部件級多組件結構系統的整體式拓撲布局優化

張衛紅*,郭文杰,朱繼宏

西北工業大學 工程仿真與宇航計算技術實驗室,西安 710072

結構拓撲優化設計技術經過近30年的發展和完善,在理論方法和應用層面都取得了顯著的成就[1-4],已成為飛行器結構設計中減輕重量、提高性能的關鍵手段之一。在飛行器結構系統的設計過程中,為了滿足系統的綜合力學性能以及輕量化設計要求,需要同時考慮組件空間布局和結構構型的協調設計問題,如圖1所示,這一多組件結構系統整體式拓撲布局優化構成了結構設計領域的挑戰性難題[4]。

整體式拓撲布局優化的本質是實現組件的空間布局及其支撐結構構型的協同優化設計,如圖2所示,將組件從有效載荷轉化為承力件參與傳力路徑布局,實現整體式設計,是減輕重量、提高性能的有效手段。前期相關學者已開展了大量有益的工作,如Feng[5]和Zhang[6]等應用圖論、群論和全局優化算法開展了衛星艙體布局設計,尚未涉及到組件與支撐結構的協同設計；Qian和Ananthasuresh[7]提出了剛性組件的結構構型的協同優化；Zhu等[8-10]提出了多組件結構系統協同優化設計方法,采用有限包絡圓方法(FCM)近似描述組件外形,將幾何干涉約束轉化為包絡圓圓心之間的距離約束,解決了幾何干涉問題；Xia[11]、Zhang[12]、張維聲[13-14]以及 Kang[15]等基于Heaviside函數的材料插值方法、水平集方法以及擴展有限元方法(XFEM)描述組件幾何外形,結構拓撲構型及組件位置的更新可認為是材料屬性布局的更新。

圖1 典型多組件結構系統示意圖Fig.1 Illustration of a typical multi-component system

為進一步促進整體式拓撲布局優化設計方法在飛行器復雜結構系統設計中的應用,本文提出部件級多組件結構系統優化設計方法,如圖3所示,部件是整體框架結構構型中的一個特殊組件,不僅配合主框架結構起承載作用,還作為組件安裝支架連接多個組件。此時,部件級多組件系統的優化設計包含了部件布局、組件布局、主結構框架構型、部件結構構型這4類設計變量的協同設計。

圖2 多組件結構系統協同拓撲布局優化設計示意圖Fig.2 Illustration of integrated layout and topology optimization design of multi-component systems

圖3 部件級多組件結構系統協同拓撲布局優化設計Fig.3 Integrated layout and topology optimization design of multi-component system with assembly units

1 優化設計模型定義

1.1 基于多點約束的結構系統建模

多點約束(MPC)方法是有限元分析中用于建立連接約束的常用方法。本文中基于前期工作[16],在組件、部件及結構構型之間引入了多點約束使其保持連接。圖4給出了多點約束連接的有限元模型,深色部分表示組件,淺色部分表示支撐該組件的支撐結構。

圖4 多點約束連接的幾何模型和有限元模型Fig.4 Geometrical and finite element models of multi-point constraints(MPC)connections

如圖5所示,假設M1為組件上的一個連接節點,這個節點對應于支撐結構單元e1上的點,多點約束方程可以寫為

式中:uM1和分別為節點M1和點的位移矢量；ue1和()為單元e1的位移矢量和點處的形狀函數系數矩陣。

圖5 多點約束連接的定義Fig.5 Definition of MPC connections

值得一提的是,多點約束方程是節點位移的線性組合,多個多點約束方程和邊界條件方程可以統一寫為

式中:H為由結構單元的形狀函數、多點約束位置和邊界條件共同決定的系數矩陣；u為多組件結構系統的整體位移向量。

1.2 優化模型

考慮多點約束方程,修訂后的系統勢能可以寫為

式中:K為結構整體剛度矩陣；F和λ分別為節點載荷和拉格朗日乘子向量。駐點處的歐拉公式可以寫為

求解式(4)可以得到u和λ。

優化過程中,需要考慮部件布局、組件布局、主結構框架構型和部件結構構型這4類設計變量,因此,優化模型的數學表述可以寫為

式中:(xε,yε,θε)和(xκ,yκ,θκ)分別為描述組件ε和部件κ位置的幾何設計變量,包括平動及轉動坐標；ηi和ηj分別為主結構和部件結構設計域單元i和j的偽密度設計變量；nca、ncb、nda和ndb分別為組件數目、部件數目、主結構拓撲設計域單元數目和部件結構拓撲設計域單元數目；C為結構的總體應變能；V和VU分別為結構材料用量及其上限；Γε和Γκ分別為組件ε和部件κ所占區域；ΓD為主結構所包括的設計區域。組件和部件之間的非干涉約束采用有限包絡圓方法定義。

2 靈敏度求解

首先推導結構總體應變能對主結構框架構型、部件結構構型拓撲優化偽密度設計變量的靈敏度。式(4)兩端同時對偽密度設計變量求偏導可得

假設F=f+G,其中:f為設計無關載荷；G為設計相關載荷,如重力、慣性力、離心力等。設計無關載荷f對偽密度設計變量的靈敏度為0,因此式(6)可以簡化為

式(11)中設計相關載荷G和總體剛度矩陣K可根據材料質量和材料插值模型求得。結構總體位移向量u可以通過一次有限元分析得到。

應變能和平衡方程對平動幾何設計變量ξi求偏導,可以得到

假設ξi為第i個組件的平動坐標設計變量,則在有限元分析過程中組件平動不會影響總體剛度矩陣,即?K/?ξi=0,這樣式(14)就可以簡化為

如果ξi是第i個組件的轉動坐標設計變量,則當組件在有限元分析過程中發生轉動時,組件的剛度矩陣可以寫為

最終,系統總體應變能對轉動設計變量的靈敏度可以寫為

3 數值算例

3.1 含兩個部件的12組件結構系統

考慮如圖6所示尺寸為1.8 m×0.6 m×0.6 m的長方體薄壁通筒,通過翻邊與兩個標記為E和F、尺寸為0.6 m×0.6 m的薄壁部件建立多點約束連接。在標有A～D的通筒外壁和部件E和F上各安裝2個組件,編號1～12,初始位置如圖7所示。通筒側壁、組件、部件厚度均為0.01 m。為避免組件間幾何干涉,各組件幾何輪廓用有限包絡圓近似表述,如圖8所示。

圖6 結構系統初始工況Fig.6 Original condition of proposed system

圖7 組件初始位置布局Fig.7 Original position of each component

圖8 組件幾何模型及其有限包絡圓描述Fig.8 Geometric models and finite-circle definition of each component

材料屬性賦值如下:

薄壁通筒及部件,彈性模量E0=7×1010Pa、密度ρ0=2 700 kg/m3、泊松比ν0=0.3。

組件,彈性模量Ex=2×1011Pa、密度ρx=7 800 kg/m3、泊松比νx=0.3。

薄壁通筒側壁及部件上的材料用量上限均約束為40%。首先考慮不含組件的單一結構構型拓撲優化,如圖9所示,隨著優化迭代,側壁及部件上的材料分布逐漸清晰。經過約103次迭代目標函數收斂于0.089 J,如圖10收斂曲線所示。

隨后將組件安裝到該系統中,同時考慮組件及部件的位置設計,即部件可沿著薄壁通筒長邊平動,組件在各自安裝平面內移動。優化過程如圖11所示,組件和部件的位置均隨迭代進行而變動,與此同時,側壁及部件上的支撐結構材料布局也不斷更新。迭代初始,由于組件材料屬性較強,導致組件對優化目標更敏感,位置更新迅速；隨后,側壁及部件的支撐結構構型逐漸清晰,組件、部件位置也逐漸趨于穩定。優化結果中,部件E的位置從0.6 m變為0.410 m,部件F的位置從初始的1.2 m變為1.195 m?？梢?側壁及部件的材料分布、組件和部件的空間位置均找到了合適的布局,共同構成了整體式傳力路徑。目標函數經約89次迭代收斂于0.075 J,如圖12所示。

圖9 無組件系統優化歷史Fig.9 Iteration history of optimization design of system without component

圖10 無組件系統目標函數收斂曲線Fig.10 Convergence history of objective function of system without component

圖11 含組件系統優化歷史Fig.11 Iteration history of optimization design of system with components

圖12 含組件系統目標函數收斂曲線Fig.12 Convergence history of objective function of system with components

由以上算例可以發現,部件和組件的位置更新與結構系統的拓撲構型耦合影響,導致整體式設計與單一拓撲優化設計有明顯區別。最終布局優化結果并非組件、部件和結構拓撲的簡單疊加,而是多種因素匹配承載效果的體現。

3.2 慣性載荷作用下的8部件結構系統

圖13 8部件結構系統基本描述Fig.13 Basic definition of proposed 8 assembly units system

考慮如圖13所示長×寬×高為3 m×3 m×2 m的設備艙,上蓋板尺寸為4 m×4 m,8個部件通過支撐座安裝在設備艙內及其蓋板上,艙內被隔板均分為4部分。部件通過尺寸為0.8 m×0.5 m的矩形平面與上蓋板、下蓋板連接,安裝面通過4個角點附近的節點與上蓋板、下蓋板之間建立多點約束連接。設計變量包括設備艙所有壁板、部件支撐座的材料分布以及部件的位置布局。

分別約束下底板各角點及各邊中點。初始時,每個部件幾何中心距其所在蓋板中心的距離均為l0=1.05 m。考慮到設備的對稱性要求,每個組件僅沿其所在蓋板的對角線在給定范圍內移動。

材料屬性賦值如下:

壁板及支撐座,彈性模量E0=1.96×1011Pa、密度ρ0=2 050 kg/m3、泊松比ν0=0.3。

組件,彈性模量Ex=7×1010Pa、密度ρx=2 700 kg/m3、泊松比νx=0.3。

壁板及支撐座材料用量的上限約束為40%,仍然以結構總體應變能最小為目標進行優化。首先考慮系統在自身重力作用下的布局優化設計,如圖14所示,隨著優化迭代,壁板及支撐座材料布局逐漸清晰。經過約60次的迭代,優化目標收斂于0.115 56 J。此時上蓋板上4個組件幾何中心距上蓋板中心距離變為lup=1.10 m,艙內4個部件距離為lin=1.11 m。

圖14 不同視角下自身重力作用的優化歷史Fig.14 Iteration history under its own gravity from different viewpoints

繼續對上述結構施加豎直向上的加速度a=49 m/s2,其他條件不變。優化設計經過43次迭代收斂,最終目標函數數值為2.592 44 J,lup=1.10 m,lin=1.11 m,圖15給出了最終優化構型。

上述算例表明,當系統承受a=49 m/s2的加速度時,支撐結構較單純重力作用下時明顯得到加強,大量材料分布在靠近底端的支撐位置。圖16給出了以上2種工況下的目標函數收斂曲線。

圖15 a=49 m/s2作用下系統最終優化結果,C W=2.592 44 JFig.15 Final optimized results under acceleration a=49 m/s2,C W=2.592 44 J

圖16 兩種工況下目標函數收斂曲線Fig.16 Convergence curves of objective function under two different load steps

4 結 論

1)提出了部件級多組件結構系統整體式拓撲布局優化設計方法,對多組件結構系統進行了優化設計,拓展了多組件結構系統布局優化設計方法,使飛行器復雜部件結構系統的整體式優化設計成為可能。

2)通過數值算例深入分析,驗證了所提方法的正確性,實現了典型部件級多組件結構系統的布局優化設計,設計結果獲得了清晰的結構構型形式和新的組件、部件位置布局,這些設計因素共同構成了整體式傳力路徑樣式。

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