幾種GPS高程擬合方法的分析與比較

李和旺

摘 要：文章論述了幾種常用的GPS高程擬合的方法，并在MATLAB中編制了相應(yīng)的程序，建立了相應(yīng)的GPS高程擬合模型，并通過(guò)實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，對(duì)比各方法的擬合結(jié)果的精度高低，得出了一些有益結(jié)論。

關(guān)鍵詞：GPS；高程擬合；高程異常

1 概述

GPS高程測(cè)量具有勞動(dòng)強(qiáng)度小、工作效率高、高程誤差不累積等優(yōu)點(diǎn)，但測(cè)得的高程不能直接用于生產(chǎn)實(shí)踐中，對(duì)于GPS高程應(yīng)用的不便性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者給予了普遍的關(guān)注。GPS高程轉(zhuǎn)換是GPS應(yīng)用研究領(lǐng)域的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，也是GPS應(yīng)用研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。為了提高GPS高程轉(zhuǎn)換的精度，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在GPS高程轉(zhuǎn)換方法上進(jìn)行了深入的研究，提出了很多種擬合方法[1-2]，以便使GPS高程能夠更廣泛的應(yīng)用到測(cè)量領(lǐng)域，充分發(fā)揮GPS高程測(cè)量的優(yōu)越性。

文章主要探討多項(xiàng)式曲線擬合法、樣條曲線擬合、平面函數(shù)擬合法、二次曲面擬合法、多面函數(shù)法等方法[3]在GPS高程擬合中的運(yùn)用，并通過(guò)實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析比較，對(duì)比各方法的精度高低，得出了一些有益結(jié)論。

2 GPS高程擬合方法

2.1 多項(xiàng)式曲線擬合

若將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成與測(cè)線x方向重合，與測(cè)線y方向垂直，則設(shè)高程異常值 和坐標(biāo)x間存在下列函數(shù)關(guān)系：

（1）

已知點(diǎn)的高程異常和擬合得到的高程異常之差： ；

根據(jù)最小二乘原理，在？撞Ri2=min條件下求解各參數(shù)ai，然后利用（1）式求出各點(diǎn)的高程異常 ，從而求出各點(diǎn)的正常高。

2.2 二次曲面擬合法

二次曲面擬合法的數(shù)學(xué)模型為：

（2）

式中，x，y分別為點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)；a0，a1…a5為擬合系數(shù)。

由（2）式可知，二次曲面方程有6個(gè)待定系數(shù)a0，a1…a5，至少需要6個(gè)已知點(diǎn)才能進(jìn)行計(jì)算。若已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè)，可求出系數(shù)a0，a1…a5；若已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于6個(gè)，系數(shù)a0，a1…a5由已知點(diǎn)通過(guò)最小二乘原理VTPV=min求得。

假設(shè)已知點(diǎn)點(diǎn)數(shù)為n，由（2）式可列誤差方程：

（3）

表示成總誤差方程形式：

V=BX-L （4）

式中，V=[v1，v2…vn]T； ；

X=[a0，a1，a2，a3，a4，a5]T；L=[？孜1，？孜2，…，？孜n]T。

由最小二乘原理VTPV=min，得到解為：

X=（BTB）-1BTL （5）

式中，V為改正數(shù)向量；L為高程異常值向量；X為擬合系數(shù)向量；B為系數(shù)矩陣。由此即可獲得似大地水準(zhǔn)面二次曲面擬合模型。

求得a0，a1，…a5后，即可根據(jù)點(diǎn)位的平面坐標(biāo)利用（2）式子計(jì)算出待求點(diǎn)的高程異常 ，再利用GPS觀測(cè)的大地高減去求出的高程異常 得到正常高[5]。

3 GPS高程擬合的精度評(píng)定

對(duì)擬合后的結(jié)果要進(jìn)行精度評(píng)定，鑒于樣本中既有擬合點(diǎn)又有檢核點(diǎn)，一般采用內(nèi)符合精度指標(biāo)？滋1和外符合精度指標(biāo)？滋2來(lái)評(píng)價(jià)擬合結(jié)果的好壞。

（6）

（7）

其中，v1為擬合高程異常的殘差，n1為擬合計(jì)算點(diǎn)的個(gè)數(shù)，v2為擬合外推高程異常的殘差，n2為擬合外推計(jì)算點(diǎn)的個(gè)數(shù)。內(nèi)、外符合精度越小，表明擬合和預(yù)測(cè)的精度越高；反之，則說(shuō)明擬合和預(yù)測(cè)的精度越差。

4 算例分析

某沿江地形平緩區(qū)域的GPS控制網(wǎng)共有無(wú)粗差且精度相同的水準(zhǔn)點(diǎn)17個(gè)，平均邊長(zhǎng)約1km，區(qū)域面積約10km2，按國(guó)家GPS網(wǎng)B級(jí)要求施測(cè)，采用二等水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)各GPS點(diǎn)，即：17點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)都獲取了平面位置和高程異常[7]。

為了消除點(diǎn)位分布因素的影響，選擇均勻分布在整個(gè)測(cè)區(qū)內(nèi)的8個(gè)點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，剩下的9個(gè)點(diǎn)作為檢核樣本點(diǎn)。

用matlab編程建立模型，采用多項(xiàng)式擬合、三次樣條曲線擬合、平面擬合、二次曲面擬合、多面函數(shù)擬合法進(jìn)行GPS高程擬合，擬合結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 幾種擬合方法的結(jié)果比較

由表1可以看出，多面函數(shù)擬合的精度為2.0mm，二次曲面擬合的精度是1.8mm，這兩種方法的精度都很高，平面擬合的內(nèi)、外符合精度分別為2.4mm和4.1mm，其擬合精度也較高，三次樣條曲線的的精度較差，多項(xiàng)式擬合的擬合精度稍高。

為了更好地對(duì)比這幾種方法的擬合效果，作出了這幾種方法的殘差序列對(duì)比圖，見(jiàn)圖1。

圖1 幾種擬合方法擬合殘差序列

從圖1可以看出：二次曲面擬合、多面函數(shù)擬合、平面擬合殘差震蕩小、變化比較平穩(wěn)，多項(xiàng)式擬合、三次樣條曲線擬合的殘差變化上下起伏較大。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，在較小范圍的地勢(shì)平坦的區(qū)域，可得到如下的結(jié)論：（1）與平面擬合相比，多面函數(shù)擬合不是利用單純的平面或曲面擬合，而是利用多個(gè)曲面逼近似大地水準(zhǔn)面，擬合的精度較高。（2）平面擬合、二次曲面擬合、多面函數(shù)擬合都比三次樣條曲線擬合的精度高，是因?yàn)闇y(cè)區(qū)不是呈線狀分布的，還有三次樣條曲線擬合區(qū)域似大地水準(zhǔn)面只考慮一個(gè)方向。（3）平面擬合、二次曲面擬合、多面函數(shù)擬合都比多項(xiàng)式擬合精度高。因?yàn)槎囗?xiàng)式擬合適用于線狀分布的區(qū)域，而試驗(yàn)一中區(qū)域是呈面狀分布的。

參考文獻(xiàn)

[1]王旭，劉文生.GPS高程擬合方法的研究[J].測(cè)繪科學(xué)，2010，35：28-30.

[2]楊江波，李為樂(lè)，余代俊，等.GPS高程擬合方法的實(shí)驗(yàn)研究[J].測(cè)繪科學(xué)，2009，34（3）：54-57.

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[4]胡永剛，武文波，劉利君.GPS水準(zhǔn)高程擬合模型在線狀工程中的研究及應(yīng)用[J].測(cè)繪科學(xué)，2009，34（4）：203-205.

[5]高原，張恒 ，趙春江.多項(xiàng)式曲面模型在GPS高程擬合中的應(yīng)用[J].測(cè)繪科學(xué)，2011，36（5）：179-181.

[6]Hardy RL.The application of multi quadraic equations and point mass anomaly models to crustal movement studies[J].NOAA Technical Report NOS，1978，76（11）.

[7]胡伍生，高成發(fā).GPS測(cè)量原理及其應(yīng)用[M].北京：人民交通出版社，2004.