行列式在解析幾何中的應用

王紫萍

（貴州財經大學數學與統計學院，貴州 貴陽550025）

行列式是為表達n元線性方程組的一般解而引入的，有了行列式線性方程組的解就可通過簡化的形式表示出來。本文就是根據行列式的這一特點，把行列式應用于幾個解析幾何問題的求解中，使這些問題的解可以用有規律的行列式表示出來。

在解析幾何中，如果已知三角形三個頂點的坐標，求該三角形的面積；已知圓上三個點的坐標，求該圓的圓心；已知一個四面體的四個頂點坐標，求該四面體的體積；已知球上四個點的坐標，求該圓心的坐標，這幾個問題用解析幾何方法來求解是比較復雜的，下面通過行列式得到這這四個問題有規律的求解公式，這樣上面的問題就轉化為行列式的計算了。

公式一：已知三角形的三個頂點A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，則 三 角 形ABC的 面 積的絕對值.

證明：(如圖1)把三角形ABC看成空間中在平面XOY面上的三角形

圖1

公式二：已知四面體四個頂點A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z4)則該四面體的體積為：的絕對值

證明：由向量混合積的定義及立體幾何中四面體與相應的平行六面體的體積的關系，見[1]的絕對值

而

故公式二得證。

公式三：已知平面圓上三點A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，則圓心坐標為：

證明：由圓的方程(x-a)2+(y-b)2=R2可知在一般方程2ax+2by+c=x2+y2中(a,b)為圓心坐標，把已知三點坐標代入一般方程：

由Gramer法則解上面的方程組得圓心的橫坐標公式如上,同理得圓心的縱坐標公式。

公式四：已知球上不共面四點A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z4)，其球心O(x y z)可按下列公式求得

證明：由球面方程(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2可知在

一般方程中2ax+2by+2cz+g=x2+y2+z2(a,b,c)為球心坐標把四點坐標代入一般方程：

用Gramer法則解該線性方程組類似公式三的處理即可求得球心坐標公式如上。

以上四個公式中行列式的坐標排列均是有規律的，這樣有了點的坐標后由這些點組成圖形的三角形的面積、四面體的體積、圓的圓心和球的球心就可方便地代入以上公式中進行求解了。

［1］居余馬,等.線性代數[M].2版.北京：清華大學出版社,2002.

［2］同濟大學數學教研室,主編.高等數學[M].4版.北京：高等教育出版社,2002.