獨立分量分析在含有多種噪聲的圖像去噪中的應用

劉悅，盛虎

(大連交通大學 電氣信息學院，遼寧 大連 116028)

?

獨立分量分析在含有多種噪聲的圖像去噪中的應用

劉悅，盛虎

(大連交通大學 電氣信息學院，遼寧 大連 116028)

提出一種基于負熵的分數低階獨立分量分析(ICA)算法，為使算法更好的適用于實際環境，結合當下較為新穎的Volterra濾波方法——VLMS算法，該算法對高斯噪聲有良好的去除效果.仿真結果表明，算法對于含有兩種噪聲的混合圖像具有良好的分離特性及實際意義.

脈沖噪聲；分數低階；ICA；VLMS；圖像去噪

0 引言

在傳統圖像去噪的文獻中，一直以高斯模型為主導地位，在很多情況下，高斯模型不但是合理的而且符合中心極限定理，這使得圖像處理分析起來更加容易，并且容易得到圖像處理問題的解析解.高斯分布函數值僅僅需要知道均值和方差兩個統計量，所以，高斯模型的各種圖像處理方法得到充分的發展.但是在實際生活中，并不是所有信號都是符合高斯分布的，有些信號具有某種沖擊特性和厚重的拖尾，如水下聲納采集信號、大氣的放電現象、音頻信號、海洋動物、雷達和衛星通信中的接受噪聲、遠程電話的轉換以及一些金融時間序列等等，這些信號會表現出非常強的沖擊性和厚重的拖尾特性，它們的瞬間值會遠遠超出其均值.在傳統的圖像處理中，通常使用高斯模型，但在這種情況下，如果繼續使用高斯模型作為噪聲模型，那么傳統去噪方法的性能會嚴重退化，甚至停止工作.人們開始嘗試運用不同的隨機過程模型來模擬這些來自真實的噪聲分布情況，最終發現α穩定分布[1]是一種非常優秀的真實噪聲的數學模型.

獨立分量分析(independentcomponentanalysis,ICA)是一種全新的信號處理和數據分析方法，它是在盲源分離的研究過程中出現的，這種方法是基于信號的高階統計量.它在沒有源信號和傳輸通道參數先驗知識的情況下，以統計獨立為原則，通過選擇目標函數和優化算法將信號分解成若干個獨立源.當圖像中同時含有高斯噪聲與alpha穩定分布噪聲時，現存的許多基于二階統計量的去噪方法會發生性能退化，甚至不能有效的工作.本文基于目前應用最多的FastICA算法，使用分數低階相關矩陣對圖像進行白化處理，從而使基于高階統計量的ICA算法適用于alpha穩定分布噪聲的去除.在去除混合噪聲中的脈沖噪聲后，使用VLMS算法處理高斯噪聲.

1 定義

獨立分量分析[2-3]可以描述如下：設s(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T是產生觀測信號的N個相互統計獨立的源信號，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T是M個觀測信號，且觀測信號x(t)是源信號s(t)經過線性混合而產生的，如式(1)：

(1)

可寫成：

(2)

混合分離模型如圖1所示.

圖1 混合分離模型

由圖1可見，獨立分量分析是在沒有先驗知識的情況下，也就是在源信號s(t)和混合矩陣A未知時，只利用觀測信號x(t)和源信號s(t)是統計獨立這一假設，盡可能的分離出源信號s(t).獨立分量分析的實質就是在分離結果相互獨立的前提下，找到一個線性變換分離矩陣W，使輸出信號u(t)盡可能的逼近源信號s(t).輸出信號u(t)是對源信號s(t)的一個估計：

u(t)=Wx(t)=WAs(t)

(3)

2 含噪圖像

設含噪圖像同時含有高斯噪聲和Alpha穩定分布脈沖噪聲，模型如下所示：

x(t)=s(t)+n1(t)+n2(t)

(4)

其中:s(t)為源圖像;n1(t)為高斯噪聲;n2(t)為Alpha穩定分布脈沖噪聲.

Alpha穩定分布[4]是一種廣義的高斯分布，它是一類具有廣泛代表性的隨機分布模型.Alpha穩定分布沒有統一的封閉的概率密度(ProbabilityDensityFunction，PDF)表達式，但是它有統一的特征函數表達式[5]，如下：

φ(t)=exp[iδt-|γt|αBt,α]

(5)

其中，

(6)

式中：0<α≤2,-1<β≤1，-∞<δ<∞,γ>0.Alpha穩定分布分別由α、β、δ、γ四個參數決定[6].其中，α是特征指數，決定該分部的脈沖程度，α越小，脈沖特性越強且拖尾越長，其偏離中心位置的隨機變量概率越大，當α=2時，Alpha穩定分布對應于高斯分布.β是對稱參數，決定分布的傾斜程度，當β=0時，穩定分布為對稱分布，記SαS.當β=0，α=1時，穩定分布為柯西分布.δ是位置參數，對應穩定分布的中值和均值.γ是尺度參數，相當于高斯分布的方差.

本文算法是在欠定條件下進行的獨立分量分析，因此，混合矩陣A的維數為 2×3，這樣經過混合得到的觀測圖像為2幅，這2幅圖像都含有源圖信息、高斯噪聲和Alpha穩定分布脈沖噪聲.

3 本文算法

本文算法的基本流程為，源圖像、高斯噪聲圖像和Alpha穩定分布脈沖噪聲圖像經過混合矩陣A(2×3)后，得到兩幅分別同時含有高斯噪聲和Alpha穩定分布噪聲的圖像.首先，對其進行預處理——分數低階預白化.其次，運用經典的FastICA算法，在欠定的條件下，對其進行獨立分量分析，得到兩幅圖像，第一幅為Alpha穩定分布脈沖噪聲圖像，第二幅為含有少量高斯噪聲的源圖像.最后，運用當下較為新穎的VLMS算法對含有高斯噪聲的源圖像進一步去噪.

3.1 改進FastICA算法

根據概率論中的中心極限定理[7]，多個獨立分布的和要比其中任何一個獨立分布更加趨向于高斯分布，該原理可以應用到獨立分量分析問題上，因為觀測信號x是由源信號經過線性加權得到，因此，觀測信號x更加接近高斯分布，由此可認為非高斯性越強，獨立性越高.在分離過程中，可以通過對分離結果非高斯性的度量來判斷分離結果間的相互獨立性，當分離結果的非高斯性達到最大，表明各個獨立分量的分離已經完成.基于負熵[8]的FastICA算法便是根據這一原理實現的.

在進行ICA處理之前，首先進行預處理，預處理包含去均值及白化處理，白化處理運用PCA方法.主分量分析(PrincipalComponentAnalysis,PCA)是基于信號的二階統計量(如協方差)的經典方法，它只考慮信號的二階統計特性，分解出來的各個分量之間是相互正交的.在獨立分量分析的預處理階段，PCA的目的是求出觀測信號x的分數相關矩陣，但對于Alpha穩定分布隨機變量來說，它并不存在協方差和協方差矩陣等二階統計量，許多傳統的算法在Alpha穩定分布上失效.為此，本文針對Alpha穩定分布在原有算法的基礎上予以改進，提出一種基于分數低階理論[9]的獨立分量分析算法.在預處理階段，對觀測信號x進行分數低階預白化處理，即求出x的分數低階相關矩陣[10].

分數低階相關矩陣的定義式：

0

(7)

(8)

3.2 VLMS算法

VLMS[11]算法是基于LMS的Volterra圖像濾波算法，它是針對高斯噪聲提出的.對混合后得到的兩個混合圖像進行分數低階ICA分離，分離出兩幅圖像[12].

對于Alpha穩定分布來說，α的值越小，其非高斯性越強，與高斯噪聲相比，Alpha穩定分布噪聲的非高斯性最強，這樣在分離過程中，會首先將Alpha穩定分布噪聲提取出來，因此，第一幅圖像為Alpha穩定分布噪聲圖像，第二幅圖像為帶有高斯噪聲的源圖像.這樣，對第二幅圖像直接進行VMLS處理，即可得到去噪后的圖像.

3.3 步驟

(1)對于觀測數據x進行中心化,使它的均值為0;

(2)然后對數據進行分數低階預白化處理;

(3)選擇要估計的獨立分量的個數m,置迭代次數p=1;

(4)選擇具有單位范數的初始權矢量(可隨機的)wp;

(7)標準化Wp=Wp/‖Wp‖;

(8)如果Wp不收斂的話，返回第五步;

(9)令p=p+1，如果p≤m，返回第四步;

(10)得到分離矩陣Wp;

(11)對含噪圖像進行分離S=Wpx，得到Alpha穩定分布噪聲圖像s1和含有高斯噪聲的源圖像s2;

(12)運用VLMS算法對s2進行圖像去噪，得到去噪后的圖像s.

4 仿真結果

實驗取3幅256×256大小的圖像.如圖2所示，圖2(a)為原圖像，圖2(b)為由高斯噪聲生成的圖像，圖2(c)為由alpha脈沖噪聲生成的圖像，α=1.6.將它們按逐行的方式轉化為相應的3 個一維信號，產生隨機混合矩陣rand(2,3).一維信號與隨機混合矩陣混合后得到混合圖像圖2(d)及圖2(e).再對混合信號利用本文改進的FastICA算法在欠定的條件下進行獨立分量分析.用改進的FastICA對混合圖像進行盲分離，即假定在未知源圖像和混合矩陣下對混合圖像進行分離，圖2(f)為分離出的脈沖噪聲圖像，圖2(g)為分離出的原圖像與高斯噪聲的混合.

(a)原圖

(b)高斯噪聲

(c)alpha噪聲

(d)混合圖像1

(e)混合圖像2

(f)分離圖像1

(g)分離圖像2

圖2 改進FastICA分離出的圖像

圖3是本文算法與直接運用VLMS算法的比較仿真圖.圖3(a)為本文算法，即應用改進的Fast ICA算法去除脈沖噪聲后，再運用VLMS算法去噪后的圖像.圖3(b)是直接VLMS算法對混合后的2個圖像中的其中一幅圖像進行去噪后的圖像.可以看出，傳統基于二階統計量的去噪方法會發生性能退化，甚至失效，其不能將兩種噪聲同時去除.良好的噪聲去除算法應保證在去除噪聲時不對原圖像產生較大的影響，本文算法不但去除了尖銳的脈沖噪聲和高斯噪聲，而且還很好地保護圖像的細節，因此，更加適用于實際環境.

(a)本文算法去噪圖像

(b)VLMS算法

圖3 本文算法與直接運用VLMS算法比較

為了更好的說明本算法的去噪效果,采用峰值信噪比及平均絕對誤差作為其檢驗指標.其中混合圖像的峰值信噪比和平均絕對誤差，只用兩幅圖像中的一幅圖像做實例.如表1所示.

表1 本文算法去噪后的峰值信噪比和平均絕對誤差

由表可得出，本文去噪方法與傳統的去噪方法相比，能夠更好的去除高斯噪聲和脈沖噪聲.傳統去噪方法大多是基于高斯模型下提出的，因此，在含有脈沖噪聲時明顯失效.本文首先運用改進的Fast ICA算法分離出脈沖噪聲，再運用VLMS算法去除高斯噪聲.與傳統去噪算法相比，去噪效果明顯得到提高.

5 結論

Fast ICA是一種高效的計算方法，在未知源圖像和混合矩陣下對混合圖像進行分離，它使分離出來的噪聲具有最大獨立性，但該方法只考慮信號二階統計特性，對含有alpha穩定分布脈沖噪聲的情況失效.本文提出的改進算法是在傳統的Fast ICA算法的基礎上將其分數低階化，使其能夠去除脈沖噪聲.本文首次將獨立分量分析方法與Volterra濾波算法結合使用，從實驗中可以看到本文算法對于人為加入兩種模擬噪聲的處理，得到了較好的效果，而且不需要知道原圖像的先驗信息.

[1] KTSIHERINTZIS G A, SHAO M, NIKIAS C L. Recent results in ap-plications and processing of -stable-distributed time series[J]. Journal of the Franklin Institute,1996,333(B) (4):467-497.

[2]AAPO HYVARINEN.Survey on Independent Component Analysis[J]． IEEE Signal Processing Letters，1999,6(6)：145-147.

[3]楊福生, 洪波. 獨立分量分析的原理與應用[M] . 北京:清華大學出版社,2006.

[4]NIKIAS C L, SHAO M. Signal Processing with Alpha-Stable Distributions and Applications[M]. New York: John Wiley and Sons, 1995.

[5]STUCK B W. Minimum error dispersion linear filtering of scalar symmetric stable processes[J]. IEEE Trans. Automat.Contr,1978,23(3):507-509.

[6]NIKIAS C L,SHAO M.Signal Proeessing with Alpha-Stable Distribution and Applications[M].New York:John Wiley&Sons, Ine.,1995.

[7]Samorodnitsky G ,Taqqu M S. Stable Non-Gaussian Random Processes[M].New York:Chapman &Hall,1994.

[8]HYVARINEN A. Fast and robust fixed-point algorithms for independent component analysis[J]. IEEE Trans on Neural Networks, 1999,10(3): 626-634.

[9]邱天爽,李冰，查代奉. 基于分數低階ICA的混合噪聲中脈沖噪聲的消除方法[J]. 信號處理, 2011, 32(9): 77-81.

[10] 查代奉, 邱天爽. 基于低階預白化與新型網絡傳遞函數的盲源分離方法[J]. 信號處理, 2006, 22(2): 163-167.

[11] 劉立峰, 湯建華. 基于自適應Volterra的高斯噪聲圖像濾波算法[J]. 光電子·激光, 2009(12): 1663-1666.

[12] 鄒清,唐艷.獨立成分分析在CT圖像去噪中的應用[J].微計算機信息，2010，26:4-2.

Independent Component Analysis of Image Denoising For Mixed Noise Removal

LIU Yue,SHENG Hu

(School of Electrical and Information Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

A fractional lower order is proposed based on negative entropy of ICA method. In order to make the algorithm better suited to the actual conditions, the filtering method of VLMS is combined with good removal effect on gaussian noise. Theoretical analysis and computer simulation results show that the new method performs superior to traditional image denoising methods in removing mixed noice and practical significance.

random-valued impulse noise; fractional lower order; ICA; VLMS; image denoising

1673-9590(2015)03-0077-05

2014-11-03

國家自然科學基金資助項目(61201419)

劉悅(1990-)，女，碩士研究生；盛虎(1978-)，男，副教授，博士，主要從事非平穩信號處理E-mail:liuyue0303@126.com.

A