杠桿的動態平衡問題例析

張忠飛

杠桿的動態平衡問題，因題目條件的各種不同表述，顯得極為繁雜。但其實，只要抓住杠桿平衡問題的關鍵——杠桿的平衡條件F1l1=F2l2作為判斷依據，便可分析杠桿平衡條件中的力、力臂的變化類型及變化趨勢，使杠桿動態平衡問題迎刃而解。本文將列舉幾組典型例題，將之分為再平衡和不再平衡兩類，以杠桿的平衡條件F1l1=F2l2作為根本方法，對例題進行一一解析，幫助同學們突破杠桿動態平衡的難點。

一、再平衡問題

1.單一力不變

【例題】 如圖1，重為G的均勻木棒豎直懸于O點，在其下端施一水平拉力F，讓木棒緩慢轉到圖中虛線所示位置。在轉動的過程中（ ）。

A. 動力臂逐漸變大

B. 阻力臂逐漸變小

C. 動力F逐漸變大

D. 動力F逐漸變小

解析：杠桿在轉動過程中，一直保持平衡狀態，從圖2可以看出，F2（G）不變，l2變大，l1變小，根據杠桿平衡條件F1l1=F2l2，則F1（F）變大。故答案為C。

小結：從題目條件中找出，杠桿再次平衡時，平衡條件中的不變量為阻力G；變量阻力臂l2變大，動力臂l1變小，從而可知動力F的變化趨勢。

【變式】如圖3所示，輕質杠桿一端因受始終在水平方向上的力F作用而被逐步抬起，在此過程中F及力臂的大小變化分別是（ ）。

A. 變大、變大 B. 變大、變小

C. 變小、變大 D. 變小、變小

解析：杠桿抬起至水平的過程中始終保持平衡狀態，從圖4可以看出，F2（G）不變，阻力臂l2變大，動力臂l1變小，由杠桿平衡條件，知F1（F）變大。故答案為B。

2.單一力、力臂不變

【例題】如圖5所示，有一質量不計的長木板，左端可繞O點轉動，在它的右端放一重為G的物塊，并用一豎直向上的力F拉著，當物塊向左勻速滑動時，木板始終在水平位置保持靜止，在此過程中，拉力F（ ）。

A. 變小 B. 變大

C. 不變 D. 先變大后變小

解析：物塊運動時，杠桿一直保持平衡狀態，從圖6可以看出，l1、F2（G）不變，l2變小，由杠桿平衡條件，得F1（F）變小。故答案為A。

【變式1】如圖7所示，杠桿OA的B點掛著重物G，A端用細繩掛在圓弧EF上，此時OA恰成水平，且A點與圓弧形架EF的圓心重合。當繩AM的M端從E點緩慢滑到F點的過程中，繩對A點拉力的大小將（ ）。

A. 逐漸變大 B. 逐漸變小

C. 先變大再變小 D. 先變小再變大

解析：繩AM從E點滑到F點時，杠桿一直保持平衡狀態，從圖8可看出，l2、F2（G）不變，l1先變大后變小，由杠桿平衡條件F1l1=F2l2知，F1（F）先變小后變大。故答案為D。

【變式2】如圖9所示，直桿OA可O繞點轉動，直桿下端掛一重物G。現用一個始終跟直桿垂直的力F將直桿由豎直位置緩慢轉動到水平位置，在轉動過程中這一直桿（ ）。

A. 始終是省力杠桿

B. 始終是費力杠桿

C. 先是費力杠桿，后是省力杠桿

D. 先是省力杠桿，后是費力杠桿

解析：杠桿從豎直位置緩慢轉動到水平位置，始終保持平衡狀態，從圖10中可以看出，不變量為阻力F2（G）和動力臂l1，變量阻力臂l2變大，由杠桿平衡條件得F1l1=F2l2，從而可知動力F從0開始逐漸增大，當0≤FG時，為費力杠桿。故答案為D。

二、不再平衡問題

1. 力臂變化引起動態變化（動力、阻力不變，動力臂、阻力臂同時改變）

【例題】如圖11所示，杠桿上分別站著大人和小孩（G大人>G小孩），且在水平位置平衡，杠桿自重不計，如果兩人同時以大小相等的速度向支點移動，則杠桿將（ ）。

A. 不能平衡，小孩那端下沉

B. 不能平衡，大人那端下沉

C. 仍能平衡

D. 條件不夠，無法判斷

解析：方法1，設力臂均減小a，以杠桿平衡條件F1l1=F2l2作為判斷依據，分析知，其中動力F1（G大人）、阻力F2（G小孩）不變，因為G大人>G小孩，即F1>F2，所以l1F2，所以F1a>F2a，故F1′l1′

方法2，用極端情況來分析，因為l1

故答案為A。

小結：以杠桿平衡條件作為杠桿平衡與否的判據，當符合“動力F1、阻力F2不變，動力臂l1、阻力臂l2同時改變”的題型時，必將要分析變化后F1l1′和F2l2′的大小，若F1l1′F2l2′，則杠桿向F1一端下沉。

【變式】如圖12所示，杠桿處于平衡狀態，如果將物體A和B同時向靠近支點的方向移動相同的距離，下列判斷正確的是（ ）。

A. 杠桿仍能平衡

B. 杠桿不能平衡，左端下沉

C. 杠桿不能平衡，右端下沉

D. 無法判斷

解析：此變式的條件與前一道例題其實是一樣的，同學們自己用前面介紹的兩種方法解解看。答案為C。

2.力的變化引起動態變化（動力臂l1、阻力臂l2不變，動力F1、阻力F2同時改變）。

【例題】如圖13，若一根杠桿兩端放有兩截蠟燭，原來杠桿平衡，過一段時間后，兩截蠟燭都燃燒掉一段，此時杠桿（ ）。

A. 仍保持平衡 B. 順時針轉動

C. 逆時針轉動 D. 無法判斷

解析：兩截蠟燭燃燒了相同的時間，即兩者質量減少相等，重力變化也相等。方法1，設重力均減小a，以杠桿平衡條件F1l1=F2l2作為判斷依據。分析知，其中動力臂l1、阻力臂l2不變，且l1F1。因此變化后，F′1=F1-a，F2′=F2-a；F1′l1′=（F1-a）l1=F1l1-al1，F2′l2′=（F2-a）l2=F2l2-al2。因al1F2′l2′，即，杠桿向F1那端下沉，體現在圖中，即為逆時針轉動。

方法2，把時間延長至極端情況來分析，可知右側蠟燭會先燃盡，此時F2l2=0，杠桿必定會向左側蠟燭一端下沉。

故答案為C。

小結：以杠桿平衡條件作為杠桿平衡與否的判斷依據，當符合“動力臂、阻力臂不變，動力、阻力同時改變”的題型時，必將要分析變化后F1′l1′與F2′l2′的大小。若F1′l1>F2′l2，則杠桿向F1一端下沉；若F1′l1

【變式1】如圖14所示，每個鉤碼的重量都相等，杠桿處于平衡狀態，若在杠桿兩邊的鉤碼下各再加一個相同的鉤碼，則杠桿（ ）。

A. 仍保持平衡

B. 向A端下降

C. 向B端下降

D. 因力臂長短不知，無法判斷

解析：設力均增加a，以杠桿平衡條件[F1l1=F2l2]作為判斷依據，分析知，其中動力臂[l1]、阻力臂[l2]不變。[F1>F2]，故[l1]<[l2]，而F1′l1′=F1′l1=（F1+a）l1=F1l1+al1，F2′l2′=F2′l2=（F2+a）l2=F2l2+al2，所以F1′l1′

【變式2】在輕質的杠桿兩端AB各掛有體積相同的銅塊和鋁塊（ρ銅>ρ鋁）。支點O在如圖15所示的位置時，杠桿在水平位置保持平衡，在下列情況下杠桿仍能在水平位置保持平衡的是（ ）。

A. 在銅塊和鋁塊上各加一塊質量相等的物體

B. 將銅塊和鋁塊各切去體積相同的一小部分

C. 將銅塊和鋁塊同時向支點移動一段相同的距離

D. 將銅塊和鋁塊同時浸沒在水中

解析：由前面的例題及變式，可以總結出一個規律：原來平衡的杠桿，在F1≠F2，l1≠l2的情況下，不管是以相等的量改變力還是力臂，杠桿均不能再保持平衡，具體證明同學可以用杠桿平衡條件[F1l1=F2l2]為依據自己推算。

故A、C、D項可先被排除。

B項，已知V銅=V鋁=V0，由題意可知，F銅l銅=F鋁l鋁，即V0[ρ]銅l銅=V0[ρ]鋁l鋁，得出[ρ]銅l銅=[ρ]鋁l鋁。當銅塊與鋁快各切去體積相同的一部分V時，F′銅=（V0-V）[ρ]銅，F′鋁=（V0-V）[ρ]鋁，F′銅l銅=（V0-V）[ρ]銅l銅，F′鋁l鋁=（V0-V）[ρ]鋁l鋁，（V0-V）是相同的項，而[ρ]銅l銅=[ρ]鋁l鋁，故F′銅l銅=F′鋁l鋁，即杠桿仍保持平衡，故B是正確的。