高斯光束具有重要意義。作者將運用廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分法推導出EShGB在折射率徑向分布介質中的傳輸光場，運用空間二階矩的定義解出光斑尺寸的的表達式，并數值模擬介質中EShGB傳輸特性，為其在實際應用中提供一定的理論參考。

1 EShGB通過梯度折射率介質的傳輸公式

在z=0mm 的平面上，EShGB 的場強分布［11－12］為:

式中，w0表示EShGB的束腰寬，α和γ為與雙曲正弦函數項相關的參量，x0是入射面上的橫向坐標，E0是入射面的場分布。EShGB通過梯度折射率介質中從源平面到觀察平面z之間的光學系統用傳輸矩陣表示為［1］:

式中，A，B，C，D為1階光學系統的變換矩陣元，β為梯度折射率系數。當EShGB通過這一光學系統的傳輸時，可由廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分描述［13］:

式中，k=2π/λ為波數，λ為波長。選取梯度徑向分布的介質作為研究對象，其梯度折射率徑向分布介質的折射率可表示為［7］:

式中，n0表示介質軸上的折射率。將(1)式帶入(3)式，得EShGB通過梯度折射率介質的傳輸場為:

式中，x'=x/w0為相對坐標，a=αw0和b=γw0為光束參量，Z0=πw02/λ為瑞利長度。將(2)式帶入(5)式，由I(x'，z)=E(x'，z)×E*(x'，z)，可得 EShGB 在梯度折射率徑向分布的介質中任意一點的光強分布。其中E*(x'，z)表示E(x'，z)的共軛。

分析(11)式可知，當a=0，b=0時，光斑尺寸在z=0mm平面上取最小值(即束腰寬度)。對(11)式進行微分，可以得到EShGB在梯度折射率介質中傳輸時，在觀察面z上的EShGB的光斑尺寸的變化率:

式中，M=(1+b2+F)/(βz)2－S，S=1+a2+F，H=ab/(Z0β)是為簡化引入的變量。

2 數值計算及分析

運用(1)式對EShGB在z=0mm平面上的光強分布作了數值模擬(本文中計算都取λ=632nm，w0=0.96mm)，由圖1可以得出:當x=0時，光強為0，這是由EShGB性質所決定的;當a=0.2，b=15(a較小，b較大)時，光強分布具有正弦高斯光束的形狀;當a=2，b=0.2(a較大，b較小)時，光強分布表現出來了雙曲正弦高斯光束特征，這是由于b較小時，EShGB趨于退化為雙曲正弦高斯光束;當a=2，b=15(a，b較大)時，光強分布既不具有正弦高斯光束性質，也不具有雙曲正弦高斯光束特征。

Fig.1 Intensity distributions at the plane z=0mm

運用(6)式做數值模擬，取折射率參量 β=0.1mm－1，圖2中給出了光束在觀察面(z=15mm)上的光強分布，由圖2可知，當EShGB在梯度折射率介質中傳輸時，光強分布保持了z=0mm平面上的特征，即梯度折射率介質不改變光束的形狀。對比圖1和圖2可以知道，折射率的空間分布對光強峰值及光斑有影響。

Fig.2 Intensity distribution at the plane z=15mm

為了進一步說明折射率的空間分布對光束光斑的影響，利用(11)式進行數值模擬，取折射率參量β=0.1mm－1，結果如圖3所示。當EShGB在梯度折射率介質中傳輸時，隨著傳輸距離的增加，光斑尺寸出現周期性變化;隨光束參量a增大，光斑尺寸振蕩幅度增大;隨偏心參量b增大，光斑尺寸振蕩幅度減小。由此可知，光斑尺寸振蕩的幅度由光束參量a和b決定。

Fig.3 Spot size versus propagation distance z

為了進一步說明折射率系數β對光斑的影響，圖4中給出了當折射率系數β取不同值時，光斑尺寸隨傳輸距離z變化，由圖4可以知道，光束參量一定(a=2，b=2)，EShGB在梯度折射率介質中傳輸時，隨折射率系數β的增大，光斑尺寸的振蕩周期性發生了變化;并發現，折射率系數β越大，振蕩周期越小，即隨折射率β的增大，在傳輸方向上周期被壓縮，但是光斑尺寸沒有變化。這表明梯度折射率系數決定了光斑尺寸變化的周期，但是對光斑尺寸振蕩的幅度沒有影響。

Fig.4 Spot size versus propagation distance z for different gradient－index parameters β

運行(12)式做數值模擬，取折射率參量 β=0.1mm－1，結果如圖5所示。當EShGB在梯度折射率介質中傳輸時，隨傳輸距離的增加，光斑尺寸變化率在前半個周期內為負值，由0逐漸減小到最小，后半個周期突然躍遷到正的最大值再逐步減小到0。這說明前半個周期光斑尺寸逐漸減小，即光束在聚焦;后半個周期光斑尺寸在逐漸增大，即光束在發散。由圖5還可以看出，在同一觀察面上，當光束參量a的增大，光斑尺寸變化率的范圍在擴展;當光束參量b的增大，光斑尺寸變化率的范圍被壓縮。

Fig.5 Change rate of spot size versus propagation distance z

為了進一步說明折射率系數β對光斑尺寸變化率的影響，圖6中給出了當折射率系數β取不同值時，光斑尺寸變化率隨傳輸距離z的變化。由圖6可知，光束參量一定(a=0.2，b=0.2)，EShGB 在梯度折射率介質中傳輸時，隨折射率系數β增加，光斑尺寸變化率的范圍在擴展;同時發現光斑尺寸變化率的周期被壓縮，表明折射率系數增大，光束擴展或聚焦都將變快。

Fig.6 Change rate of spot size versus propagation distance for different gradient－index parameters β

3 結論

研究了梯度折射率介質對EShGB傳輸的影響，結果表明:當復變量雙曲正弦高斯光束在梯度折射率介質中傳輸時，光束出現了周期性變化，周期由折射率系數決定，并且光斑尺寸隨傳輸距離的增加，光斑尺寸出現了余弦平方的變化規律，光斑尺寸振蕩幅度由光束參量確定，當隨光束參量a的增大，光斑尺寸振蕩幅度增大;隨偏心參量b的增大，光斑尺寸振蕩幅度減小。因此，通過傳輸控制參量可以得到余弦平方變化的光信號，從而得到數字脈沖光信號;同時發現，光斑尺寸的變化率隨傳輸距離變化也具有周期性，通過對比可知，光斑尺寸變化率躍遷的位置就是光斑尺寸最小的位置，在同一觀察面上，當光束參量a的增大，光斑尺寸變化率的范圍在擴展;當光束參量b的增大，光斑尺寸變化率的范圍在被壓縮。在實驗中，EShGB可由厄米－高斯模相干合成而產生，主要用于表征激光器的遠場分布，因此，對于描述大功率半導體激光器的光場有著重要的意義。這些結論有助于大功率半導體激光器等方面的開發應用。

［1］ SICGMAN A E.Lasers［M］.Los Angeles，California，USA:University Science Books，1986:586－589.

［2］ BALLAV M，CHOWDHURY－CHAOS A R.A generalized nonlinear Schr?dinger equation and optical soliton in a gradient index cylindrical media［J］.Solitons ＆ Fractals，2007，31(4):794－803.

［3］ JOHN H，LORENZ S D.Web inspection using gradient－indexed optics［J］.Proceedings of the IEEE，2005，41(6):1476－1482.

［4］ BALLAV M，CHOWDHURY A R.A generalized nonlinear schodinger equation and optical soliton in a gradient index cylindrical media［J］.Chaos Solitons and Fractals，2007，3l(4):794－803.

［5］ YABLON A D，BISE R T.Low－loss high－strength microstructured fiber fusion splices using GRIN fiber lenses［J］.Proceedings of the IEEE，2005，17(1):118－120.

［6］ SONG H Y，ZHANG T R，CHENG S H，et al.Propagation properties of flattened Gaussian beams in gradient－index medium［J］.High Power Laser and Particle Beams，2011，23(10):2630－2633(in Chinese).

［7］ SONG H Y，ZHANG T R，CHENG S H，et al.Propagation properties of cosine－Gaussian beams in gradient－index medium［J］.High Power Laser and Particle Beams，2011，23(4):890－894(in Chinese).

［8］ ZHOU G Q.Propagation of Lorentz－Gaussian beams in gradient－index media［J］.High Power Laser and Particle Beams，2013，25(1):42－46(in Chinese).

［9］ LIU L，HAO Z Q.Propagation of sinh－Gaussian beams in gradient－index medium ［J］.Laser Technology，2013，37(1):126－129(in Chinese).

［10］ HUANG Y C，LI C J，ZHANG X L.Propagation properties of hollow Gaussian beams in Gradient－index media［J］.Laser ＆ Optoelectronics Progress，2014，51(3):032601(in Chinese).

［11］ CASPERSON L W，TOVAR A A.Hermite sinusoidal Gaussian beams in complex optical systems［J］.Journal of the Optical Society of America，1998，A15(4):954－963.

［12］ WANG L，KONG R X.Propagation properties of the elegant sinh－Gaussian beams［J］.Opto－Electronic Engineering，2006，33(2):45－49(in Chinese).

［13］ COLLINS S A.Lens－system diffraction integral written in terms of matrix optics［J］.Journal of the Optical Society of America，1970，60(9):1168－1177.

［14］ ERDELYI A，MAGNUS W，OBERHETTINGER F，et al.Tables of integral transforms［M］.New York，USA:McGraw Hill，1954:856－859.