高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生解題錯誤問題的研究

摘 要：在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，盡量避免數(shù)學(xué)解題錯誤，取得一個好的成績，是教學(xué)目的的重要部分. 本文通過對學(xué)生所做數(shù)學(xué)題目中的解題錯誤進行分析，通過與學(xué)生之間的訪談交流，將常見的解題錯誤進行了歸類，同時進行了實例分析，最終提出了解題錯誤矯正的原則和措施，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：解題錯誤；問題；研究

解題錯誤是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，這是最令我們頭疼的，也是從某種程度上無法避免的，我們能夠做的就是盡量地降低錯誤的發(fā)生概率，使學(xué)生順利地掌握數(shù)學(xué)知識，并且能夠在考試中取得一個較高的分數(shù). 因此，分析數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的解題錯誤，分析出現(xiàn)錯誤的原因，并盡量避免錯誤的發(fā)生，具有重要的實踐價值和理論意義. 函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，尤其是高一數(shù)學(xué)，對于整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的作用.

解題錯誤的基本特征

1. 個體差異性

通常情況下，對于相同的問題，不同的學(xué)生所產(chǎn)生的解題錯誤不盡相同，在表現(xiàn)形式、類型和程度上千差萬別，具有個體的差異性. 換句話說，產(chǎn)生相同錯誤的誘因并不相同，

2. 普遍性

不管是哪個年齡階段、哪個地域，不同性別的學(xué)生和不同學(xué)段的學(xué)生，他們在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中都會出現(xiàn)解題錯誤的現(xiàn)象，這是普遍存在的. 它并不會因為學(xué)生的外部條件變化而避免.

3. 不穩(wěn)定性

學(xué)生在進行數(shù)學(xué)解題時，會不自覺地運用不適當(dāng)?shù)慕忸}思路來進行解題，這些解題思路有些時候都是自己主觀臆斷的想法，這些都會導(dǎo)致解題錯誤的發(fā)生. 但是，在面對同一解題問題時，導(dǎo)致解題錯誤的原因并不相同，具有不穩(wěn)定性，有些時候這些錯誤的解題思路是會隨著解題者的情況而改變的.

4. 頑固性

在數(shù)學(xué)解題過程中，這些解題錯誤具有很強的頑固性，因為學(xué)生在解題過程中，往往認為自己的解題思路是對的，都會本著自己原有的想法去解題. 如果在解答疑難過程中，不把錯誤的解題思路講透徹，學(xué)生在面臨同樣的問題時，依然會自顧自地選擇自己的解題思路，從而導(dǎo)致解題錯誤的持續(xù)發(fā)生.

5. 階段性

對于數(shù)學(xué)這一學(xué)科，即使很多數(shù)學(xué)家也曾犯過形形色色的錯誤，現(xiàn)在看來，當(dāng)時的錯誤顯得都有些低級，如果我們能夠正確地看待歷史上數(shù)學(xué)家犯的錯誤，就能夠更好地走進學(xué)生的心理. 此外，每一屆的學(xué)生所犯的解題錯誤都有一定的相似性. 因此，數(shù)學(xué)解題錯誤具有很強的階段性，在不同的階段，就會有什么樣的解題錯誤產(chǎn)生.

對學(xué)生解題錯誤的認識

學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中，主要的問題不是出現(xiàn)解題錯誤，而是當(dāng)出現(xiàn)解題錯誤時教師如何正確對待學(xué)生的解題錯誤. 由于學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤是“自然的”，因此，教師如何處理這一解題錯誤問題，科學(xué)地進行糾正，使學(xué)生不再重蹈覆轍在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中就顯得非常重要.

陳丹就曾經(jīng)提出過一些教師在看待學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的解題錯誤的一些誤區(qū)，他提出，有些教師在對待這一問題上會粗暴對待錯誤，沒有足夠的耐心糾正學(xué)生的錯誤，害怕學(xué)生出錯，通過反復(fù)訓(xùn)練來糾正錯誤，這些處理方式都過于簡單，沒有使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一些問題出現(xiàn)的復(fù)雜性和合理性，例如，很多時候都會歸因于學(xué)習(xí)不積極、上課不認真聽講、粗心大意等因素.

劉儒德的相關(guān)研究表明，盡管學(xué)生具有處理問題的內(nèi)驅(qū)力，會因為一道問題想不通而難受，但是他們?nèi)狈﹀e題的管理意識，沒有形成正確的錯題價值觀，缺乏錯題管理的策略和方法. 教師要積極引導(dǎo)學(xué)生，加強學(xué)生錯題管理能力的培養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)解題錯誤實例分析

從學(xué)習(xí)的時限上來說，高一年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一定的過渡性，是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分界點，通過高一的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進學(xué)生思維方式由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡. 通過幾年的教學(xué)，筆者對學(xué)生在函數(shù)方面出現(xiàn)的解題錯誤進行了歸類與總結(jié)，大體上可以分為知識性錯誤、疏忽性錯誤，其中大多數(shù)以疏忽性錯誤為主.

例：若f（2x+1）=4x2+8x+3，求f（x）.

第一，知識性錯誤

錯解例一

若2x+1=x，則f（2x+1）=4（2x+1）2+8（2x+1）+3=4（4x2+4x+1）+8（2x+1）+3=16x2+32x+15.

通過學(xué)生對這一問題的解答我們可以看出，學(xué)生對于本題的意思并沒有完全的理解，解題的方式出現(xiàn)了根本性的錯誤，在2x+1=x的條件下，想當(dāng)然地直接用2x+1替代了4x2+8x+3中的x，與考試的目的內(nèi)容不相符. 之后對該學(xué)生進行了交談：首先讓學(xué)生對題目和自己的答案進行了再一遍審查，問他自己的答案是否正確，學(xué)生思索片刻后沒有給出明確的答案. 然后問學(xué)生2x+1=x的意思，學(xué)生回答“就是把2x+1換成x，來求f（x）”；最后讓學(xué)生看了一下自己的答案，并且要求回答當(dāng)時的想法，學(xué)生回答“忘記了，題目就是讓我們求f（x），我就是為了求f（x）”. 當(dāng)詢問還有沒有其他解題思路時，該生考慮很久回答說沒有了. 通過這個簡短的對話，我們可以看出，解題者對題目缺乏基本的理解和認識，沒有解答這類問題的基本思路和方法，是典型的知識性錯誤類型.

錯解例二

令t=2x+1，則x=，所以f（t）=4

2+8

+3=t2+2t，

所以f（x）=t2+2t=（2x+1）2+4x+2=4x2+8x+3.

通過答案就可以看出，該學(xué)生正在試圖使用換元法來解答這一問題，在解出f（t）=t2+2t后，并沒有發(fā)現(xiàn)與f（x）=x2+2x之間的本質(zhì)差異，將f（x）=t2+2t看成了正確答案，進而錯誤地得出了f（x）=t2+2t=（2x+1）2+4x+2=4x2+8x+3的結(jié)論. 在整個解題過程中犯了疏忽性和知識性的錯誤，主要錯誤還是在知識性錯誤上，該學(xué)生對于換元法的運用和意義并不能夠很好的理解和掌握，同時對于函數(shù)分析式的理解也并不到位.

第二，疏忽性錯誤

錯解例一

有些學(xué)生具有換元的思想，通過正確的使用得出了f（t）=t2+2t的結(jié)論，但是卻又錯誤地寫成f（x）=x2+2t，整個的解題過程是正確的，最后卻因為自己的疏忽使得整個解題功虧一簣，這類問題是在教學(xué)過程中經(jīng)常碰見的.

錯解例二

令t=2x+1，x=，所以f（t）=4

2+8

+3=（t-1）2+4t-1=t2-6t，所以f（x）=x2-6x.

錯解例三

令t=2x+1，2x=t-1，所以f（t）=（t-1）2+4（t-1）+3=t2-2t，所以f（x）=x2-2x.

最后這兩位學(xué)生，都運用了換元的解題方法，思路也基本正確，但是在解答的過程中出現(xiàn)了小的錯誤，從而導(dǎo)致答案出現(xiàn)問題.

錯解例四

f（2x+1）=4x2+8x+3=（2x+1）2+4x+3=（2x+1）2+2（2x+1）+1，

f（x）=x2+2x+1.

這位學(xué)生運用了整體代換的解題思路，但是在代換過程中，第一步的變形出了問題，從而導(dǎo)致了后期的整體代換出了問題，這些都屬于因疏忽而犯的錯誤.

例：已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+3（-2≤x≤4），求f（x）最大值與最小值的表達式（用a表示）.

這個問題，在一般的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上都會有所涉及，甚至還為有些學(xué)生做了單獨的輔導(dǎo)，但是對于這一易錯點，還是有學(xué)生容易犯錯. 以下是學(xué)生的解題過程.

（1）當(dāng)a≤2或a≥4時，f（2）+f（4）=26-4a；

（2）當(dāng)-2≤a≤0時，f（a）+f（4）=3-a2+16-8a+3=22-a2-8a；

（3）當(dāng)0≤a≤4時，f（2）+f（a）=4-4a+3+a2-4ax+3=a2-4ax+10-4a.

這些錯誤大多是因為疏忽造成的，在進行錯誤校正時，要采用即時矯正的方法，每次完成一次正解的解答，都留出一定的時間給學(xué)生思考，讓學(xué)生自己整理，再講解. 例如在第一步中的f（2）+f（4）計算部分，通過與學(xué)生的交流得知學(xué)生的目的在于計算f（-2）+f（4），因此，要著重聯(lián)練習(xí)學(xué)生的審題準確度的能力. 后邊的兩步是因為學(xué)生認為-2和4的中間是0，因此在解題過程中分為了-2≤a≤0和0≤a≤4兩個部分來分開討論，在最后計算f（2）+f（a）時，又理解成計算f（-2）+f（4），導(dǎo)致最終的計算結(jié)果錯誤.

高中數(shù)學(xué)解題錯誤矯正原則與措施

1. 真實性和靈活性

當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中出現(xiàn)解題錯誤時，這一事實是真實存在的，教師不能只顧批評教育，要根據(jù)客觀事實，采取有效的手段，幫助學(xué)生避免發(fā)生類似錯誤. 在糾正錯誤的過程中，要對學(xué)生所犯的錯誤“和盤托出”. 其次，并不是所有的錯誤都值得我們?nèi)ゼm正和處理，要根據(jù)錯誤的性質(zhì)和錯誤的程度，綜合考慮糾錯的時機，在糾錯的過程中，要靈活處理錯誤，可以對解題的過程進行適當(dāng)?shù)暮喕部梢赃m當(dāng)?shù)貜娬{(diào)錯誤的解題步驟，注意選擇具有代表性和典型性的錯誤例題.

2. 適時性和自主性原則

在進行數(shù)學(xué)解題錯誤的糾正時，要把握好適當(dāng)?shù)臅r機，有些錯誤進行及時糾正效果比較好，但是有些錯誤適用于延遲矯正. 對于一些結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)問題，適用于即時矯正，這樣有利于學(xué)生錯誤觀念的澄清和數(shù)學(xué)教學(xué)的繼續(xù)推進. 在進行錯誤糾正過程中，重要的一點要讓學(xué)生認識到自己的錯誤，自主地去進行錯誤的矯正. 他們是錯誤的主人，也是錯誤矯正的主體，如果學(xué)生能夠自覺地對錯誤進行矯正，他們就會對這一錯誤的印象非常深刻. 有些時候即使不能夠完全理解錯誤的原因，也能夠幫助他們加深對相應(yīng)問題的理解，有利于教師課堂講解“解題錯誤”效果的達成.