從一道原創試題談編題的嘗試

摘 要：高中課程改革對教師的要求越來越高，傳統教學要求教師有著較強的解題基本功、較高的數學知識歸納能力、較好的教學基本功等等，但隨著教師專業化程度要求的提高，新課程要求教師能自主設計教學問題，把握考題導向，編制原創試題，本文將做此嘗試并做探究思考.

關鍵詞：高中數學；原創；試題；編題；數列；變題

眾所周知，教師的專業化訴求在課程改革的今天越來越高，如今對數學教師的要求不能僅限于會教，還要會各種其他方面的專業訴求，如指導學生自主探求知識的能力、給予學生更多的興趣幫助、在高考導向下做出一些提升教師專業化成長的幫助等等. 這些要求已經大大提升了教師相比以往的專業化訴求，也是新時代教師需要更高水準、更強能力的體現.

近年來，江蘇省高考試題的研究工作非常得力，在導向基礎上立足創編各種新型模擬試題，既將教師自身的專業化水準提升到新的高度，也將熱點問題進行了全新視角的開拓，有利于教學的針對性嘗試. 筆者從數列章節出發，從一次原創試題的創編談談對試題編制的一些想法和思考，限于水平有限，不足之處懇請讀者批評指正.

[?] 緣由

觀摩近年來各地高考試卷，筆者發現對數列問題，尤其是證明數列相關內容的考查成為熱點，如（2013年江蘇）設{an}是首項為a，公差為d的等差數列（d≠0），Sn是其前n項和. 記bn=，n∈N*，其中c為實數.

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數列，證明：Snk=n2S（k，n∈N*）；

（2）若{bn}是等差數列，證明：c=0.

再如2014年考查的H數列，考查了構造和證明. 從以上試題中可以發現，隨著一輪又一輪的新課改的進行，命題組的專家對命題形式和命題要求的起點更高了，不單單是考查傳統的基礎知識和基本技能，而對學生的邏輯推理能力、理性思維水平以及學生的創新意識有了更高的要求. 在這樣的大背景下，教師必須要自我修煉，提高自己解題、講題甚至編題的能力.筆者以證明為基本，創設了下列原創試題：

[?] 創編

（原創）已知正項等比數列{an}，首項為a1，公比為q，Sn為{an}的前n項和，并且滿足6S3，S9，3S6成等差數列，設bn=（an）3.

（1）求q的值；

（2）證明：{bn}中任意三項均不能成等差數列.

設計理念：以考查數列的基本概念、性質等基礎知識為命題的出發點，做到在基礎上求新，在變化中創新. 第（1）題的設計是為了讓絕大多數的學生能拿分，以檢測學生的基本功為主；而第（2）小題的意圖則是為了拉開差距，讓優秀學生的能力得到充分發揮，對優秀學生進行區分和選拔.

[?] 審題與析題

仔細閱讀此題，可以發現此題的條件很明朗，根據題目中給出的三項成等差數列就可以得到一個等式，再結合等比數列的求和公式，就可以列式計算，求解q的值. 第（1）題主要是以檢測學生的基本功為主；而對于第（2）小題的證明，首先要解決bn的通項公式，這個并不困難. 而要證明{bn}中任意三項均不能成等差數列，直接從正面下手難度很大，用“反證法”證簡單明了，不失一般性. 當然，具體的證明還要看學生自身的數學素養與能力.

（1）根據6S3，S9，3S6成等差數列，可以馬上得到：S9=6S3+3S6，再根據等比數列的求和公式Sn=na1（q=1），

（q≠1），分兩種情況討論：

（Ⅰ）當q=1時，9a1=18a1+18a1，得a1=0，得不成立（因為等比數列的項中不會含0）；

（Ⅱ）當q≠1時，將求和公式代入上式，得：=6+3，令q3=t，化簡得：t2-2t-8=0（t≠1），解得：t=4或t=-2（舍去），所以q3=4，即q=.

（2）要證明第二小題，首先我們要解決bn的通項公式，由已知條件及第（1）題的結果可得：bn=（a1qn-1）3=a·（q3）n-1=a4n-1，要證明{bn}中任意三項均不能成等差數列，直接從正面證是很難下手的，顯然，用“反證法”簡單明了，不失一般性. 所以，我們不妨設bm，bn，bt三項成等差數列（其中m>n>t≥1，m，n，t∈N*），則2bn=bm+bt，然后將bn的通項公式代入，化簡得：2·4n=4m+4t（其中m>n>t≥1），關鍵是如何處理“2·4n=4m+4t”這個等式？

我們可以發現在這個等式中包含了“m，n，t”三個未知數，想要去求解，顯然是不可能的. 我們再看題干中的條件，似乎都已經用到了，此時需要在2·4n=4m+4t式子本身下工夫. 那么怎么辦呢？我們可以這樣想，少掉一項是一項，可以嘗試在兩邊同時除以其中一項.

方法1：兩邊同時除以4t得到：2·4n-t=4m-t+1（m>n>t≥1），因為n-t，m-t∈N*，所以4n-t為偶數，故左邊一定為偶數. 同理4m-t也為偶數，故右邊一定為奇數，而奇偶必不相等. 因此上式不能成立.說明假設不成立，也就證明了第（2）小題.

方法2：兩邊同時除以4n得到：2=4m-n+4t-n，雖然m-n∈N*，但是t-n<0，即4t-n∈（0，1），此時再用奇偶性去證明，顯然已經行不通. 所以，我們一定要另辟蹊徑. 仔細觀察一下，左邊是一個定值2，所以我們可以嘗試用范圍來解決. 由于m-n∈N*，故4m-n≥4，而4t-n>0，故等式的右邊顯然恒大于4，因此等式不可能成立.

歸納說明：方法1是通過數的奇偶性來完成的，而在方法2中則融入了函數的性質，簡單中透著一種和諧美.還有，同學們要相信：方法是在不斷地嘗試中產生的，每一道題都是有裂縫的，只有打開裂縫，陽光才能照進來.

題后思考：如果兩邊同時除以4m，能不能證明，又該如何證？（請學生課后自行討論完成.）

[?] 變題

變式1：假設數列{bn}的前n項和為Tn，試證明：對?m，n，t∈N*，Tm，Tn，Tt均不能成等差數列.

解析：因為bn=a4n-1，所以T=，假設Tm，Tn，Tt成等差數列（其中m>n>t≥1），則2Tn=Tm+Tt，將求和公式代入得：2=+，化簡得：2·4n=4m+4t，下面方法同上.

變式2：設數列{bn}的前n項和為Tn，探究：是否存在數列{Tn}中的三項能成等差數列？

設計題圖：讓學生自己去探究結果，旨在培養學生的探究、發現能力，為區分優秀學生做準備.

[?] 思考

對于數列題，首先要仔細審題，準確理解題意，特別是要抓住題干中的關鍵條件. 一般來說，數列的第（1）小題，通常以考查基礎知識、基本技巧、通性通法等為主，試題難度往往不大，學生比較容易得分；但是第（2）題的證明往往有一定的難度，具有較強的綜合性，以考查學生的邏輯思維能力、推理能力，以及學生的創新意識為主. 雖然難度很大，但是也不是毫無依據的. 我們可以根據題意，確定證明的破題之法，例如反證法、分析法、放縮法、數學歸納法等等，然后再結合數列自身的性質，利用函數、方程、不等式的性質進行求證，當然，我們需要一定的勇氣，多方面地進行嘗試，勇于突破難點. 從本題問題創編的嘗試，筆者也獲得了一些思考：

（1）從初期目標來說，教師對試題的創編依賴于對優秀試題的改編工作，試題編寫能力的培養不是一蹴而就的，依賴于模仿和改編，在模仿的基礎上對試題一點一滴的積累，有助于教師增加創編的經驗和能力.

（2）從中期目標來看，筆者認為試題的創編是教師業務水平的一種體現，每每參加各種地區的聯考，筆者認為一份優秀的試卷必定有少數試題來源于原創，這樣的試卷才是有價值的、有意義的，所有的試題都來自其他試卷的拼湊是比較低效的一種考查，是缺乏教學思想和指導性的一種考查.

（3）從遠期目標來看，原創試題的編制工作將大大提高教師自身的專業化水準，在與時俱進的今天，教師不僅需要會解決問題，更要會創造有價值的問題，愛因斯坦在總結自己發現相對論時說過：提出問題比解決問題更讓我激動，問題就是這樣發現和積累的，最后得到結論. 因此，數學問題的原創編制是在教師長遠教學經驗、導向把握、知識累積的基礎上形成的，久而久之嘗試自然能增加教師編制問題的能力，也使得在試題研究的道路上越來越有開闊的前景.

數列的世界是紛繁多變的，我們只有在平時做到“夯實基礎，訓練有素”，才能以不變應萬變. 數學的世界更是豐富多彩的，做到多嘗試、多積累、多編制、多學習，使得教師在問題研究和創編的道路上越走越寬. 本文以筆者愚見，引讀者之玉.