固體含源導熱問題的Hamilton原理及其解析方法

張文福

( 東北石油大學 防災減災及防護工程省高校重點實驗室，黑龍江 大慶 163318 )

?

固體含源導熱問題的Hamilton原理及其解析方法

張文福

( 東北石油大學 防災減災及防護工程省高校重點實驗室，黑龍江 大慶 163318 )

變分原理的推導一般采用試湊法或Lagrange乘子法.基于固體瞬態熱傳導的微分方程，利用奧奇西克分部積分法建立固體含源導熱問題的Hamilton原理.該原理可以用于構建新的有限元數值算法，也可以用于獲得一些復雜邊界問題的新解析解.分析Hamilton原理在熱傳導問題解析解方面的應用，利用康托洛維奇—里茨雜交法給出2個算例的近似解析解和精確解析解，從而證明建立的Hamilton原理及其解析解法的正確性和有效性.討論基于熱質理論的Hamilton 原理存在的問題.

Hamilton原理； 解析解； 變分法； 康托洛維奇—里茨雜交法

0 引言

經典分析力學由Newton I、Lagrange J L和Hamilton W R創立.其中Lagrange J L在《分析力學》中首次引入“廣義坐標”的概念(現代振動力學中廣泛使用的振型是一種“廣義坐標”[1-2])，并建立Lagrange方程.然而，Lagrange方程是基于質點系力學建立的，僅適用于建立多自由度體系的運動方程，不適合描述連續介質的基本問題，并且不包含自然邊界條件.Hamilton W R[3]將變分思想引入分析力學，拓展Lagrange方程，建立Hamilton原理.該原理不但形式簡潔，還運用泛函求極值的方法，將真實運動從約束容許的一切可能運動中“挑選”出來，并且可以直接推出自然邊界條件，從而克服Lagrange方程的缺點.經典分析力學的全部理論框架，包括Lagrange方程可以由Hamilton原理推演出來，并且Hamilton原理具有規范變換不變性，對現代理論物理的研究有重要價值.

Hamilton原理是否適用于非保守力系的問題一直存在爭議.一些人提出用新的變分原理解決非保守力系問題，如Leipholz H[4]提出廣義自共扼的概念，建立廣義的Hamilton原理；劉殿魁等提出適合于分析非保守力系的“擬變分原理”[5].實際上，只要非保守力虛功的定義和變分運算正確，Hamilton原理同樣適用于非保守力系問題，含熱源導熱問題也屬于非保守力系問題，因而Hamilton原理同樣適用于分析含熱源導熱問題.

與分析力學相比，熱傳導變分原理的提出較晚.最早的是由Onsager L提出的適合穩態導熱過程的最小能量耗散原理，比較完善的變分原理是由Biot M A建立的.Biot M A[6]采用類比法，參照分析力學引入位移矢量場和廣義坐標的概念，建立熱傳導的Lagrange方程；宋柏等[7-8]基于Einstein質能關系，給出熱質運動需要滿足的Hamilton原理和Lagrange方程，還利用建立的Lagrange方程給出含熱源導熱問題的近似解析解，為建立傳熱學提供新思路.筆者從變分原理角度討論固體含熱源導熱問題.首先利用奧奇西克分部積分法[9]或梁立孚變積法[10]得到固體含熱源導熱問題的Hamilton原理；然后引入康托洛維奇—里茨雜交法，推導2個典型問題的近似解析解和精確解析解；最后討論過增元提出的Hamilton原理.

1 微分方程與定解條件

設xi(i=1,2,3)為笛卡爾(Cartesian)坐標，采用啞標自動求和約定，根據傳熱學理論，在固體含源熱傳導問題中，任一點P(x1,x2,x3)的溫度場T(x1,x2,x3,t)由微分方程和定解條件求得：

微分方程

(1)

邊界條件

T=Tw(xi,t),P∈S1;

(2)

(3)

初始條件

T(xi,0)=T0(xi),P∈V∪S.

(4)

式(1-4)中：ki為導熱系數；ρ為密度；cp為比熱；qv(xi,T,t)為體積熱源強度；qsi(xi,T,t)為表面熱流強度，流入區域為正；Tw(xi,t)為指定的邊界溫度；T0(xi)為初始的邊界溫度；V為求解區域；S為區域的全部邊界，S=S1∪S2.

與經典傳熱學的“三類邊界”劃分方法[9]不同，文中僅需要指定兩類邊界，即溫度邊界及溫度法向導數邊界，其中后者為一種“廣義邊界”，包含第二類邊界、第三類邊界及其線性組合，既可以是位置和時間的函數，也可以是溫度的函數.這種劃分依據是變分原理，因為溫度邊界為指定“位移”邊界，其變分為零；溫度法向導數邊界在變分原理中將以“非保守力虛功”的形式出現，且具有某種“外力”的特性，它與“位移”變分的乘積(虛功)通常不為零.

2 Hamilton原理

根據力學虛功原理，基于微分方程的變分逆運算，采用奧奇西克分部積分法[9]建立固體瞬態熱傳導的Hamilton原理，從而提供一種建立瞬態熱傳導(內含熱源)問題泛函的簡便方法.與奧奇西克分部積分法[9]類似，梁立孚變積法[10]實質上也是一種分部積分法.

首先將微分方程(1)乘以變分δT，并在時間和空間范圍內進行積分，從而得到積分形式：

(5)

式中：dV為體積微元，dV=dx1dx2dx3.

然后采用分部積分法[9]，將式(5)的變分算子移到積分號外.對式(5)的第一項作分部積分：

(6)

根據邊界條件(3)，將式(6)簡化為

(7)

對式(5)的第三項作分部積分：

(8)

在時域邊界t=t1和t=t2處取δT|=0[1-2]，有

(9)

將式(7)和式(9)代入式(5)，得到

(10)

將式(10)與分析力學拓展的Hamilton原理[1-2]

(11)

進行類比，若令

動能

T*=0,

(12)

勢能

(13)

系統耗散能

(14)

非保守力所做的虛功

(15)

則非定常熱傳導問題的溫度場求解可以轉化為分析力學的變分問題.

3 基于Hamilton原理的解析法及其應用

3.1 康托洛維奇—里茨雜交法

與瑞雷—里茨提出的待定系數法不同，康托洛維奇提出待定函數法[11]，為獲得高精度的解析解提供理論基礎.當泛函為

(16)

時，則將問題的解假設為

(17)

式中：φj(η)為預先選定的空間函數，根據邊界條件選定；cj(τ)為待定的時間函數.與經典的分離變量法類似，隱含地假設時空函數可以由時間函數和空間函數的乘積疊加得到，對多數力學問題是適用的.

將假設的空間函數φj(η)代入泛函，利用泛函的駐值條件，可以導出關于cj(τ)的常系數微分方程，從而結合初值條件解出cj(τ)，即為康托洛維奇—里茨雜交法的基本思路[12].因為空間函數φj(η)和根據變分條件求得的時域函數cj(τ)為解析形式，故利用康托洛維奇—里茨雜交法可以獲得問題的解析解.如果空間函數φj(η)能夠精確滿足邊界條件，則將獲得精確解析解；否則，為近似解析解.

若將連續體劃分為若干單元，將康托洛維奇—里茨雜交法應用于每個單元分析，則可建立一種新型的有限元計算格式.

結合文獻[7-8]給出的2個算例，利用文中提出的Hamilton原理分別推演問題的近似解析解和精確解析解.

3.2 算例1

考慮區域為00 ℃時,平板有定常的內熱源qv(x,T,t)=q0，求平板溫度分布的近似解析解.

根據康托洛維奇—里茨雜交法，取算例1的溫度場為

(18)

(19)

式中：f1(t)為待定的時間函數，采用變分方法得到.

式(18)的空間函數滿足平板兩側的熱邊界條件，為可用試函數.計算Hamilton原理中各項能量及其變分的公式為

(20)

(21)

(22)

(23)

利用Hamiliton原理的端點變分條件[1-2]，式(23)右端的第一項結果應該為零，則變為

(24)

(25)

將式(21)、式(24)和式(25)代入式(11)得到

(26)

因為δf1(t)具有任意性，式(26)積分成立的條件應是方括號內的結果為零，即

(27)

或者

(28)

式(28)是關于時間函數f1(t)的一階常系數微分方程，其解為

(29)

式中：A1為待定系數，根據初始條件確定，如將式(29)代入式(18)得到

(30)

根據初始條件

(31)

得

(32)

從而得到溫度場的近似解析解為

(33)

若溫度場取為無窮級數形式，即

(18b)

則根據文中提出的Hamiliton原理和康托洛維奇—里茨雜交法，還可以方便地求得算例1的精確解析解為

(34)

3.3 算例2

考慮區域為00 ℃時，平板有隨時間變化的內熱源qv(x,T,t)=q0sin2t，求平板的溫度分布的精確解析解.

文獻[8]給出算例2的近似解析解，文中基于康托洛維奇—里茨雜交法和建立的Hamilton原理給出精確解析解.首先算例2的溫度場寫成無窮級數表達形式

(35)

(36)

式(35)的空間函數滿足平板兩側的邊界條件，為可用試函數.計算Hamilton原理中各項能量及其變分的公式為

(37)

(38)

利用Hamiliton原理的端點變分條件[1-2]，式(38)右端的第一項結果應該為零，則變為

(39)

(40)

將式(37)、式(39)和式(40)代入式(11)得到

(41)

因為δfj(t)具有任意性，則式(41)積分成立的條件是方括號內的結果為零，從而得到

(42)

這是關于待定時間函數fj(t)的一階常系數微分方程，其精確解析解為

(43)

式中：Aj為根據初始條件確定的待定系數.

將式(43)代入式(35)，由初始條件

(44)

(45)

文獻[8]用Lagrange方程僅能得到算例2的一階近似解析解，根據文中提出的Hamilton原理和康托洛維奇—里茨雜交法能得到問題的精確解析解.

4 討論

(1)利用所建立的Hamilton原理，可將真實溫度場從約束容許的一切可能溫度場中“挑選”出來，得到固體含熱源導熱問題的精確解析解.

(2)人們試圖給出傳熱和傳質問題的完全積分型的變分原理，因為完全積分型的泛函為二次型，積分簡單，且容易按常規方法進行變分運算.BruceAF[13]評述各種完全積分型的變分原理，認為不存在變物性或瞬態熱問題的完全積分型的變分原理.以文中建立的Hamilton原理為例，若將它改寫表達為

(46)

(47)

[1] 克拉夫 R W,彭津 J.結構動力學[M].2版.北京:科學出版社,2007. Ray Clough, Joseph Penzien. Structural dynamics [M]. Beijing: Science Press, 2007.

[2] 王光遠.應用分析動力學[M].北京:人民教育出版社,1981. Wang Guangyuan. Application analysis of dynamics [M]. Beijing: People's Education Press, 1981.

[3] Hamilton W R. On a general method in dynamics [J]. Philosophical Transaction of the Royal Society Part I, 1834:247-308; Part II, 1835:95-144.

[4] Leipholz H. Direct variational methods and eigenvalue problems in engineering [M]. Leyden: Noordhoff International Publishing, 1977.

[5] 劉殿魁,張其浩.彈性理論中非保守問題的一般變分原理[J].力學學報,1981(6):562-570. Liu Diankui, Zhang Qihao. Some general variational principles for nonconservative problems in theory of elasticity [J]. Chinese Journal of Theoretical Applied Mechanics, 1981(6):562-570.

[6] Biot M A. Variational principles in heat transfer [M]. Oxford: Clarendon Press, 1970.

[7] 宋柏,吳晶,過增元.基于拉格朗日方程的含源導熱問題分析[J].工程熱物理學報,2011,32(11):141-144. Song Bai, Wu Jing, Guo Zengyuan. Analysis of heat conduction problem involving heat source using lagrangian equation [J]. Journal of Engineering Thermophysics, 2011,3(1):141-144.

[8] 宋柏,吳晶,過增元.基于熱質理論的Hamilton原理[J].物理學報,2010,59(10):7129-7133 Song Bai, Wu Jing, Guo Zengyuan. Hamilton's principle based on thermomass theory [J]. Acta Physica Sinica, 2010,59(10):7129-7133.

[9] Ozisik M N.熱傳導[M].北京:高等教育出版社,1983. Ozisik M N. Heat conduction [M]. Beijing: Higher Education Press, 1983.

[10] 梁立孚,石志飛.關于變分學中逆問題的研究[J].應用數學和力學,1994,15(9):775-788. Liang Lifu, Shi Zhifei. On the inverse problem in calculus of variations [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 1994,15(9):775-788.

[11] 錢偉長.廣義變分原理[M].北京:知識出版社,1985. Qian Weichang. Generalized variational principle [M]. Beijing: Knowledge Press, 1985.

[12] 劉高聯,宋雪玉,李范春.康托洛維奇—里茨雜交法及其應用[J].力學季刊,2007,28(3):383-388. Liu Gaolian, Song Xueyu, Li Fanchun. Kantorovich-Ritz hybrid method and its applications [J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2007,28(3):383-388.

[13] Bruce A F. The method of weighted residuals and variational principles: With applications in fluid mechanics, heat and mass transfer [M]. New York: Academic Press, 1972.

2015-01-10；編輯：朱秀杰

國家自然科學基金項目(51178087，51176023)；黑龍江省教育廳重點項目(12511Z004)

張文福(1965-)，男，博士，教授，主要從事結構工程、工程抗風、抗震及抗火方面的研究.

TK121

A

2095-4107(2015)03-0118-08

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2015.03.015