基于灰色馬爾可夫鏈模型的水質(zhì)預(yù)測(cè)

劉冰

摘要 GM（1，1）模型由于其原始數(shù)據(jù)的起伏性和無(wú)序性，預(yù)測(cè)結(jié)果不是很理想。針對(duì)這一情況，采用馬爾可夫鏈模型對(duì)GM（1，1）模型結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，并應(yīng)用該模型對(duì)太子河干流化學(xué)需氧量進(jìn)行預(yù)測(cè)。結(jié)果表明，應(yīng)用灰色馬爾可夫鏈模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，化學(xué)需氧量成逐年下降的趨勢(shì)，2012年實(shí)際化學(xué)需氧量為11.4 mg/L，結(jié)果在（9.97，12.59）的預(yù)測(cè)區(qū)間，說(shuō)明應(yīng)用灰色馬爾可夫鏈對(duì)水質(zhì)進(jìn)行預(yù)測(cè)是可行的。

關(guān)鍵詞 GM（1，1）；馬爾可夫鏈模型；水質(zhì)預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào) S181.3；X8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 0517-6611（2015）11-259-02

水質(zhì)預(yù)測(cè)是水環(huán)境研究的重要內(nèi)容，其目的是預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，是水環(huán)境管理、保護(hù)和治理的一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)性工作。目前，常用的預(yù)測(cè)方法主要有時(shí)間序列法、灰色系統(tǒng)模型法、回歸分析法、模糊分析方法、馬爾可夫鏈方法、小波分析方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等。在選擇了某種預(yù)測(cè)方法的同時(shí)，既接受了該方法的優(yōu)點(diǎn)，又默認(rèn)了該方法的缺點(diǎn)。灰色模型預(yù)測(cè)由于其原始數(shù)據(jù)的起伏性和無(wú)序性，且原始數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)有限，難以將預(yù)測(cè)帶限制在一個(gè)較小的范圍之內(nèi)，導(dǎo)致灰色預(yù)測(cè)模型在大多數(shù)情況之下是粗糙的[1]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者專家在灰色模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用馬爾可夫鏈模型對(duì)其結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，即用灰色模型預(yù)測(cè)曲線來(lái)反映其發(fā)展規(guī)律，用馬爾可夫鏈模型來(lái)反映波動(dòng)規(guī)律，給出預(yù)測(cè)值的大體范圍，兩者相結(jié)合能很好地解決實(shí)際問(wèn)題。筆者應(yīng)用灰色馬爾可夫鏈模型對(duì)太子河干流化學(xué)需氧量進(jìn)行水質(zhì)預(yù)測(cè)。

1 GM（1，1）模型

GM（1，1）模型是利用隨機(jī)過(guò)程中的潛在規(guī)律性建立灰色模型對(duì)灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，是基于GM模型作出的定量預(yù)測(cè)。目前常用的灰色模型包括GM（1，1）、GM（l，N）、GM（0，N）等。其中，GM（l，1）是基本預(yù)測(cè)模型，應(yīng)用最為廣泛。GM（1，1）模型的特點(diǎn)是利用單變量時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，將無(wú)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)生成后，使其變?yōu)檩^有規(guī)律的生成數(shù)列再建模[2]。

筆者采用2002～2011年太子河干流化學(xué)需氧量的年度均值作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，對(duì)化學(xué)需氧量進(jìn)行預(yù)測(cè)，以2012 年數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型。2002～2011年太子河化學(xué)需氧量各年度均值分別為22.7、24.2、25.5、22.4、22.4、22.7、17.3、16.3、11.9、11.4 mg/L。

設(shè)原始數(shù)據(jù)：X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））=（22.7，24.2，25.5，22.4，22.4，22.7，17.3，16.3，11.9，11.4）。

1.1 X（1）為X（0）的1-AGO序列X（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n））。

其中，x（1）（k）=ki=1x（0）（i），k=1，2，…，n。Z（1）為X（1）的緊鄰均值生成序列：

Z（1）=（z（1）（1），z（1）（2），…，z（1）（n））；

z（1）（k）=0.5（x（1）（k）+x（1）（k-1）），k=2，3，…，n）。

X（1）=（22.7，46.9，72.4，94.8，117.2，139.9，157.2，173.5，185.4，196.8）。

1.2 對(duì)X（1）作準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)由ρ=x（0）（k）x（1）（k-1），得ρ（2）≈1.066，ρ（3）≈0.54，ρ（4）≈0.31<0.5。

當(dāng)k>3時(shí)，準(zhǔn)光滑條件滿足。

1.3 檢驗(yàn)X（1）是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律由σ=x（0）（k）x（1）（k-1），得σ（1）（2）≈2.06，σ（1）（3）≈1.54，σ（1）（4）≈0.31。

當(dāng)k>3時(shí)，σ（1）（k）∈[1，1.5]，δ=0.5，準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足，可以對(duì)X（1）建立GM（1，1）模型。

1.4 確定數(shù)據(jù)矩陣B，Y

B=

-12[X（1）（1）+X（1）（2）]1

-12[X（1）（2）+X（1）（3）]1

……

-12[X（1）（N-1）+X（1）（N）]1

YN=[X（0）（2），X（0）（3），…，X（0）（N）]T

1.5 建立GM（1，1）模型的微分方程

dX（1）dt+aX（1）=u

記系數(shù)向量=[a，u]T，用最小二乘法原理對(duì)求解：=（BTB）-1BTYN。

參數(shù)a稱為發(fā)展系數(shù)，它反映X^（1）、X^（0）發(fā)展態(tài)勢(shì)。

1.6 GM（1，1）模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)

X^（1）（t+1）=X（0）（1）-uae-at+ua

計(jì)算可得：

X^（1）（t+1）=-318.08e（-0.088k）+340.78。

擬合結(jié)果見(jiàn)表1。

1.7 模型識(shí)別檢驗(yàn)由表1和表2[3]可知，化學(xué)需氧量的平均相對(duì)誤差為8.74%，為3級(jí)精度。用GM（1，1）模型預(yù)測(cè)化學(xué)需氧量，預(yù)測(cè)精度為3級(jí)，勉強(qiáng)合格，這就需要應(yīng)用馬爾可夫模型進(jìn)行修正預(yù)測(cè)。

2 灰色馬爾可夫模型步驟

該模型針對(duì)灰色數(shù)據(jù)序列首先建立GM（1，l）模型進(jìn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)，然后利用馬爾可夫狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣預(yù)報(bào)方法對(duì)其預(yù)測(cè)值進(jìn)行二次擬合，由GM（l，l）模型結(jié)果的一個(gè)預(yù)測(cè)數(shù)值，修正成為區(qū)間和概率組成的預(yù)測(cè)范圍，增加預(yù)測(cè)的可信性[4]。具體步驟如下：

2.1 建立GM（1，l）模型X^（1）（t+1）=-318.08e（-0.088k）+340.78。

2.2 劃分狀態(tài)根據(jù)GM（1，1）模型求出相應(yīng)的預(yù)測(cè)值X^（0）（k），然后求出殘差ε=X^（0）-X（0） ，殘差相對(duì)值為Δ=X^（0）-X（0）X（0）×100%。對(duì)殘差相對(duì)值進(jìn)行狀態(tài)劃分，求出殘差相對(duì)值序列各值所對(duì)應(yīng)狀態(tài)，對(duì)殘差相對(duì)值序列建立馬爾可夫鏈模型。GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值的殘差相對(duì)序列Δ（k）的范圍為（-16.78%，21.76%）。對(duì)于殘差相對(duì)值序列算出樣本均值=1.9和樣本均方差s=1n-1ni=1（xi-）2=11.52，采用均值-方差方法，根據(jù)實(shí)際情況，分成3個(gè)狀態(tài)：E1=（-16.78%，-0.5s]，E2=（-0.5s，+0.5s]，E3=（+0.5s，21.76%）。即：E1=（-16.78%，-3.86%]，

E2=（-3.86%，7.66%]，E3=（7.66%，21.76%）。

2002～2011年太子河干流化學(xué)需氧量年數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。

2.3 馬氏性檢驗(yàn)

χ^2=2mi=1mj=1fijlnP^ijP^*j

當(dāng)α取0.05時(shí)，χ20.05（（3-1）2）=0.871 1。2>χ2α（（m-1）2），所以太子河干流化學(xué)需氧量序列具備“馬氏性”。

2.4 計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算一步轉(zhuǎn)移矩陣：

P1=1/21/201/52/52/501/21/2

預(yù)測(cè)對(duì)象現(xiàn)在（2011年）處于狀態(tài)3，那么下一年的絕對(duì)分布：

P（1）=（p0（1），p0（2），…，p0（n））P1=（0，0，1）1/21/201/52/52/501/21/2=（0，0.5，0.5）

于是2012年太子河干流化學(xué)需氧量最有可能處于狀態(tài)2或是狀態(tài)3。根據(jù)

Δ（k）=X^（0）（k）-X（0）（k）X（0）（k）

，則X（0）（k）=X^（0）（k）1-Δ，得出X（0）（11）∈（9.97，11.31）且概率為0.5，處于區(qū)間（11.31，12.59）的概率為0.5。實(shí)際監(jiān)測(cè)中2012年太子河干流化學(xué)需氧量11.4 mg/L∈（9.97，12.59），結(jié)果在計(jì)算的范圍內(nèi)，比較準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

（1）使用GM（1，1）預(yù)測(cè)模型對(duì)太子河干流化學(xué)需氧量進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)精度為3級(jí)，勉強(qiáng)合格，主要是因?yàn)樵紨?shù)據(jù)波動(dòng)性較大。

（2）應(yīng)用灰色馬爾可夫鏈模型對(duì)太子河干流化學(xué)需氧量進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果是在一個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)。灰色馬爾可夫鏈模型由GM（l，l）模型結(jié)果的一個(gè)預(yù)測(cè)數(shù)值，修正成為區(qū)間和概率組成的預(yù)測(cè)范圍，增加預(yù)測(cè)的可信性，提高了波動(dòng)性較大的隨機(jī)變量的預(yù)測(cè)精度。所以應(yīng)用灰色馬爾可夫鏈對(duì)太子河干流化學(xué)需氧量進(jìn)行預(yù)測(cè)是可行的。

（3）經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)，太子河干流化學(xué)需氧量年度均值是呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，說(shuō)明太子河治理措施取得了一定的效果，需要進(jìn)一步整治。

參考文獻(xiàn)

[1] 林曉言，陳有孝.基于灰色-馬爾可夫鏈改進(jìn)方法的鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)研究[J].鐵道學(xué)報(bào)，2005，27（3）：16-19.

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[3] 于慧，孫寶盛，李亞楠，等.應(yīng)用灰色模糊馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)海河水質(zhì)變化趨勢(shì)[J].中國(guó)環(huán)境科學(xué)，2014，34（3）：810-816.

[4] 劉次華.隨機(jī)過(guò)程[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2001.

責(zé)任編輯 李菲菲 責(zé)任校對(duì) 況玲玲