對(duì)“圓錐曲線”章節(jié)復(fù)習(xí)例題設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)看法

在章節(jié)教學(xué)中，教師講授完章節(jié)內(nèi)容后，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真做好單元小結(jié)，并注意培養(yǎng)學(xué)生自行總結(jié)的良好習(xí)慣，這不僅有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展，而且有利于知識(shí)技能遷移，為培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。例題教學(xué)是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，對(duì)教學(xué)效果產(chǎn)生直接影響，需要教師精心設(shè)計(jì)例題，提高課堂例題的質(zhì)量。下面就高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”的章節(jié)復(fù)習(xí)的范例題設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)述幾類(lèi)例題的設(shè)計(jì)意圖。

一、知識(shí)概括型例題的設(shè)計(jì)

在章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)中，通過(guò)范例分析復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分類(lèi)比較，注意知識(shí)間的融會(huì)貫通，建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，是學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)體系。

例如：已知α∈[0，π），試討論當(dāng)α的值變化時(shí)方程x2sinα+y2cosα=1表示曲線的形狀。

評(píng)析：方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲線的類(lèi)型由sinα和cosα的值確定，α在不同范圍內(nèi)取值，方程表示的曲線的類(lèi)型不同，因此解題關(guān)鍵在于結(jié)合幾種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)α的分類(lèi)討論。

二、變式例題的設(shè)計(jì)

在教學(xué)中，教師要運(yùn)用變式教學(xué)方法，一題多變，通過(guò)演變，讓學(xué)生處于一種愉快的探索知識(shí)的狀態(tài)中，從而充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，啟發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力。

1.通過(guò)變式例題建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

對(duì)一道例題不能就題論題，應(yīng)從題型上適當(dāng)引申和變化逐步延續(xù)伸展，因而在設(shè)計(jì)例題時(shí)，就應(yīng)使例題有彈性，通過(guò)變換題目條件和結(jié)論，使題目深化發(fā)展，讓學(xué)生尋找規(guī)律，總結(jié)歸納知識(shí)要點(diǎn)，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使知識(shí)更加系統(tǒng)化。例如：

原題：一動(dòng)圓與定圓O1：x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓O2：x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線。

變題1：動(dòng)圓與圓O1，圓O2外切。

變題2：動(dòng)圓與圓O1外切，與y軸相切。

兩個(gè)變題把橢圓、雙曲線、拋物線的定義的異同點(diǎn)靈活地展示在學(xué)生眼前，且揭示了求軌跡方程的一般規(guī)律，使學(xué)生認(rèn)識(shí)深化，取得舉一反三的效果。

2.通過(guò)變式例題總結(jié)方法

在精選例題時(shí)，教師要有意識(shí)地偏重于同一題型的訓(xùn)練，把例題分類(lèi)歸檔，集中力量解決同類(lèi)題中的本質(zhì)問(wèn)題，總結(jié)出這類(lèi)題的方法和規(guī)律，從而達(dá)到觸類(lèi)旁通的目的。

例如：在已知拋物線y=x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，關(guān)于直線y=kx+4對(duì)稱(chēng)，求k的范圍。

變形1：在原題的條件下，“拋物線y=x2”改為“橢圓+=1”。

變形2：在原題的條件下，“拋物線y=x2”改為“雙曲線-=1”。

本題通過(guò)兩種變形，總結(jié)了圓錐曲線存在兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的不同點(diǎn)的問(wèn)題的方法。通過(guò)變式例題分析，誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維橫向遷移；通過(guò)歸類(lèi)訓(xùn)練，把知識(shí)從一個(gè)問(wèn)題遷移到另一個(gè)問(wèn)題。讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律性的知識(shí)和知識(shí)的規(guī)律，對(duì)方法的掌握能“解一知三”，達(dá)到“召之即來(lái)”“采之能用”。

3.通過(guò)變式例題提高能力

對(duì)于范例精選，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的層次不同，選擇難易伸縮性強(qiáng)的題型，因材施教地進(jìn)行適當(dāng)引申和變化，逐步延續(xù)伸展，在培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性的同時(shí)，讓學(xué)生的思維變得更加流暢，培養(yǎng)發(fā)散思維的習(xí)慣和聯(lián)想思維的能力。

例如：A、B是拋物線y=2px（p>0）上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。求證：A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別為定值。

引申1：直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。

引申2：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)（2P，0），OA是否垂直O(jiān)B？

引申3：求O在線段AB上的射影M的軌跡方程。

引申4：求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程。

引申5：設(shè)P是橢圓+=1的左頂點(diǎn)，A，B為橢圓上的點(diǎn)，PA⊥PB，問(wèn)：線段AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？

此題引申環(huán)環(huán)相扣，每一環(huán)節(jié)都讓學(xué)生掌握一種數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律觸發(fā)猜想，引導(dǎo)多角度思考，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想逆向思維和發(fā)散思維能力。

三、多解式例題設(shè)計(jì)

精選例題，教師應(yīng)刻意設(shè)計(jì)可用多種思路完成的典例，并鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于常規(guī)方法，尋求變異用于創(chuàng)新。

例如：已知橢圓+=1，過(guò)點(diǎn)（2，1）引一條弦，使它恰被點(diǎn)P平分，求這條弦所在直線方程。

思路1：設(shè)直線方程為y=kx+b，運(yùn)用韋達(dá)定理直接寫(xiě)出P1P2中點(diǎn)坐標(biāo)，這是解題的常用方法。

思路2：求與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的常用方法——“作差法”，用“設(shè)而不求”求得直線的斜率。

思路3：用求兩圓錐曲線相交弦的方法。

教師通過(guò)分析，引導(dǎo)學(xué)生沿著不同的途徑思考問(wèn)題，通過(guò)比較，提煉出學(xué)生最易接受的最佳解法，從而達(dá)到優(yōu)化解題思路的目的。

四、綜合性例題設(shè)計(jì)

綜合型例題考究立意獨(dú)到，交叉滲透，融合自然，體現(xiàn)為知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交叉與融合，設(shè)問(wèn)內(nèi)容的交叉與融合，思維方法和思維能力的交叉和融合。

例如：設(shè)點(diǎn)F1是+=1的左焦點(diǎn)，弦AB過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求△F1AB的面積的最大值。

此題是綜合性較強(qiáng)的題目，首先在于直線AB的設(shè)法，設(shè)為x=my+1可減少計(jì)算量，其次得到S△FAB關(guān)于m的目標(biāo)函數(shù)S=后，求最值是關(guān)鍵，也是一難點(diǎn)。