Delta機(jī)器人的誤差分析

殷盛江，于復(fù)生，孫中國，李騰飛

(1.山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250101;2.山東省高校機(jī)械工程創(chuàng)新技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東濟(jì)南 250101)

0 前言

并聯(lián)機(jī)器人在諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，近幾年來，許多研究人員在此類機(jī)器人的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與運(yùn)動學(xué)分析方面做了大量的工作［1－6］。誤差分析對于提升機(jī)器人工作性能和品質(zhì)有著重要意義，針對此類少自由度并聯(lián)機(jī)器人，劉密英等［7］給出了一種機(jī)械結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)精度的通用計(jì)算法，建立了對應(yīng)的誤差模型，進(jìn)行了誤差分析;李寧寧等［8］通過模擬仿真分析了結(jié)構(gòu)誤差及相關(guān)誤差對精度的影響;劉紅軍等［9］基于四自由度機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析，利用攝動法建立了相應(yīng)的誤差模型。這些研究從算法和運(yùn)動學(xué)分析的角度對機(jī)構(gòu)誤差進(jìn)行了分析。文中介紹了Delta機(jī)器人的機(jī)械造構(gòu)及造成其位置偏差的誤差源，對機(jī)械結(jié)構(gòu)和機(jī)器視覺部分進(jìn)行了詳細(xì)的誤差分析。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

該拾取機(jī)構(gòu)為Delta機(jī)器人，主要由上固定平臺、六根機(jī)械臂、下運(yùn)動平臺組成，由伺服電機(jī)驅(qū)動。Delta機(jī)械手下側(cè)可安放諸如傳送帶等傳送裝置來輸送產(chǎn)品，通過機(jī)器視覺識別傳送帶上的產(chǎn)品，下運(yùn)動平臺上安裝有吸盤或機(jī)械手，可吸取或抓取傳送帶上的產(chǎn)品。

圖1 機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖

上固定平臺下方圓周均勻分布3個電機(jī)支架彼此成對稱分布，電機(jī)支架上安裝有伺服電機(jī)，伺服電機(jī)軸端與電機(jī)接頭相連，電機(jī)接頭另一端與大臂相連接，大臂下端通過球鉸接與小臂相連，小臂另一端與下運(yùn)動平臺通過球鉸接相連接，下運(yùn)動平臺與上固定平臺相平行，下運(yùn)動平臺在不同高度上平動。當(dāng)Delta機(jī)器人拾取物體時，控制系統(tǒng)控制伺服電機(jī)，伺服電機(jī)帶動大臂轉(zhuǎn)動一個角度，小臂隨著上升和偏移，進(jìn)而帶動下運(yùn)動平臺的平動。

2 誤差源

Delta機(jī)器人通過伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動的角度θ1，θ2，θ3帶動與之相連接的大臂旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而通過大臂帶動小臂的旋轉(zhuǎn)，小臂的下方裝有與上固定平臺平行的下運(yùn)動平臺，通過相關(guān)位置正解或反解求出下運(yùn)動平臺的幾何中心點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)為(px，py，pz)T，經(jīng)過相關(guān)分析影響這些測量數(shù)據(jù)的誤差源主要有:

(1)伺服電機(jī)的旋轉(zhuǎn)角度誤差，即編碼器的固有誤差、計(jì)數(shù)誤差等。這與伺服電機(jī)的精度有關(guān)，每轉(zhuǎn)發(fā)出的脈沖越多，則伺服電機(jī)旋轉(zhuǎn)的角度越精確。

(2)機(jī)械結(jié)構(gòu)的加工誤差及安裝誤差，在設(shè)計(jì)機(jī)械結(jié)構(gòu)時，基于成本或其他因素考慮，設(shè)有一定的余量，連桿理論值應(yīng)為L，但實(shí)際值卻為L±Δl，在安裝時，理想情況下是上下兩個平面是平行的，但實(shí)際中卻存在著一個角度δθ，造成抓取位置的偏移。這一部分的誤差余量，必須加以考慮。

(3)機(jī)器視覺識別誤差，CCD采集的圖像越接近于邊緣，越失真。采集圖像時，CCD固定在支架上，以俯視的方式采集圖像，這種方式失真較大。CCD采集的圖像都存在著球差，必須采用相應(yīng)的補(bǔ)償措施。

3 模型的建立

3.1 運(yùn)動學(xué)相關(guān)方程

圖2 Delta機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖

以上固定平臺的幾何中心O為原點(diǎn)，外接圓半徑為R，建立O－XYZ坐標(biāo)系。下運(yùn)動平臺幾何中心點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)為(px，py，pz)T，外接圓半徑為r，上固定平臺上△A0A1A2，下運(yùn)動平臺△C0C1C2都為正三角形。在運(yùn)動過程中，下運(yùn)動平臺相對于上固定平臺實(shí)現(xiàn)三維的平動。

根據(jù)幾何關(guān)系，在矢量閉環(huán)OPCiBiAiO中，存在以下矢量關(guān)系:

3.2 機(jī)械部分誤差分析

機(jī)械部分影響其精度的主要因素有:并聯(lián)機(jī)構(gòu)的伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動角度θ1，θ2，θ3。6根連桿長度l11，l12，l21，l22，l31，l32。

設(shè)運(yùn)動學(xué)方程為:

存在以下公式:

可近似得到下運(yùn)動平臺的幾何中心點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)的系統(tǒng)誤差:

那么點(diǎn)P的實(shí)際坐標(biāo)為:y=y0－Δy

式中:y0為該點(diǎn)的測得值;Δy為該點(diǎn)的測量誤差。

如果在理想的不存在任何誤差的情況下，那么每次的測量值應(yīng)為確定值，記錄的曲線為一直線;如果有隨機(jī)誤差存在，測量值在算術(shù)平均值兩側(cè)波動;若存在的系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差，那么數(shù)據(jù)的變化趨勢取決于系統(tǒng)誤差的變化，可以根據(jù)以下幾種方法，來發(fā)現(xiàn)和辨別系統(tǒng)誤差。

(1)將所測得數(shù)據(jù)求出算術(shù)平均值，將數(shù)據(jù)對應(yīng)的偏差，按測量順序依次排列，如果偏差的變化是有規(guī)律的，那么數(shù)據(jù)中一定含有按照周期性變化的系統(tǒng)誤差。

(2)測量值呈現(xiàn)規(guī)律性變化，如測量值逐漸增大或減小，那么存在著線性系統(tǒng)誤差。如果沿水平方向，測量值按復(fù)雜規(guī)律變化，間隔一段數(shù)據(jù)減小或增大，一定存在復(fù)雜系統(tǒng)誤差。

(3)用正態(tài)概率紙判斷。正態(tài)概率紙橫坐標(biāo)是等距離的刻度，縱坐標(biāo)是正態(tài)分布的刻度。數(shù)據(jù)的值作為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為出現(xiàn)的頻數(shù)。如果各點(diǎn)均勻分布，那么只有隨機(jī)誤差，不均勻分布的話，一定存在系統(tǒng)誤差。

對點(diǎn)P的坐標(biāo)進(jìn)行多次測量時，并不是完全就是在一個點(diǎn)上，說明Delta機(jī)器人存在著隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差是用表征其值分散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來評定的。隨機(jī)誤差可以有很多種，如連桿之間的摩擦、間隙、環(huán)境造成的影響等。

函數(shù)的一般形式為:y=f(x1，x2，x3，…，xn)

對連桿摩擦x1、連桿間隙x2、環(huán)境影響x3進(jìn)行N次測量，其相應(yīng)的隨機(jī)誤差為:

對x1:δx11，δx12，…，δx1N

對x2:δx21，δx22，…，δx2N

對x3:δx31，δx32，…，δx3N

可得點(diǎn)P的坐標(biāo)的隨機(jī)誤差為:

將上式平方相加得:

可得方差為:

平方差為:

當(dāng)測量過程中存在各種不同性質(zhì)的誤差時，需要將其綜合考慮，求得最后測量結(jié)果的總誤差，常用極限誤差或標(biāo)準(zhǔn)差來表示。

在Delta機(jī)器人中，已定的系統(tǒng)誤差為l11，l12，l21，l22，l31，l32，未定的系統(tǒng)誤差θ1，θ2，θ3，隨機(jī)誤差x1，x2，x3，那么它們的誤差值或誤差極限分別為:

測量結(jié)果總的極限誤差為:

式中:R為各個誤差間協(xié)方差之和;

t為各單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù);

ai為各個誤差傳遞系數(shù);

ρij為誤差間相關(guān)系數(shù)。

表1 像素轉(zhuǎn)化的實(shí)際距離

3.3 機(jī)器視覺部分誤差

機(jī)器視覺在日常生活中被廣泛應(yīng)用于測繪、測量和控制。CCD采集的圖像，一般帶有球差、慧差、像散和畸變等像差。對圖像造成失真影響最大的為球差。球差是由于電磁透鏡中心區(qū)域和邊緣區(qū)域?qū)﹄娮訒勰芰Σ煌斐傻?。下面就球差對Delta機(jī)器人抓取位置的誤差進(jìn)行分析。

不同高度的平行入射光經(jīng)過透鏡折射后，相交于不同的位置。在焦點(diǎn)F1附近做兩個截面L1，L2。可計(jì)算得到不同的高度入射光對應(yīng)焦點(diǎn)的位置:

式中:D為兩個截面L1，L2之間的距離，當(dāng)入射高度為Hn時，球差為δL=Dn2－Dn1。

圖3 CCD誤差原理圖

由上式可知，測量誤差取決于兩個截面L1，L2之間的距離D和截面與焦點(diǎn)之間的距離dn1，dn2。

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞原理，球差測量標(biāo)準(zhǔn)誤差可表示為:

式中:Δdn1，Δdn2，ΔD分別為dn1、dn2和D的測量誤差。

CCD采集的圖像，一般帶有球差、慧差、像散和畸變等像差。隨著CCD和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，光學(xué)圖像處理數(shù)字化已成為必然的趨勢。ZEMAX是一個綜合性的光學(xué)設(shè)計(jì)仿真軟件，它將設(shè)計(jì)概念、優(yōu)化、分析、公差以及報(bào)表整合在一起。對于分析CCD造成的球差，慧差等像差非常便捷，如圖4所示。

圖4 ZEMAX分析界面

文中采用方格法進(jìn)行機(jī)器視覺球差的誤差處理，進(jìn)行CCD的標(biāo)定，具體分析球差造成的影響。

相關(guān)參數(shù)為:

攝像頭像素:1280像素×1024像素

方格紙小方格:5 mm×5 mm

攝像頭中心坐標(biāo):640像素×513像素

測得數(shù)值如表2所示。

表2 每50 mm實(shí)際距離像素變化

攝像頭1 024像素時，轉(zhuǎn)化為距離理論上應(yīng)為387.878 mm，而實(shí)際測得距離卻為410 mm，相差為22.12 mm，即為CCD球差造成的影響。

以方格紙的實(shí)際距離為X軸，以像素轉(zhuǎn)化的距離為Y軸，如果不存在球差，那么連線應(yīng)為45°的直線，實(shí)驗(yàn)測得數(shù)據(jù)如表1所示。

如圖5所示，可以看出隨著實(shí)際距離的增大，球差越來越大，對于下運(yùn)動平臺的抓取位置影響也越大。

圖5 像素距離與實(shí)際距離偏差

4 結(jié)論

Delta機(jī)器人拾取物體位置時，造成誤差出現(xiàn)的原因千差萬別，它的存在對于機(jī)構(gòu)的定位影響很大。文中在描述Delta機(jī)器人的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地介紹了造成Delta機(jī)器人位置偏差的誤差源，通過分離變量的方法，對機(jī)械結(jié)構(gòu)和機(jī)器視覺部分進(jìn)行了誤差的單獨(dú)分析與組合分析，給出了詳細(xì)的誤差分析公式，為Delta機(jī)器人的誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)。

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