HM-凸函數及其Jensen型不等式

宋 振 云

(湖北職業技術學院 機電工程學院, 湖北 孝感 432000)

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HM-凸函數及其Jensen型不等式

宋 振 云

(湖北職業技術學院 機電工程學院, 湖北 孝感 432000)

凸函數是一類特殊的函數,隨著其在應用上的不可替代性作用的逐漸顯現,近年來,關于凸函數的研究已成為一個備受關注的熱點,不同種類的凸函數概念被不斷提出,尤其是基于區間上的二元冪平均確定的凸函數。考慮由區間上的算術平均、幾何平均、調和平均所確定的調和凸函數、HG-凸函數、HA-凸函數等凸函數的推廣問題,定義了HM-凸函數;通過對HM-凸函數的凸性特征的系統研究,討論了HM-凸函數的判定方法并給出了相應的判定定理;分析了HM-凸函數的凸性特點,得到了若干凸性性質。在此基礎上,建立了HM-凸函數的Jensen型不等式。

HM-凸函數; 判定定理; 性質; Jensen型不等式

凸性及其廣義凸性在控制理論、最優化理論、線性規劃等領域的應用價值,已是人所共知的。隨著其在數學中的地位的不斷攀升和應用上不可替代性作用的逐漸顯現,近年來,凸函數已引起了眾多學者的廣泛關注和高度重視,對它的深入研究也成為了一個熱點。正因如此,不同種類的新的凸函數概念被不斷提出,僅就區間上的二元冪平均確定的凸函數,就有如調和凸函數[1]、HG-凸函數[2]、HA-凸函數[3]、rP-凸函數[4]等。本文考慮對調和凸函數、HG凸函數、HA-凸函數進一步推廣,給出了HM-凸函數的定義,討論了HM-凸函數的判定定理,研究了HM-凸函數的相關性質,建立了HM-凸函數的Jensen型不等式。

定義 設I?(0,+∞),f(x)是定義在I上的正值函數,如果?x1,x2∈I及?t∈[0,1],存在r∈R,使得

則稱f(x)為I上的HM-凸(凹)函數。其中,當r>0時,稱f(x)為I上的HMr+-凸(凹)函數;當r<0時,稱f(x)為I上的HMr--凸(凹)函數。

注:當r=0時,HM-凸(凹)函數即為HG-凸(凹)函數;當r=-1時,HM-凸(凹)函數即為調和凸(凹)函數;當r=1時,HM-凸(凹)函數即為HA-凸(凹)函數。

1 關于HM-凸函數的判定

約定全文所有討論只考慮r≠0的情形,對r=0時的相關討論參見文獻[2]。

定理1 設I?(0,+∞),f(x)是定義在I上的正值函數,則

ⅰ)f(x)為I上的HMr+-凸(凹)函數的充要條件是:?x1,x2,x3∈I且x1

ⅱ)f(x)為I上的HMr--凸(凹)函數的充要條件是:?x1,x2,x3∈I且x1

證明 只證ⅰ),同理可證ⅱ)。

由于r>0時,以上證明步步可逆,因此充分性成立。

若f(x)是I上的HMr+-凹函數,則證明中的不等號反向,故定理1(ⅰ)的后半部分成立。

定理2 設I?(0,+∞)(I為閉區間),f(x)是I上的正值函數,?x∈I,τ:x→x-1,若記τ(I)=I-1,則

ⅰ)f(x)為I上的HMr+-凸(凹)函數的充要條件是(f(x-1))r(r>0)為I-1上的凸(凹)函數;

ⅱ)f(x)為I上的HMr--凸(凹)函數的充要條件是(f(x-1))r(r<0)為I-1上的凹(凸)函數。

證明 只證ⅰ),同理可證ⅱ)。

設g(x)=(f(x-1))r(x∈I-1,r>0),

充分性。若g(x)=(f(x-1))r(r>0)為I-1上的凸函數,則?x1,x2∈I,?t∈[0,1],有

=[t(f(x1))r+(1-t)(f(x2))r]1/r,

所以,f(x)為I上的HMr+-凸函數。

必要性。若f(x)為I上的HMr+-凸函數,r>0,則,?x1,x2∈I,?t∈[0,1],有

故g(x)=(f(x-1))r(r>0)是I上的凸函數。

由以上的證明過程可知,定理2(ⅰ)的后半部分成立。

定理3 設I?(0,+∞),f(x)是定義在I上的正值函數,則

證明 只證ⅰ),同理可證ⅱ)。

因為φ(t)為[0,1]上的凸函數,且r>0,所以

即f(x)是I上的HMr+-凸函數。

必要性。 ?x1,x2∈I及?t1,t2∈[0,1],由2個正數的冪平均的性質[5]知

因為f(x)是I上的HMr+-凸函數,r>0,所以,?t1,t2∈[0,1]及?α∈[0,1],有

如果f(x)是I上的HMr+-凹函數,則證明中的不等號反向,所以定理3(ⅰ)的后半部分成立。

定理4設I?(0,+∞),f(x)是I上的正值函數,且二階可導,則

ⅰ)f(x)為I上的HMr+-凸(凹)函數的充要條件是:

ⅱ)f(x)為I上的HMr--凸(凹)函數的充要條件是,

證明 只證ⅰ),同理可證ⅱ)

因為x∈I?(0,+∞),且f(x)在I上是正的,所以

φ″(t)≥(≤)0?r[f(x)(2f′(x)+xf″(x))+(r-1)x((f′(x))2]≥(≤)0(x∈I)。

由定理3(ⅰ),f(x)為I上的HMr+-凸(凹)函數

?φ″(t)≥(≤)0?f(x)(2f′(x)+xf″(x))+(r-1)x((f′(x))2≥(≤)0(x∈I,r>0)。 證畢。

2 關于HM-凸函數的性質

定理5 設I?(0,+∞),f(x)是定義在I上的正值函數。

ⅰ) 若f(x)為I上嚴格遞增的rP-凸函數,則當r>0時,f(x)在I上是HMr+-凸函數;當-1≤r<0時,f(x)在I上是HMr--凸函數。

ⅱ) 若f(x)為I上嚴格遞減的rP-凸函數,則當r≤-1時,f(x)在I上是HMr--凸函數。

ⅲ) 若f(x)為I上嚴格遞增的rP-凹函數,則當r≤-1時,f(x)在I上是HMr--凹函數。

ⅳ) 若f(x)為I上嚴格遞減的rP-凹函數,則當r>0時,f(x)在I上是HMr+-凹函數。 當-1≤r<0時,f(x)在I上是HMr--凹函數。

證明 只證ⅰ),同理可證ⅱ),ⅲ),ⅳ)。

因為f(x)是I上嚴格遞增的rP-凸函數,所以

故f(x)是I上的HMr+凸函數。

當-1≤r<0時,同樣地可證明f(x)是I上的HMr--凸函數。

定理6 設I,D?R+,f:I→D,且f(I)=D,那么

ⅰ) 若y=f(x)為I上嚴格遞增的HM-凹函數,則當r>0時,其反函數y=f-1(x)為D上的HMr+-凸函數;當-1≤r<0時,其反函數y=f-1(x)為D上的HMr--凸函數。

ⅱ) 若y=f(x)為I上嚴格遞增的HM-凸函數,當r≤-1時,其反函數y=f-1(x)為D上的HMr--凹函數。

證明 只證ⅰ),同理可證ⅱ)。

設f(x)是I上嚴格遞增的函數,則f(x)在I上的反函數y=f-1(x)亦為D上的嚴格遞增函數。

?y1,y2∈D,?x1,x2∈I,使x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),即y1=f(x1),y2=f(x2)。

當r>0時,因為y=f(x)是I上的MH-凹函數,所以,?x1,x2∈I及?t1,t2∈[0,1],有

所以,由y=f-1(x)在D上的嚴格遞增性和(7)式,得

故y=f-1(x)為D上的HMr+-凸函數。

當-1≤r<0時,同樣地可證明y=f-1(x)為D上的HMr--凸函數。

定理7 設B?I?R+,A?R+,f:I→R+,μ:A→B,則

ⅰ) 如果y=f(u)是I上的嚴格遞增rP-凸函數,u=μ(x)是A上的HM-凸函數,那么y=f(μ(x))是A上的HM-凸函數;

ⅱ) 如果y=f(u)是I上的嚴格遞減rP-凸函數,u=μ(x)是A上的HM-凹函數,那么y=f(μ(x))是A上的HM-凸函數;

ⅲ) 如果y=f(u)是I上的嚴格遞增rP-凹函數,u=μ(x)是A上的HM-凹函數,那么y=f(μ(x))是A上的HM-凹函數;

ⅳ) 如果y=f(u)是I上的嚴格遞減rP-凹函數,u=μ(x)是A上的HM-凸函數,那么y=f(μ(x))是A上的HM-凹函數。

證明 只證ⅰ),同理可證ⅱ)、ⅲ)、ⅳ)。

故y=f(μ(x))為A上的HM-凸函數。

3 HM-凸函數的Jensen型不等式

證明 設g(x)=(f(x-1))r(x∈I-1),

由于x∈I-1時x-1∈I,x∈I時x-1∈I-1,且r>0,所以

當r<0時,根據定理2(ⅱ)同樣地可以證明定理成立。

若f(x)為I上的HMr+-凹函數,則證明中的不等號反向,即定理8的后半部分成立。

[1]張天宇,荷花,冀愛萍.關于調和凸函數的一些性質[J].內蒙古民族大學學報:自然科學版, 2006,21(4):361-363.

[2]陳少元.HG-凸函數及其Jensen型不等式[J].數學的實踐與認識, 2013,43(2):257-264.

[3]宋振云.HA-凸函數及其Jensen不等式[J].德州學院學報, 2014,30(4):16-21.

[4]吳善和.rP-凸函數與琴生不等式[J].數學的實踐與認識, 2005,35(3):220-228.

[5]匡繼昌.常用不等式[M].4版.濟南:山東科學技術出版社, 2010:53-63.

HM-convex function and its Jensen-type inequality

SONGZhenyun

(School of Mechanical & Electrical Engineering, Hubei Polytechnic Institute, Xiaogan 432000, China)

The convex function belongs to a special category of functions.Since its irreplaceable application within recent years, the convex function study becomes attractive, while different categories of convex functions are brought forward, especially the brilliant convex function determined by dual parameters for two variables power means within a certain section.Considering promotion issues of the harmonic convex function, HG-convex function and HA-convex function determined by arithmetic means, geometric means and harmonic means within a certain section, this article gives the determination of HM-convex function, discusses its judgment method and the corresponding judgment theorem, and analyzes its convexity features by systematically studying its convexity attribute.The author finally comes to several convexity properties of HM-convex function, and sets up the Jensen-type inequality of HM-convex function and the equivalent form.

HM-convex function; judgment theorem; property; Jensen-type inequality

2014-04-20。

湖北省教育科學“十二五”規劃項目(2013A054)。

宋振云(1958-),男,湖北孝感人,湖北職業技術學院教授。

1673-5862(2015)01-0023-05

O178.1

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.01.006