非連續非擬凹博弈的Nash均衡存在性

張婧宇, 侯吉成

(北京信息科技大學 理學院, 北京 100192)

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非連續非擬凹博弈的Nash均衡存在性

張婧宇, 侯吉成

(北京信息科技大學 理學院, 北京 100192)

法國數學家Rabia Nessah于2011年提出了一個Nash均衡存在性定理。該定理證明了對于一個有界的、緊的并且擬凹的廣義弱轉移連續博弈,一定存在一個Nash均衡。為了提高Nessah的定理的普遍適用性,減弱定理的條件,通過構造一個衡量擬凹程度大小標準的函數,引入了一個新的弱轉移連續函數的概念,減弱了Nessah的定理對支付函數擬凹性的設定,并在此基礎上得到了一個在非擬凹條件下,判斷Nash均衡是否存在的新的定理,結果一般化了Nessah的定理。為尋找Nash均衡增加了新的理論基礎和新的方向。

Nash均衡; 廣義弱轉移連續;α弱轉移連續; 擬凹性

0 引 言

研究均衡點的存在性是博弈論的首要問題。1951年,諾貝爾經濟學獎獲得者Nash對非合作博弈給出了一個均衡點的存在性定理(現在被稱為Nash均衡存在性定理)。此后,許多作者建立了許多關于這個定理的更一般形式,但是在這些結論中,都假設了策略空間的凸性,支付函數的連續性和凹性,而這些都是非常強的條件,很多情況下難以滿足。

本文主要的目的是去掉非連續博弈Nash均衡存在性定理中擬凹性的假定。近年來,很多文章都致力于減弱博弈中支付函數的連續性條件,如Baye等[1](1993);Tian[2](1995);Reny[3](1999);Bagh等[4](2006);Barelli等[5](2009);Carmona[6](2009);Nessah等[7](2009);McLennan等[8](2011)、Carmona[9](2011)和Nessah[10](2011)。但是,盡管經濟問題中實際博弈模型有許多不滿足擬凹性,但只有很少的研究者在探討如何減弱甚至去掉擬凹性假定,特別是對于非連續博弈。

本文為了在比較弱的連續性條件下去掉擬凹性條件,通過使用Philippe在文獻[11]中介紹的定量刻畫擬凹性的函數ρi:X→R引入一個α弱轉移連續函數的概念,然后利用它給出了一個新的沒有擬凹性條件的Nash均衡存在性定理。本文的結果一般化了Nessah的定理(文獻[10]的定理3.2)。

1 預備知識

如果S是一個集合,則〈S〉表示S的所有非空有限子集構成的集合。設X是一個凸集,f:X→R是一個函數,如果對于任意的x1,x2∈X和任意的λ∈[0,1],都有f(λx1+(1-λ)x2)≥min{f(x1),f(x2)},則稱f:X→R是擬凹的[13]。

對所有的xi∈Xi都成立,則稱x*是此博弈G的一個Nash均衡點。

定義2[14]如果每個局中人i的純策略集Xi是非空的、緊的、凸的,則稱博弈G是緊的。

定義3[15]如果對于任意的i和任意的x-i∈X-i,定義在Xi上的函數ui(?,x-i)是擬凹的,即對任意的x-i∈X-i,函數xiui(xi,x-i)在Xi上是擬凹的,則稱博弈G是擬凹的。

定義4[10]如果集值映射C:X→Y是非空、緊值、上半連續的,則稱C是行為良好的。

2 衡量擬凹性的標準

為將擬凹性條件減弱,Philippe在文獻[11]中引入的一個衡量擬凹程度大小的標準。

為了介紹筆者的結果,下面介紹由Philippe在文獻[11]中給出的一個引理和一個定理。

引理1[11]1)ρf≥πf≥0;

2) 若f是有界的,那么ρf也是有界的;

3)f是擬凹的,當且僅當對任意的x∈Y,有ρf(x)=0。

為了更好地理解,介紹下面一個例子。

圖1 非擬凹函數和擬凹程度函數

如圖1所示,在x∈(0,x0)時有

在x∈(x0,x1)時與上面同理有

在x∈(x1,x2)時有

ρ(x)=π(x)=0。

定義5[11]對于每一個i=1,…,n,按照下述,定義ρi:X→R

對于任意的x∈X。顯然ρi:X→R是上半連續的。

注:根據引理1,如果G=(Xi,ui)i∈I是擬凹的,那么對于任意的x∈X都有ρi(x)=0,因此這時定義6歸于文獻[10]的定義3.2并且被稱為廣義弱轉移連續的。

3 主要結論

定理2 如果博弈是有界的、緊的、并且是α弱轉移連續的,那么它一定存在一個Nash均衡點。

為了證明定理2,先給出下面的引理。

證明 1) 設x∈X是G的一個Nash均衡點,那么對每一個i都有

對每一個yi∈Xi都成立。令{z1,…,zn}∈〈Xi〉和yi∈co{z1,…,zn},有

由定理1可知

由定理1,知

下面給出定理2的證明。

又因為

4 結 語

本文通過引入了一個衡量擬凹程度大小標準的函數,給出一個新的弱轉移連續函數的概念,得到了一個新的Nash均衡存在性定理,減弱了擬凹性的假設,為尋找Nash均衡給出了新的方向。

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[15]MUNKRESSJR.拓撲學[M].熊金城,譯.北京:機械工程出版社, 2006.

Existence of Nash equilibrium in discontinuous and non quasiconcave games

ZHANGJingyu,HOUJicheng

(School of Applied Science, Beijing Information Science & Technology University, Beijing 100192, China)

In 2011, the French mathematician Rabia Nessah proposed a Nash equilibrium existence theorem.The theorem has proved that a bounded, compact quasiconcave and generalized weak transfer continuous game has a Nash equilibrium certainly.In order to improve universal applicability of the Nessah’s theorem and reduce the theorem’s conditions, the author introduces a new concept called asα-weakly transfer continuous to reduce the assumption of quasicancavity of payoff functions in Nessah’s theorem by constructing a new function of measuring the degree of quasiconcavity.On this basis the author obtains a new theorem of the existence of Nash equilibrium under the condition of nonquasiconcavity.The result generalizes Nessah’s theorem mentioned above.It adds a new theoretical basis and direction for looking for Nash equilibrium.

Nash equilibrium; generalized weakly transfer continuous;α-weakly transfer continuous; quasiconcavity

2014-06-07。

國家自然科學基金資助項目(11271178)。

張婧宇(1991-),女(滿族),內蒙古通遼人,北京信息科技大學碩士研究生; 通信作者: 侯吉成(1963-),男,吉林九臺人,北京信息科技大學教授,博士,碩士研究生導師。

1673-5862(2015)01-0043-04

O225

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.01.010