三維Minkowski空間中的平移曲面

袁 媛, 劉會立

(東北大學 理學院, 沈陽 110819)

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三維Minkowski空間中的平移曲面

袁 媛, 劉會立

(東北大學 理學院, 沈陽 110819)

討論三維Minkowski空間中的平移曲面。曲面的性質主要取決于高斯曲率和平均曲率,所以研究曲面的高斯曲率和平均曲率之間的關系,也就是曲面的Weingarten型有著重要的意義。在三維Minkowski空間中,存在類空、類時、和類光3種向量,選取這3種向量中的任意2種作為2個平移方向,可以將平移曲面分為6類。在偽正交標架下,選取一種新的度量形式,對沿類光和類空方向平移的平移Weingarten曲面進行了研究。首先,根據微分幾何中的基本知識,得到了該種度量形式下的平移曲面的第1、第2基本形式以及高斯曲率和平均曲率;然后,主要利用高斯曲率和平均曲率之間的線性關系和平方關系,得到了這類平移曲面的分類定理。

Minkowski空間; 平移曲面; Weingarten曲面; 偽正交標架

0 預備知識

〈,〉=2dxdy+dz2

r(u,v)={x(u,v),y(u,v),z(u,v)}

曲面S的第1基本形式[1]Ⅰ定義為

Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2

E=〈ru,ru〉,F=〈ru,rv〉,G=〈rv,rv〉

Ⅱ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2

L=ε〈n,ruu〉,M=ε〈n,ruv〉,N=ε〈n,rvv〉

曲面S的高斯曲率[2]K和平均曲率[3]H分別為

定義[4-5]若曲面S的高斯曲率K和平均曲率H滿足一個函數關系式,即

f(H,K)=0

則稱曲面S為Weingarten型曲面,或Weingarten曲面。

r(u,v)=(u,v,f(u)+g(v))

1) 沿2個類空方向平移;

2) 沿2個類時方向平移;

3) 沿2個類光方向平移;

4) 沿類空和類時方向平移;

5) 沿類空和類光方向平移;

6) 沿類光和類時方向平移。

1 線性Weingarten型曲面

r(u,v)=(f(u)+g(v),u,v)

該曲面的高斯曲率和平均曲率分別為

證明 當K=C(常數)≠0時,即

整理得

式(1)對v求導得

f″g?

由式(1)與式(2)消去f″得

即

此方程左邊是關于v的函數,而右邊是關于u的函數,則f′=m(m為常數),因此,f″=0。而由式(1)可知f″≠0,得到矛盾。

1) 平面;

2) 柱面;

3)f(u),g(v)滿足

f(u)=c1e-Au+c2

其中A,b1,b2,c1,c2∈R。

證明 當H=0時,即

則2f′g″+f″=0。解這個方程[10],很容易得到定理3。

1)g(v)=m1v+m2

2)f(u)=n1u+n2

其中c1,c2,m1,m2,n1,n2∈R,且n1≠0。

證明 由H=C(常數),即

令ω=ε(2f′-g′2),上式整理得

式(3)對v求導,整理可得

式(3)和式(4)消去f″,再將ω代入得

f′2g?2-18c2εf′g′2g″2+9c2g′4g″2ε=0,

這是關于f′的一個多項式,f′是關于u的函數,其系數只與v有關系．那么只能有2種情況:

1)g″=0,f′的各項系數都為零,所以f′任意。設g′=m1,則

解常微分方程得,

2)g″≠0,那么f′的各項系數不全為零,則f′只能為常數,并且由式(3)知f′不為零。

設f′=n1≠0,則f″=0,那么

解常微分方程得

類似的方法,可以得到:

1)g(v)=m1v+m2

2)f(u)=n1u+n2

其中c1,c2,m1,m2,n1,n2∈R,且n1≠0。

2 H2=K型曲面

證明 當H2=K時,即

由式(5)得

式(6)對v求導可得

式(6)和(7)消去f″,整理得

式(8)是一個關于f′的多項式。

1) 當g″≠0時,f′的各項系數不全為零,則f′≡c。

c=0時,式(5)自然成立,此平移曲面是柱面。

c≠0時,由式(5)知g″=0,矛盾。

2) 當g″=0時,則f′的各項系數為零,由式(5)知f″=0,這樣平移曲面是平面。

3 結 語

本文主要研究了高斯曲率和平均曲率滿足線性和平方關系的沿著類光和類空方向平移的平移曲面,給出了具體的分類定理。同樣也可以用本文的方法研究類似的6類乘積曲面[7]。

[1]梅向明,黃敬之. 微分幾何[M]. 北京:高等教育出版社, 1998:37-179.

[2]DO CARMO M. Differential geometry of curves and surfaces[M].New Jersey: Prentice-Hall, 1976:56-78.

[3]Kim Y H, Yoon D W. Ruled surfaces with finite type Gauss map in Minkowski spaces[J]. Soochow J Mathematics, 2000,26(1):85-96.

[4]DILLEN F, SODSIRI W. Ruled surfaces of Weingarten type in Minkowski 3-space:Ⅱ[J].J Geom, 2006,84(1/2):37-44.

[5]DILLEN F, SODSIRI W. Ruled surfaces of Weingarten type in Minkowski 3-space[J]. J Geom, 2005,83(1/2):10-21.

[6]LIU H L. Translation surfaces with constant mean curvature in 3-dimensional Spaces[J]. J Geom, 1999,64(1/2):141-149.

[7]MENG H H, LIU H L. Factorable suafcces in 3-Minkowski space[J]. Bull Korean Math Soc, 2009,46(1):155-169.

Translation surfaces in 3-D Minkowski space

YUANYuan,LIUHuili

(School of Science, Northeastern University, Shenyang 110004, China)

This paper considers translation surfaces in 3-D Minkowski space. The nature of surface mainly depends on Gaussian curvature and mean curvature, and therefore, it is of significance to investigate the relation between Gaussian curvature and mean curvature of surface, i.e., Weingarten surface. There are three kinds of vectors in the 3-D Minkowski space, i.e., space-like, time-like and light-like vectors among which choosing any two vectors as the directions of translation will divide the translation surfaces into six types. A new metric form is chosen to study the Weingarten translation surfaces which are translating in the lightlike direction and spacelike direction in a pseudo-orthogonal frame. Then, the first and second fundamental forms, Gaussian curvature and mean curvature of the surfaces are directly calculated according to the principles of differential geometry. It follows that some theorems of classification of those translation surfaces are given mainly by virtue of the linear and square relationships between the Gaussian curvature and the mean curvature.

Minkowski space; translation surface; Weingarten surface; pseudo-orthogonal frame

2014-07-28。

教育部基本科研業務青年教師科研啟動基金資助項目(N130305005)。

袁 媛(1980-),女,遼寧鞍山人,東北大學講師,博士。

1673-5862(2015)03-0396-04

O186.12

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.03.017