幾種GPS高程擬合方法的分析與比較

李和旺

摘 要：文章論述了幾種常用的GPS高程擬合的方法，并在MATLAB中編制了相應的程序，建立了相應的GPS高程擬合模型，并通過實例數據進行建模分析，對比各方法的擬合結果的精度高低，得出了一些有益結論。

關鍵詞：GPS；高程擬合；高程異常

1 概述

GPS高程測量具有勞動強度小、工作效率高、高程誤差不累積等優點，但測得的高程不能直接用于生產實踐中，對于GPS高程應用的不便性，國內外學者給予了普遍的關注。GPS高程轉換是GPS應用研究領域的一個難點問題，也是GPS應用研究的熱點問題。為了提高GPS高程轉換的精度，國內外許多學者在GPS高程轉換方法上進行了深入的研究，提出了很多種擬合方法[1-2]，以便使GPS高程能夠更廣泛的應用到測量領域，充分發揮GPS高程測量的優越性。

文章主要探討多項式曲線擬合法、樣條曲線擬合、平面函數擬合法、二次曲面擬合法、多面函數法等方法[3]在GPS高程擬合中的運用，并通過實例數據進行分析比較，對比各方法的精度高低，得出了一些有益結論。

2 GPS高程擬合方法

2.1 多項式曲線擬合

若將坐標系轉換成與測線x方向重合，與測線y方向垂直，則設高程異常值 和坐標x間存在下列函數關系：

（1）

已知點的高程異常和擬合得到的高程異常之差： ；

根據最小二乘原理，在？撞Ri2=min條件下求解各參數ai，然后利用（1）式求出各點的高程異常 ，從而求出各點的正常高。

2.2 二次曲面擬合法

二次曲面擬合法的數學模型為：

（2）

式中，x，y分別為點的縱、橫坐標；a0，a1…a5為擬合系數。

由（2）式可知，二次曲面方程有6個待定系數a0，a1…a5，至少需要6個已知點才能進行計算。若已知點的個數為6個，可求出系數a0，a1…a5；若已知點的個數大于6個，系數a0，a1…a5由已知點通過最小二乘原理VTPV=min求得。

假設已知點點數為n，由（2）式可列誤差方程：

（3）

表示成總誤差方程形式：

V=BX-L （4）

式中，V=[v1，v2…vn]T； ；

X=[a0，a1，a2，a3，a4，a5]T；L=[？孜1，？孜2，…，？孜n]T。

由最小二乘原理VTPV=min，得到解為：

X=（BTB）-1BTL （5）

式中，V為改正數向量；L為高程異常值向量；X為擬合系數向量；B為系數矩陣。由此即可獲得似大地水準面二次曲面擬合模型。

求得a0，a1，…a5后，即可根據點位的平面坐標利用（2）式子計算出待求點的高程異常 ，再利用GPS觀測的大地高減去求出的高程異常 得到正常高[5]。

3 GPS高程擬合的精度評定

對擬合后的結果要進行精度評定，鑒于樣本中既有擬合點又有檢核點，一般采用內符合精度指標？滋1和外符合精度指標？滋2來評價擬合結果的好壞。

（6）

（7）

其中，v1為擬合高程異常的殘差，n1為擬合計算點的個數，v2為擬合外推高程異常的殘差，n2為擬合外推計算點的個數。內、外符合精度越小，表明擬合和預測的精度越高；反之，則說明擬合和預測的精度越差。

4 算例分析

某沿江地形平緩區域的GPS控制網共有無粗差且精度相同的水準點17個，平均邊長約1km，區域面積約10km2，按國家GPS網B級要求施測，采用二等水準聯測各GPS點，即：17點每個點都獲取了平面位置和高程異常[7]。

為了消除點位分布因素的影響，選擇均勻分布在整個測區內的8個點作為擬合點，剩下的9個點作為檢核樣本點。

用matlab編程建立模型，采用多項式擬合、三次樣條曲線擬合、平面擬合、二次曲面擬合、多面函數擬合法進行GPS高程擬合，擬合結果見表1。

表1 幾種擬合方法的結果比較

由表1可以看出，多面函數擬合的精度為2.0mm，二次曲面擬合的精度是1.8mm，這兩種方法的精度都很高，平面擬合的內、外符合精度分別為2.4mm和4.1mm，其擬合精度也較高，三次樣條曲線的的精度較差，多項式擬合的擬合精度稍高。

為了更好地對比這幾種方法的擬合效果，作出了這幾種方法的殘差序列對比圖，見圖1。

圖1 幾種擬合方法擬合殘差序列

從圖1可以看出：二次曲面擬合、多面函數擬合、平面擬合殘差震蕩小、變化比較平穩，多項式擬合、三次樣條曲線擬合的殘差變化上下起伏較大。

5 結束語

通過對實驗結果的分析，在較小范圍的地勢平坦的區域，可得到如下的結論：（1）與平面擬合相比，多面函數擬合不是利用單純的平面或曲面擬合，而是利用多個曲面逼近似大地水準面，擬合的精度較高。（2）平面擬合、二次曲面擬合、多面函數擬合都比三次樣條曲線擬合的精度高，是因為測區不是呈線狀分布的，還有三次樣條曲線擬合區域似大地水準面只考慮一個方向。（3）平面擬合、二次曲面擬合、多面函數擬合都比多項式擬合精度高。因為多項式擬合適用于線狀分布的區域，而試驗一中區域是呈面狀分布的。

參考文獻

[1]王旭，劉文生.GPS高程擬合方法的研究[J].測繪科學，2010，35：28-30.

[2]楊江波，李為樂，余代俊，等.GPS高程擬合方法的實驗研究[J].測繪科學，2009，34（3）：54-57.

[3]喬仰文，等.GPS高程轉換的若干問題的研究[J].測繪通報，1999（11）：17-19.

[4]胡永剛，武文波，劉利君.GPS水準高程擬合模型在線狀工程中的研究及應用[J].測繪科學，2009，34（4）：203-205.

[5]高原，張恒 ，趙春江.多項式曲面模型在GPS高程擬合中的應用[J].測繪科學，2011，36（5）：179-181.

[6]Hardy RL.The application of multi quadraic equations and point mass anomaly models to crustal movement studies[J].NOAA Technical Report NOS，1978，76（11）.

[7]胡伍生，高成發.GPS測量原理及其應用[M].北京：人民交通出版社，2004.