從背面思考，從正面作答

摘 要：高中學生在處理數學問題時要具備一種反向的思維能力，這種思維可以讓學生在更加宏觀的層面考慮問題. 本文據此認識依次探討了定義反向思維訓練、正難則反訓練、整體意識訓練等幾方面的內容.

關鍵詞：高中數學；教學方法；反向思維

數學是一門對思維要求非常高的學科，同時也是開啟學習者智力的基本工具. 在高中數學學習過程中，學生經常會遇到這樣或者那樣的困難，當困難無法依靠傳統的正向思維模式解決時，便可以采取不同角度與不同方向的新型思維方式，也就是從反向思維對問題進行探討. 這種思維方式與普通的正向思維方式也就是按照條件得到結論的方式通常相對，它從果得到因，再從因得到其他果. 毫無疑問，正向思維是常規狀態，而反向思維的培養則利于學生解決偏題，同時還可以起到啟發學生心智的作用.

[?] 對公式定理的反向應用是思維的基礎

1. 定義的反向應用

在高中數學教材里面，出現了數量巨大的公式，教師要求學生對公式熟讀成誦是必要的，但卻并非是唯一的教學手段. 此外，教師還應當要求學生透徹理解并掌握公式，熟悉公式的各種變形. 公式的反向應用能夠培養學生以更加敏捷的思維狀態應對問題，提升其解題技巧. 定義的應用也是如此，在高中階段，學生處理數學問題時，非常容易用到定義法，但學生普遍對定義的反向應用覺得陌生，實際上反向應用定義恰恰可以讓問題的解決思路順利浮出水面.

例1 若將1-x-x-4予以化簡，便能夠得到2x-5，則求x的取值范圍.

分析：從題意中我們可以知道1-x-x-4=2x-5，而如果再走入絕對值這一概念的反向思路之中，便能夠得到下述條件，即1-x≤0，x-4≤0，解不等式組后，可以得到1≤x≤4，這就是未知數x的取值范圍.

2. 定理的反向應用

某一個定理的逆命題，是否正確并不一定. 然而在高中階段的數學教學過程中，教師還應帶領學生對某一個定理的逆命題進行驗證，這不失為一種有效的教學方法，它能夠很好地激發學生學習數學的興趣，并且讓定理與解題能力相結合的思維水平得到迅速提升.

例2 實數l，m，n能夠滿足條件m-n=8，并且mn+l2+16=0，現求證：m+n+l=0.

分析：借助正向思維，直接以順推法得到三個實數之值，雖然不必繞彎，但是運算量特大，同時還易于發生結果錯誤，而借助反向應用韋達定理的辦法則相對簡單.

證明：從m-n=8，能夠得到m+（-n）= 8，接下來從mn+l2+16=0可以知道m（-n）=l2+16，那么很明顯x2-8x+l2+16=0的兩個根即為m和-n. 同時，m和-n都是實數，因此，Δ=（-8）2-4（l2+16）≥0，可以解得 -4l2≥0，即l=0. 因此，x2-8x+16=0的兩個根同樣為m和-n，這樣可以得到m=-n=4，這樣m+n+l=0必然成立.

[?] 對問題條件的反向思考是思維的必然

在解答高中數學問題時，學生一般會在現有條件基礎上按部就班地推出必要條件，從而完成結論探尋的目標. 但是這樣的方法，卻并非對所有問題都適用，有些問題若從條件著手思考，解題者往往沒有著手之處. 既然已經能夠認識到公式、定理等都具有反向應用的作用，那么對于任何一個數學難題來講，不妨帶領學生從反向進行研究，也就是指導其站在問題的結論處，一步一步地反向推理到結論的充分條件，最終得出和既有條件相關的結論，這種問題處理策略是符合“正難則反、奇正結合”原則的. 通常情況下，反向思考對于不等式成立的證明、立體幾何里面的論證等極為有效，而在其他類型的問題中也有較廣泛的應用.

例3 已知和x有關的方程：

（1）x2-2mx+m2-m=0；

（2）x2-（4m+1）x+4m2+m=0；

（3）（m2+1）x2-（2m+1）x+1=0.

在上述方程中至少存在一個帶實數根的方程，那么m的取值范圍為多少？

分析：如果解題者將思維局限在正向角度，會出現多種不同的情況：假若一個方程有實數根，有三種情況；假設兩個方程有實數根，也有三種情況；三個方程有實數根時還有一種情況. 如果一一給予處理，過程必然極其煩瑣. 而如果解題者能夠秉承“正難則反、奇正結合”的原則，站在不同方向思考：與“至少有一個”相反的思路是“全都沒有”，那么就只有一種情況，問題的解決就變得非常容易了.

解：求出三方程皆沒有實根時m的取值范圍，假若這幾個方程都沒有實根，則有：

Δ1=4m2-4（m2-m）=4m<0，從而得出m<0；

Δ2=（4m+1）2-4（4m2+m）=4m+1<0，從而解得m<-；

Δ3=（2m+1）2-4（m2+1）=4m-3<0，從而解得m<，

因此，m<-.

因為在m<-的情況下，三方程皆沒有實根，所以在m≥-時，至少存在一個帶實數根的方程.

[?] 將正向思考和反向思考置于整體意識之內

有的問題，從局部的正向思考考慮難以索解，而又沒有明確的相反方向，這時教師需要帶領學生站在整體高度考慮問題，將整體功能充分發揮出來，使學生意識到：無論是正向思考還是反向思考，其實都是整體思路的組成部分，而無須機械地加以分割. 這樣解決問題的思路，其實是對反向思考方式的科學解讀.

比如關于反面求證的問題，這是反向思考的一種突出表現形式，在高中數學中應用極廣. 反證法是從待證問題給出的結論反面開始著手，也就是先假設結論反面為正確的，再根據題目中給出的條件，進行一系列邏輯推理從而引出一個全新的結論，但是該新結論同本題條件相矛盾，或者是同定理、公理等不相符合，從而明確原命題結論反面為錯誤的.

比如下面幾個問題：

例4 若f（x）=4x-2x+1（x≥0），則求f-1（0）.

分析：按照常規解法，首先思考原有函數是否有反函數，若有，則先寫出反函數，再求解，這無疑會讓解題過程變得稍顯復雜. 此時如果教師能夠指導學生將思路放寬，站在整體高度來考慮問題，不是求出反函數，而是依靠原有函數同反函數間的關系，就可得到下面的判斷，即：求f-1（0）的值，實際上也就等同于求讓f（x）=0時x的值，使4x-2x+1=0. 再通過具體計算，得到x=1的結果，從而得出f-1（0）=1.

例5 扇形面積公式S=，若已經知道扇形半徑同扇形所對圓心角n，則將其直接代入到扇形面積公式之中即可得出其面積. 而反過來提問：如果已經知道扇形面積S及半徑R，那么如何去得到n值呢？此時學生即應明確三個數值之間的關系，在頭腦中形成整體意識，明確公式的正用與反用，無非是整體映照下的差異化方法，即可順利得到n=，R=，從而讓問題得到順利解決.

例6 給出實數a，且a≠0，a≠1，現假設函數y=，其中x∈R，x≠，現請證明：經過該函數圖象中任意兩個相異點的直線同x軸不相平行.

經過分析，決定以反證法的思路處理該問題，不相平行的反面是相互平行，因此可以據此做出假設.

我們先設M1（x1，y1），M2（x2，y2）為函數上的兩個任意點，x1≠x2. 接下來假設M1，M2兩點同x軸平行，那么即有y1=y2，也就是=，通過整理能夠得到a（x1-x2）=x1-x2.

因為x1≠x2，所以a=1，該結論與題目的已知條件a≠1并不一致，所以假設不成立，所以原結論成立.