準極端Reissner-Nordstr?m黑洞對Dirac粒子的散射

呂 嫣, 花 巍

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

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準極端Reissner-Nordstr?m黑洞對Dirac粒子的散射

呂 嫣, 花 巍

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

在Reissner-Nordstr?m時空下,給出分離變量后的Dirac方程的徑向方程和角向方程。按照Chandrasekhar的方法,通過定義烏龜坐標變換,將徑向耦合方程退耦成獨立的一維波動方程,并給出方程中勢的表達式。考慮到極端Reissner-Nordstr?m黑洞內外視界是重合的,這將導致黑洞的質量和電荷量相同。在準極端Reissner-Nordstr?m背景時空下,討論了當粒子的能量大于勢壘高度時,Dirac粒子被黑洞的散射情況。首先,將勢函數用一組階梯函數代替;之后,利用量子力學的方法給出透射反射系數以及波函數的數值變化曲線;最后,比較分析不同質量的粒子被散射的情況。從結果來看,不同質量Dirac粒子的散射是明顯不同的,質量越大的粒子散射越強。從這個角度來講,黑洞也可以看做是一個質量攝譜儀。

準極端Reissner-Nordstr?m黑洞; Dirac粒子; 散射; 烏龜坐標

0 引 言

自從霍金發現黑洞存在熱輻射之后[1],黑洞的量子特性越來越受到人們的關注。目前為止,已經有各種各樣的方法和手段被應用于研究各種背景時空下黑洞的輻射和散射問題[2-13]。本文所研究的準極端Reissner-Nordstr?m(RN)黑洞對Dirac粒子的散射問題,實際上是求解該背景時空下的Dirac方程。彎曲時空中Dirac方程的解一方面反映了高度彎曲時空附近天體的自身演化圖像,另一方面也可以解釋并預言Dirac粒子在彎曲時空中的行為,后者對于進一步研究黑洞的熱性質又具有極其重要的理論意義。

1 波動方程

RN時空中的線元形式為

其中:M是黑洞質量;Q是黑洞電荷量。根據文獻[14],RN時空中的Dirac方程可分離為徑向和角向方程,徑向方程為

且有

這里:n是整數或半整數;σ代表入射波的頻率;m是粒子的靜止質量;λ是Dirac方程的本征值;Δ可稱作視界函數。

分離變量后的角向方程為

定義烏龜坐標

其中

并且

上式中:r±為黑洞兩視界的視界半徑;κ±為相應的表面引力。

按照Chandrasekhar的方法[14],徑向耦合方程(2)、(3)可以被退耦為一維波動方程

(14)式中勢壘的表達式為

2 波動方程的解

在每一階梯上局域反射透射系數有如下形式

在邊界處采用無反射的內邊界條件,即Vn→0,Rn→0。圖2給出了不同質量粒子的即時透射反射系數,參數選擇情況是:σ=0.8,m=0.8(實線),m=0.75(虛線),m=0.7(點劃線)。在邊界處,勢為0,所有粒子反射系數均為0,隨著遠離邊界,所有粒子的反射系數均在增加,而透射系數相應減小。可以看出,質量越大的粒子反射系數越大而透射系數越小,這意味著質量小的粒子更容易穿越勢壘。圖3給出了相應粒子的波函數變化曲線,圖3a代表波函數的實部,圖3b代表波函數的虛部。在靠近邊界處,不同質量粒子的波長、振幅近似相同,隨著遠離邊界,質量較大的粒子波長更長,振幅更大,其散射更為明顯。

圖1 勢與階梯勢

圖2 反射系數與透射系數

圖3 波函數

3 結 論

本文研究了準極端RN黑洞對Dirac粒子的散射,包括透射反射系數和波函數。采用階梯勢的方法得到全空間的透射反射系數以及波函數的變化情況。透射反射系數是逐點定義的,因此也可以稱作即時透射反射系數。在所討論的情況中,不同質量的粒子散射情況明顯不同,質量越大的粒子散射越強,可以推斷不同能量的粒子入射黑洞,散射情況也會明顯不同,所以黑洞可以看作是一個質量(或能量)攝譜儀。以上討論的是入射粒子的散射,若根據霍金輻射考慮事件視界處產生的出射粒子,則在無窮遠處的平均粒子數應為霍金輻射譜與勢壘穿透系數的乘積。

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Scattering of Dirac particles off quasi-extreme Reissner-Nordstr?mblack holes

LYUYan,HUAWei

(College of Physical Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Dirac equations are separated into radial and angular equations in Reissner-Nordstr?m (RN) geometry. By tortoise coordinate transformation, the radial parts of Dirac equations are decoupled into independent one-dimensional wave equations according to Chandrasekhar’s method. The form of the potential in the wave equations is also given. For extreme RN black holes, the two black hole horizons are coincidence, which leads to the equal mass and the electric charge of the black hole. In quasi-extreme Reissner-Nordstr?m geometry, the case that the energies of the waves are greater than the height of the potential barrier is considered. First, the potential is replaced by a collection of step functions. Second, the reflection and transmission coefficients and the wave functions are computed by quantum mechanics method. Last, the solutions to Dirac equations with different masses are compared. The results show that Dirac particles with different mass are scattered obviously different, the greater the mass is, the stronger the scattering is. Therefore, the black hole can act as a mass spectrograph.

quasi-extreme Reissner-Nordstr?m black holes; Dirac particles; scattering; tortoise coordinate

2015-03-08。

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(11301350)。

呂 嫣(1978-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學副教授,碩士。

1673-5862(2015)03-0405-04

O412.1

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.03.019