《n級素數周期表》怎樣從混沌走向有序

摘要：使用“n級自然數表”的升級排列法，以n種不同的排列方式來探索素數在自然數中的排列規律和秩序，用全新的理論方法和思考角度，研究歷代數論學家長期探索未果的重大課題。《n級素數周期表》的實現將為解決素數研究領域積淀下來的大量歷史遺留問題，批量獲取無窮無盡的大素數提供了強有力的數學理論武器。

關鍵詞：《n級素數周期表》；公變周期；狄尼克雷素數定理；混沌；有序 文獻標識碼：A

中圖分類號：O156 文章編號：1009-2374（2015）05-0015-10 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.0344

縱觀素數研究發展史，為什么素數領域中的“猜想”和歷史遺留問題會越來越多，長期跨世紀得不到解決？為什么人類花費了大量的時間和精力，采用最先進的設備和幾十萬臺計算機聯網搜索，至今也才獲得48個梅生大素數？“48”與無窮多來比較，這是一個多么不協調的數字？為什么人們對素數有著豐富的“猜想”，提出無以數計的妙趣橫生的數學問題，但是對于有關素數規律至今很難得到一個實實在在的定理？考究其本質原因，是人類無法獲得無窮無盡的大素數，人們無法知道那些天文數字（比如說千萬位、億位）的大素數和大合數是怎樣的排列規律，那些越來越寬廣連續合數區和越來越長的素數等差數列是如何形成的？怎樣解釋它們之間的關系？本工作推出的《n級素數周期表》的理論能填補素數領域中上述提出的歷史空白。對這些“猜想”和歷史遺留問題作出現實客觀、辯證統一的解釋。采用自然數表的升級排列法：把自然數1、2、3…依序排列到n（n>0）個順序素數的公變周期（即最小公倍數）△=[m1 m2…mn]位置，組成級差為△的△個等差數列無限延伸，無論參變素數的個數n取值多少，都能一個不漏地覆蓋全體自然數。本文在整體自然數中以n種不同的排列方式來探索素數在自然數中的排列規律和秩序，研究數論學家們長期探究未果的重大課題，取得以下成果：（1）運用狄利克雷素數定理和素數周期公變K△（K=1、2、3…）重要性質推出“素數列判定定理（1）（2）”把覆蓋全體自然數的△個等差數列劃分為依序排列的素數生成列和合數生成列組成的大大小小的連續合數區，證明了在自然數中，無論n取值多大，素數列總是與連續合數區是相對分流、相對獨立的。從自然數中分離出《n級素數周期表》系列，n值越大，素數列和合數列分流就越徹底。（2）運用“等差數列合數項標律”和K△性質，證明了《n級素數周期表》的素性純潔度隨著n值的提升變得越來越高，越來越接近100%，大于mn的n級素數表的素數排列也由低級素數表的混沌逐步走向高級表的有序，這種發展趨勢是沒有止境的。從而揭開了在《n級素數周期表》的盡頭深處，素數排列規律和秩序是橫平（從mn+1起由小到大）、豎直（以△為級差的素數等差數列任意延伸）而齊整的驚天秘密。（3）從此，人類也像獲得偶數和奇數那樣獲取無窮無盡的大素數。黎曼猜想追求的終極目標和結論，孿生素數猜想，三生、四生…n生素數猜想，素數最大間隙，任意長的素數等差數列…等跨世紀難題和一些素數領域中的歷史遺留問題，在《n級素數周期表》中反映出來的只不過就是一些普通存在客觀現象而已。這就為人們徹底解決這些世界難題，提供了強有力的數學理論武器。（4）把一次同余理論編入電子計算機程序，在混沌的低級素數表中批量排除素因子合成數，在有序排列的高等級素數表中檢測素因子合數的分布密度，（趨于零）人類就可以掌握控制任意數域，任意區間，任意大小，任意等級的素數生成列（表），批量獲取區域大素數。

著名哲學家任繼愈有句名言：“越是抽象的越不能脫離實踐。”我們應當相信：“現實客觀的數學存在必然就是真理。”《n級素數周期表》的實現，數論領域的研究必然會邁上一個新的歷史臺階！

1 素數分布真實情況剖析

幾乎世界上所有的數學家都認為，素數是無窮的。然而，幾乎是世界上所有的數學家又都認為：越往大數區域，素數分布越稀疏，著名數學家歐拉和勒讓德，還先后提出了“無窮多個素數出現的概率為零”的定理。這兩個看似悖論，似乎又真實存在的結論，使得人們對素數分布的認識備感神秘，進退維谷，撲朔迷離。素數果真是越來越稀、越來越少嗎？為什么素數分布會時疏時密、時隱時現？人類對素數的認識是否走進了誤區？為讓人們弄清這個兩千多年來數論學家一直都在探討的問題，我們還是從一個簡單的奇數列中的任何一個素數在數列中到底具有什么遞變規律談起。如果我們在奇數列3、5、7、9、11…無限延伸的各個順序奇數對應標注項標順序1、2、3、4、5…會得到一個無限延伸的公差為2的等差數列，因為這個數列可產生全體素數，我們暫且把這個數列叫做素數生成列，而把自然數的另一半偶數稱為非素數列：

在素數列中，我們發現，當任一素數在數列中的某一項出現以后，則從這一項起，以這個素數的自身數值為周期循環相繼出現的項數所對應的奇數一定是這個素數的倍數，我們稱為素因子合數。如設mn為任一素數在Xi項，則形如Xi+Kmn（K=1、2、3…）項對應的奇數一定是有mn的素因子組合數，即mn的倍數。這個遞變規律也同樣適用于任意一個有素數生成的無窮等差數列，我們把它叫做等差數列合數項標律，簡述如下：

規律1：等差數列合數項標律。

任一素數mn若在等差數列中的Xi項，則mn每過mn項，素數mn以其自身數值遞增mn。凡形如Xi+Kmn（K=1、2、3…）項所對應的奇數一定是有mn的素因子合成數。這個變化貫穿于Xi項以后的數列，直至無窮。

由規律1很容易推論：

規律2：如果等差數列的Xi項是mn的素因子合成數，則形如Xi+Kmn（K=1、2、3…）項對應奇數也一定是有mn的素因子合成數。

從規律1、2我們可以看得出，在有素數生成的等差數列或有序自然數中，任意一個素數mn出現的次數都是唯一的、僅有的一次，但其產生的合成數卻會周期性地、反復地形成一個形如Xi+Kmn（K=1、2、3…）的數列無限延伸，由此推出素數自變周期律如下：

規律3：素數自變周期律。

按順序排列自然數（或等差數列）任意一個素數mn都以其自身數值為周期循環值，周期性反復無窮地出現mn的素因子合數群，我們把這種遞變規律稱為素數自變周期律。

假如我們設m1=2、m2=3、m3=5…mn=第n個順序素數，根據規律3，由于任一素數都有其獨特的自變周期運轉規律，則n個順序素數就有n個獨特的自變周期運轉律，當這n個運轉周期值正好重疊在同一個自然坐標上時（即運轉周期值相等），我們把n個順序素數的自變周期交會于一點的公共坐標叫做n個順序素數的公變周期，記寫為△=[m1 m2…mn]。從數學計算式來理解是n個順序素數的連乘積，從整除性質來理解是n個順序素數的最小公倍數，從覆蓋全體自然數的△個等差數列來理解是公共級差，△是本文最核心、最重要的一個參數值，這是后話，暫且不表。

假如我們從另一特殊角度換位思考：全體自然數可說是這樣一個整體，它們是由0、1和全體素數及這些全體素數生成的素因子合數群組成的（當然這樣定義自然數也許不妥，僅為解決問題換位思考）。那么根據規律1、2、3我們發現在自然數或等差數列中的任意一個素數具有下面重要特征：（1）任一素數與它的素因子合數群的個數比例是1∶∞。但沒有占比例“1”的這個素數，也就沒有它的無窮的素因子合數，因此沒有素數也不會有合數和自然數；（2）為維持自然數或等差數列的有序完整性，素數總要攜帶并依附著它的素因子合數群而存在，是不分離的一個群體；（3）數值越小的素數，它的素因子合數群分布越密集，數值越大的素數，它的素因子合數群分布越稀疏，且越大越稀疏。

上述三個特征幾乎完全揭穿了素數真實分布的神秘面紗。比如說素數“2”是最小的素數，然而它的素因子合數群（全體偶數）卻幾乎占去了全體自然數的一半（約50%），而那些越來越大的超級大素數（比如說幾千萬位）它們的素因子合數群卻稀疏得幾乎逼近零。根據《孫子定理》和埃拉托塞尼篩法原理，在大數區域里，素數越大，產生新素數的能力越強，而大素數形成的素因子合數群分布越稀疏。在小數區域，素數越小，再生新素數的能力越弱，而小素數形成的素因子合數群分布越密集。但令人困惑不解的是，為什么在奇數數列中（或自然數中）反而會出現素數越來越稀疏、素因子合數越來越密集的相反狀況呢？考究其原因，是貫穿整個數列或部分數列的中小素因子合數群游離和干擾造成的惡劣環境，是人們把素數排列在比它多幾百倍、幾千倍甚至幾萬倍的素因子合數群中，遮蓋了素數的“身影”。人們老是在有中小素數及其素因子合數群密集的數列中去看素數，肯定會感覺到素數越來越稀、越來越少，因為那些中、小素數的自變周期、公變周期產生的素因子合數群鋪天蓋地占據了數列中絕大多數坐標格子，那些新生大素數只得分散排列更大的區域里去了。如果我們把中小素數和它們無窮的素因子合數群都排列到自然數中的連續合數區中去，在各素數生成列中只保留大于某一界定值以上的大素數及它們的素因子合數群，因為大素數的素因子合數群分布是越大越稀疏，這樣在各素數生成列中就會出現素數越來越密集的反常狀況，從而解決人們總認為越是大數區域素數將越來越稀、越來越少的，不容易轉彎子的矛盾，本工作推出的《n級素數周期表》的理論能幫助人們實現這一美好愿望！

2 n個順序素數公變周期△=[m1 m2…mn]和K△（K=1、2、3…）的重要性質和應用功能

設n個順序素數（n≥1）的公變周期△=[m1 m2…mn]，我們把按序排列的1、2、3…△的△個自然數組成的△為級差的△個等差數列無限延伸，無論n取值多少都會一個不漏的獲得全體自然數，n就是這個無限延伸的自然數表的等級，其中，也一個不漏的包含了全體順序素數。在n級表中覆蓋全體自然數的△個等差數列無限延伸可用△個計算式表示如下：

設m1=2，m2=3z…mn=第n個順序素數，△=[m1 m2…mn]是n個順序素數的公變周期（最小公倍數），用級差為△的△個等差數列覆蓋全體自然數、排列如表1所示。

由于△=[m1、m2…mn]中包含有不大于mn以下任一素數因子，因此△同時是2、3、5、7…mn的倍數，當n≥3時，無論n和mn取值多大，△一定是30的倍數，△值的末位數字一定是0，△/2的末位數字一定是5，根據狄利克雷素數定理，K△具有以下重要性質：（1）K△加不全大于mn的素因子合成數，一定得合數（不全大于mn的素因子合成數一定與△有公因子）；（2）K△加不大于mn的素數一定得合數（因△中包含有不大于mn以下的素數因子）；（3）K△加偶數一定得偶數；（4）K△加奇數一定得奇數；（5）K△加大于mn的素數一定得素數或全大于mn的素因子合成數（互質）；（6）K△加全大于mn的素因子合成數一定得素數或全大于mn的素因子合成數（互質）；（7）K△±1一定得素數或全大于mn的素因子合成數（互質）。

根據狄利克雷素數定理以及△和K△的重要性質，n級自然數表的△個等差數列中的素數生成列和合數生成列的劃分，可歸納成下面定理：

德國著名數學家狄利克雷（Drichlet，1805～1859）在1837年7月27日證明了當Mi、△互質時，形如Mi+K△的等差數列包含有無窮多個素數，人們把這個理論贊譽為：算術級數的素數定理。但當時他和后來的數學家們并未限制數列的級差△一定是具有n個順序素數的公變周期性質，這個定理得不到更深層次的進展和應用，本工作站在歷史巨人的肩膀上，在覆蓋全體自然數的△個等差數列中全盤性的進行系統的分類，把全體素數生成列從自然數中分離出來，人們就會一個不漏地獲得大于mn的順序素數表，雖然這個素數表不可避免的產生全大于mn的素因子合數群，但隨著表的等級n的持續提高，mn之值會越來越大，前面我們說過，素數越大，它的素因子合數群就會越來越稀疏，全大于mn的素因子合數就表現出更稀疏的狀態，從自然數中分離出來的順序素數表的素性純潔度就會越來越高，越來越逼近100%。

但是當自然數表的等級很高時，比如n=300萬級，此時，△值是一個2000多萬位的天文數字，人們要在△個等差數列中，用定理1逐個計算劃分合數列和素數列這是一個十分浩大、艱巨的工程，人們就是窮盡畢生精力和時間也無法完成，下面我們運用定理1原理和K△的重要性質推出定理2，在n級表的△個原生自然數中，按數域區間整體劃分連續合數區和素數生成列準確的排列位置，為人們快速、簡捷地打造任意區段的素數生成列提供理論依據。

定理2（n級表素數列判定定理2）：

設△=[m1 m2…mn]是n個順序素數的公變周期，把1、2、3…△依序排列的△個原生自然數，組成級差為△的△個等差數列無限延伸，覆蓋全體自然數，Mi表示任意整數：

若Mi滿足下列條件之一時：（1）當Mi=1或Mi=-1時；（2）當Mi是mn

我們只要運用定理2，把覆蓋全體自然數中的△個等差數列判斷出全體素數生成列，則自然數中大大小小的連續合數區也就順勢確定了。事實上，原生自然數Mi只要滿足：（1）Mi是1

從定理1、2和K△的重要性質推論，在n級表排列的△個等差數列中，各種性質的數列都是相對獨立排列的，根據K△性質（5）（6）（7）組成的相鄰素數生成列都有大大小小的間距（絕大多數數列間距=原生順序素數間距），把全體自然數劃分為大大小小的連續合數區，連續合數區的間距寬分別為2、4、6、8、10…（mn+1-1）。如果把這些獨立的素數生成列從自然數整體中分離出來，我們就會一個不漏地獲得一個大于mn的原生態順序素數表，雖然間雜有全大于mn的素因子合數，但我們仍把這個素數表看成是自然數中的一個獨立群體，它們和全體自然數要“合得攏”、“分得開”，所謂“合得攏”，我們就能在自然數表中看到各素數生成列和大大小小的連續合數區的關系和排列規律，隨著等級的持續提高，我們會看到兩個最大連續合數區越來越寬廣，各素數列的素數等差數列越來越長的根本原因所在；所謂“分得開”，我們就能證明，全體大于mn的素數在自然數中建立有一個屬于自己的“素數王國”，只不過素數王國中的每一個“素民”總要攜帶和依附著它的全大于mn的素因子合數群，在“素數王國”中出現，使“素數王國”的素性純潔度受到影響，但這種影響力會隨著等級的持續提高而越來越弱，因為自然數表的等級越高，△值中最大素因子，mn值也就越大，大于mn素數表中全大于mn的素因子合數群分布就會越來越稀疏，其分布越來越趨近于零，素數表的素性純潔度就會越來越逼近100%，這種遞變規律和發展趨勢是沒有止境的，最終必然導致在等差數列指定近期公共項標內，實現素數生成列和合數生成列的解體和分流。K△在n個順序素數的周期公變過程中，始終充當和扮演了一臺萬能數據制造機的角色，在△個等差數列覆蓋的自然數體系中，維持著素數列和合數列合理的生態平衡，促進了素數生成列和合數生成列在自然數中的自然解體和分流，是源遠流長的素數生成列和合數生成列得以世代繁衍、生生不息的根和魂。

3 《n級素數周期表》的性質、特征、規律和素數生成模式

如果我們認真觀察，當n≥2時，無論n取何值，在《n級自然數表》（表1）的中端和末端，一定存在有兩根主中軸線，△軸和軸，組成自然數表的全體素數生成列和全體合數生成列都沿著這兩根主中軸線的兩側等距離對稱分布。假如我們把n級表（表1）的△個等差數列首尾相連圍成一個周長為△的無限延伸的圓柱體，我們沿著△～△/2截面剖開，就能把全體自然數一分為二地剖為互為對稱兩半，在△軸和△/2軸的兩側，一定有素數列和素數列（含全大于mn的素因子合數），合數列和合數列，偶數列和偶數列、奇數列和奇數列完全等距離對稱，1+K△和-1+K△，（△/2+2）+K△和（△/2-2）+K△這兩組孿生素數列也等距離對稱。這種美妙絕倫的對稱現象，使人們聯想到穿過埃及金字塔底面正方形縱平分線，無限延伸與地球子午線正好重合。正好把地球的陸地和海洋分成均勻的兩半，而且塔的重心正好落在各大陸引力的中心。物質世界奇特的構造規律，與《n級自然數表》中各種特殊性質的數列都沿著△軸和△/2軸完全等距離對稱分布原理，達到高層次的驚人的相似和吻合。△～△/2剖面就像是自然數體系中（或說整數體系中）的“子午線”，它維持著“子午線”兩端的素數、合數、偶數、奇數的平衡，這種高層次、高境界的對稱現象在自然數表中是怎樣形成的呢？

n級素數表只反映大于mn全體素數的排列規律和生成情況，不大于mn以下的任一素數由于都是△中的一個素因子，與周期公變K△之和均是一個無窮合數列而失去素數生成能力，轉化為合數生成源。等級素數表通過持續提升表的等級，把越來越多、越來越大的mn以下的中小素數轉化到自然數中連續合數區中去，素數表中只保留大于mn的素數和全大于mn的素因子合數，mn值越大，全大于mn的素因子合數越稀疏，大于mn的素數在表中排列就越密集，通過這個原理來獲得越來越純結的素數表。

性質5：等級越高，n值越大mn和△值越大，大于mn的n級素數表的素性純潔度就會越高，而孿生素數列兩側的最大連續合數區就越寬廣，全大于mn的素因子合數的分布密度會越來越低，大于mn的素數表的素性純潔度就會越來越高，各素數生成列中的素數等差數列就會越來越長。這種發展趨勢是沒有止境的。

等級素數表無論等級多高，也無論等級多低，都是從不同的方位和角度來反映和刻畫同一個自然數整體中素數和合數的排列規律和秩序，用不同等級、不同素性純潔度的素數表探索素數在自然數中遵循的生成模式和產生的不同效果，人們有了這種統一的素數生成模式，人的大腦就成了無以數計的等級素數表的表庫，就可以打造不同等級任意大小、任意區間的素數生成列，獲取任意大小的素數，其最突出的一個重要特征是：素數表等級越高越容易打造，因為素數表的等級越高，素數與合數分流就會越徹底，原生態素數表的素性純潔度就會越高，這是自然數表的升級排列法取得的一項重要成果，用篩法是無法企及的。

4 《n級表素數分布大定理》為什么能在整體自然數中全方位的獲取無窮無盡的大素數

根據n個順序素數的公變周期△和周期公變K△的重要性質和定理1、2，人們可在覆蓋自然數表的△個等差數列中，通過持續提高n級表的等級，最終在整體自然數中實現全體素數生成列和合數生成列的基本解體和分流，從自然數表（表1）中提煉出《n級素數周期表》的素數生成模式，為大素數生成的原理和方法提供了理論依據，以上推理證明和論述，順理成章地推出定理3：《等級表素數分布大定理》，在n級素數（表1、表2）中全方位獲取無窮無盡的大素數。

定理3（n級表素數分布大定理）：

設Mi表示任意整數，△=[m1 m2…mn]是n個順序素數的公變周期（最小公倍數），n就是n級表的等級。把1、2、3…△依序排列的△個原生自然數組成級差為△的△個等差數列無限延伸，無論n取值大小（即等級高低），都能一個不漏的覆蓋全體自然數，其中，當Mi滿足下列情況之一：（1）當Mi=±1時；（2）當Mi是mn

n級表的等級持續提高的終極結果，人們必然會獲得一個橫平（從mn+1起由小到大）豎直（按若干級差為△的等差數列無限延伸）有規律有秩序齊整排列的，大于mn的，一個不漏的素性純潔度逼近99.999…%，全大于mn的素因子合成數分布密度趨于零的原生態順序素數表，在整體自然數中全方位的獲取無窮無盡的大素數。

證明：設m1=2、m2=3、m3=5…mn=第n個順序素數，△=[m1 m2…mn]是n個順序素數的公變周期（最小公倍數），mn+1=第n+1順序素數。我們就按順序排列的1、2、3…△組成級差為△的△個等差數列無限延伸，覆蓋全體自然數。

當n=1時，為一級表、△=2，我們把自然數排成級差△=2的兩個等差數列：1+K△、2+K△（K=0、1、2…∞）往無窮方向延伸就可一個不漏的獲得全體自然數，1+K△這個無限延伸的等差數列就一個不漏的包含了大于2的全體素數，在一級素數表中，我們排除了“2”和“2”的素因子合數群的游離和干擾，把它們都轉化到合數區（偶數）中排列。

當n=2時為二級表，△=[2、3]=6，我們把自然數排成級差△=6的6等差數列無限延伸，表示為（K=0、1、2…∞）。

1+6K、2+6K、3+6K、4+6K、5+6K、6+6K就可一個不漏地獲得全體自然數，其中1+6K和5+6K這兩個數列無限延伸就可一個不漏地包含了大于3的全體順序素數，在二級素數中，我們排除了素數“2”和“3”及它們的素因子合數群的游離和干擾，把它們轉化到連續合數區中排列。

當n=4時，為四級表，△=[2·3·5·7]=210，我們把自然數排成級差△=210的210個等差數列無限延伸就可一個不漏的獲得全體自然數，其中，當Mi=±1時，當mn

依此類推，當n=n時，為n級表△=[m1 m2…mn]，我們把自然數排列成級差為△的△個等差數列無限延伸，就可一個不漏的獲得全體自然數：

其中，當=Mi=±1時，當Mi是mn

（這里n和mn可以任意大，但不可以無窮大，因為當n→∞，mn→∞，原生自然數：1、2、3…mn…∞回歸到公差為1的無窮自然數列，會使等級表失去級差排列效應，造成等級表全部工作中斷。）

從以上1～n級的素數表的排列模式可以看出，任一級素數表中的素數生成列和大大小小的連續合數區都是相對分流，相對獨立排列的，任意連續合數區的邊界內，我們看不到一個素數，在任意一個素數生成列中，只存在大于mn的素數和全大于mn的素因子合數，人們感到困惑不解的是，為什么不大于mn以下的素因子不會跑到素數生成列中來呢？這是因為組成一個合成數的全部素因子中，只要有一個不大于mn以下的素因子，這個合數就會與K△有大于1的公因子，就會被排在合數列里，而不會跑到素數生成列中來，因為全大于mn的素因子合數與K△互質，沒有大于1的公因子，它就只能依附著大于mn的素數出現在素數生成列中。為什么大于mn的素因子合數又不會跑到合數生成列中去呢？因為這兩種數都與周期公變K△互質，若要在合數生成列中出現，至少必須包括有一個不大于mn的素因子，這兩種數都不滿足這個條件，就不可能跑到合數生成列中去，這就是素數列和合數列在n級表中始終保持相對獨立排列的奧秘。

因此，在n級素數表中，全體素數生成列的任一個數列，只存在有兩種數：一是大于mn的素數，二是全大于mn的素因子合數。當素數表的等級n持續不斷地提高，mn的數值將隨著n的提升而變得越來越大，在素數表中就排除（或說轉化）了越來越多，越來越大的不大于mn的中小素數及其素因子合數到連續合數區中去排列，素數表各素數生成列中已完全排除了不大于mn的中、小素因子合數的游離和干擾，只保留了越來越大的大于mn的素數和全大于mn的素因子合數，根據《等差數列合數項標律》素數越大，它的素因子合數群在自然數列中或等差數列中的分布越稀疏，且越大越稀疏，因此在原生態的順序素數表中（或素數列中）大于mn的素數就會越來越密集。這種發展趨勢是沒有止境的。

下面舉一實例，對千萬級素數表中的素因子合數分布密度和素數表的素性純潔度進行具體分析。

當我們把表的等級定為n=1千萬時，n個順序素數的公變周期：△=[2·3·5·7…m千萬]（通過計算機計算，△是一個超億位的大合數），此時在千萬級素數表中，已經排除了m千萬+1以下的一千萬個順序素數及其素因子合數群的游離和干擾，把它們轉化到合數區中排列，素數表中只保留大于m千萬的大素數和全大于m千萬的素因子合數。因為m千萬+1=178424691根據《等差數列合數項標律》，m千萬+1要每過179424691個自然坐標才產生一個素因子合數，因此m千萬+1的素因子合數分布密度非常稀疏，全大于m千萬的素因子合數分布密度在素數表中就表現出更稀疏的狀態；（要排列到m2千萬+1以后才會產生）。因此，在m千萬+1～m2千萬+1區間（不含m2千萬+1），不會產生全大于m千萬+1的素因子合數，任意自然數只要滿足（Mi△）=±1，則Mi一定是素數。故該區段素數表的素性純潔度為100%，素因子合數分布密度為零。

因△是一個超億位的大合數，符合素數生成列條件的原生數，越往△靠近的區段，全大于mn的合成數的分布密度，都要比前區段略高，素性純潔度相應較低。但對于各素數列產生形如Mi+△K的素數，都是超億位的天文數字，它們的素因子合成數稀疏得要間隔幾十公里或上百公里才會出現一個，在素數表的近期項數內（比如1萬項）根本看不到它們的身影，因此，△以后素數表的素因子合數分布密度在1萬項內，基本唯持△以前的狀況。

若Mi滿足（1）當Mi=±1時；（2）當Mi是m千萬

《n級素數表》從理論和實踐上都有力地證明了，只要我們持續不斷提升素數表的等級，等級順序素數表的素性純潔度就會越來越高，素因子合數的分布密度就會越來越低，±1+△K孿生素數列兩側的連續合數區就會越來越寬廣。素數生成列中的素數等差列就會越來越長，這幾方面的關系都是順其自然而生成，互相依賴而存在、相互促進而發展的相輔相成的辯證因果關系。

假如我們再把表的等級提升到億級、十億級、百億級……其終極結果，人們必然會獲得一個橫平（從mn+1起由小到大）豎直（按級差為△的若干等差數列無限延伸）有規律、有秩序、整齊排列的素性純潔度逼近100%，素因子合數分布密度趨于零的原生態超級順序素數表，在整體自然數中，全方位獲取無窮無盡的超級大素數。

這樣美妙絕倫的素數美景，不就是黎曼猜想最終追求的目標和結果嗎？世界上不管用什么高深理論和方法恐怕也找不到比《n級素數表》的排列更有規律更有秩序、更為齊整的原生態順序素數表了。

5 《n級素數表》與傳統篩法比較所占有的應用優勢

《n級素數表》使用提升表的等級n來排除不大于mn的中小素數及其素因子合數群在素數表中的游離和干擾的方法，來提高素數表的素性純潔度，其實人類早就無意識的應用了。比如數學家們把全體自然數劃分為全體偶數和全體奇數就是這種方法的一種應用，遺憾的是，人們并未這樣持續不斷地應用下去。通過增加公變周期參變素數的個數來排除自然數中合數的力度和速度是十分驚人的，是以篩法為代表的各種高深理論方法無法比擬的，下面進行分析其原因：

上面的算法是一種近似算法，因為還未減去順序素數最小公倍數重合次數，但也基本反映了這種自然數升級排列法排除合成數，令人震驚的速度和能力，它和目前數學家們使用的篩法、雙篩法、大篩法、加權篩法，圓法、密率法等方法來比較，具有絕對優勢和不可替代的功能，主要表現在：（1）用篩法等傳統方法篩選素數，只能在完整的、有序排列的整數序列中進行，如果整數的完整性、有序性被破壞，篩法將無法進行下去，而《n級素數表》可以在一兩個素數列，部分素數列，一個區間的素數列或整體或局部任意范圍內無限延伸的素數生成列中實施；（2）篩法只能在有限的自然數N以內排除2、3、5、7…mn的合成數。但不能在無窮的自然數中排除2、3、5、7…mn的合成數。但《n級素數表》可以毫不留情的在無限延伸的全體素數生成列中，把2、3、5、7…mn的合成數（含自身）一個不留的連根撥掉，就是說，不管這些素數生成列延伸到多么大的區域，人們將永遠不再看到mn及其以下素數的全部素因子，這是以篩法為代表的傳統方法所望塵莫及的；（3）當mn到達特大數域，篩法將受限制而使素數篩選程序中斷，而《n級素數表》無論mn有多大，各素數生成列都能排除不大于mn以下的全部素數及其素因子合數的游離和干擾；（4）可以毫不夸張地說：n級素數表排除素數表中合成數的速度和力度，幾乎與人的思維一樣快，它可以毫不費力地把等級表提升到千級、萬級、億級……而在n級素數表的各素數生成列中立即永遠排除了一千個、一萬個、一億個素數及其素因子合數的游離和干擾，而我們使用以篩法為代表的各種高深理論公式和復雜的運算程序卻始終排除不了無窮數列里無窮無盡的合成數，這是以篩法為代表的傳統方法無法回避的致命缺陷。

篩法及其派生出來的各種方法由于存在上述四大弊端，決定了它無法獲得無窮無盡的大素數，也注定了這些方法生命力的終結（當然，篩法的某些原理我們還可應用），自然數表的升級排列法必將代替篩法開創人類獲取無窮超級大素數的歷史新記元，這也是歷史的

必然。

如果我們從另一個角度來思考，n級素數表獲取無窮大素數還有兩個成因：一是n級表可以由低級表獲得的已知順序素數，去打造高級表更大更多的未知順序素數，這種遞增打造的程序是無止境的；二是n級表的各素數生成列都是級差為△的等差數列無限延伸，呈現出開放型（無窮型）排列方式，當我們把表提升到一個理想值（比如n=1千萬）后，在n級表的全體素數生成列指定公共項標內（比如k=1萬項）99.99…%都是素數，我們只要用解一次同余方程的方法，在素數表中全方位地搜索那些萬分之一、十萬分之一……的合成數素因子，我們就會得到100%的超級大素數。等級越高獲得的大素數就越大。

我們可以選擇（i+2）個素數生成列中的任意區段或整體或局部素數列對全大于mn的素因子合成數中的素因子進行全盤性的搜索（或說是掃描），搜索規模的大小可根據計算機的容量，計算速度或根據人們需要確定，仍以大于mn的順序素數為模數因子掃描搜索，經過有限次素數模因子檢測搜索后，各素數生成列的指定近期項數內都不可能再出現素數模因子，則表明素數表指定近期項數內余下大量坐標都是大于△的大素數。

為了檢驗《n級素數表》理論的準確性，筆者運用上述原理方法先后打造了2、3、4級素數表，都能獲得1～2萬內的素數。又打造了百級素數表的部分素數生成列較準確獲得2千多個超210位的大素數。繼后，又打造了三百萬《級素數表》和《千萬級素數表》，《三百萬級素數表》產生的素數全都是大于21703266位的大素數，《千萬級素數表》產生的素數全都是超億位的超級天文數字。目前世界上發現的第48個梅生大素數才有17425170位，遠遠突破世界紀錄，證實了對梅生素數的搜索并不是發現已知最大素數的唯一有效途經，梅生素數只不過是無窮大素數中的滄海一粟。

在《千萬級素數表》中，假設我們對±1和大于m千萬+i以后的順序素數組成形如m千萬+i+K△（i=1、2…1萬）的一萬零二個數列的一萬項內的素數表進行素性檢測，分別用1千個大于m千萬的順序素數為模在區間范圍內進行素因子搜索，發現約有53.7%的模數在一萬零二個數列的一萬項內不會產生合數因子，約有35%的模數在一萬零二個數列的一萬項內會產生1個合數因子，約有11.2%的模數在一萬零二個數列的一萬項內產生2～3個合數因子（若在一萬零二個數列1千項內來看基本不會產生合數因子）估計檢測模數達到10萬個以上后，這些合數因子會逐步自然消失。若按此比例測算，這個區段內的素因子合數分布密度約為0.000576，其素性純潔度約為0.9994，借以說明此時素數表的素性純潔度已經到達一個比較理想的境界了。

當然，要完全清除區段內的全部素因子合成數而準確獲得約一億個100%的超億位的破世界紀錄的大素數，這也并不是一件輕松事情，僅靠一臺計算機進行搜索，終其一生也未必能夠完全清除干凈，如能用幾百臺上千臺計算機聯合檢測，實現這個宏偉目標卻不是一件困難的事。

在《千萬級素數表》中，如果我們只在一萬零二個素數列的一千項內的素數表進行素性檢測，有可能產生用幾萬個模數搜索都幾乎不會發現素因子合數的情況，但無論我們把搜索的近期項數縮小到多么小的范圍，都難以控制那些分布雖然稀疏，但卻在表中無規則游離的素因子合數。雖說如此，我們還是可以斷定，在這個區段生成的每一個數幾乎99.999…%的都是素數。

因此，只要我們把原生態素數表的等級提升到一個理想的境界后，我們就有99.99…%的把握獲得要多大就有多大、要多少就有多少的大素數，獲得要多大就有多大，要多少就有多少的孿生、三生、四生…n生素數，獲得要多寬就有多寬，要多少就有多少的素數間隙；獲得要多長就有多長，要多少就有多少的素數等差數列…，數學家們的許多猜想和幾千年來的多數歷史遺留問題就會變成客觀存在的現實全方位得到破解。當我們完成上述工作后，再回過頭來看《n級素數表》，假如人們在素數表的間隙處按順序填滿自然數，便會驚奇地發現整個自然數表的有序性和完整性均未遭受破壞，實際上《n級素數表》的素數生成模式，就是大本大源的自然數升級排列法，素數來源于自然，卻又回歸自然，素數和合數有著打斷骨頭連著筋的血肉關系，不脫離原生態的素數美景自然充滿了解決實際問題的青春和活力。比較傳統素數表來說，具有更強大的生命力和凝聚力，有著更廣闊的應用前景。

兩千多年來的素數發展史，人類總是在中小素因子合數群非常密集的自然數列或奇數列中探討和研究素數。用高深復雜的公式計算素數在自然數中的分布密度。搜索素數的規律和結論。其實這并不是科學的研究方法，因為自然數中（或奇數數列中）密布著中小素因子合數群的游離和干擾，人們根本看不到素數客觀存在的排列規律和素數無窮無盡的生成原理，盡管數學家們絞盡腦汁，在古老的埃拉托塞尼篩法的基礎上發明大篩法、雙篩法、加權篩法，圓法、密率法、三角和法……對篩法改進了再改進，創新了再創新，人們始終擺脫和克服不了篩法的應用局限和致命弊端，就是在數學領域享有極高聲譽的黎曼猜想的素數公式，其本質也直接來源于埃拉托塞尼篩法的過程，都是在有限數域內來獲得素數，篩法的應用極大的限制了人類對于無窮大素數的探索。

《n級素數表》的理論和實踐都證實了，自然數無論延伸到多么大的數域，素數和合數總是沿著n個（n≥2）順序素數的周期公變K△軸（△=[m1 m2…mN]）周期性地反復地無窮地出現，并不象數學家們想象的那樣，越到大數區域，素數分布將越來越少，越來越稀，甚至出現幾乎全是合數的情況（即素數出現的概率為為零）。人們對素數的認識完全走進了誤區，如果我們從《n級素數表》等級的升高是沒有止境的角度來研究素數和合數的轉化關系，自然數中的確存在任意寬廣的連續合數區，也的確存在任意長度的素數等差數列。但是，無論連續合數區有多么的寬廣，它總要遭遇mn+1+k△這條素數生成列形成的邊界，翻越這個邊界后，就會看到素數生成區的一片“藍天”，人們仍然會看到原生間距為2、4、6、8、10、12…的素數，這些中小間距的素數仍然會反復的、周期性的、無窮的出現。因此人們在任意寬廣的合數區中看素數，仿佛覺得素數是“不存在”的，但人們若在任意長的素數等差數列中看合數，也會產生合數“不存在”的感覺，這都是人們在自然數中斷章取義、舍本逐末、一葉障目、不見泰山得出的錯誤結論呵！

素數是無窮的，自然數世界是廣闊無限的，然而人類對素數的認識卻是狹隘有限的，時至今日，人類也才獲得48個梅生大素數，“48”與無窮多來比較是一個少得多么可憐而又多么不協調的數字，人們總是用篩法在有限數域中獲得的素數，去解決無窮自然數中的問題，這是一個永遠無法解決的矛盾和糾結，不改革和淘汰篩法，人類確實像數學家厄爾多斯和歐拉預測的那樣，再過一百萬年，人類也永遠無法看穿素數的秘密。人類何以解決那些沉淀得越來越多的數論領域中的歷史遺留問題。

事實上，人們對熟視無睹的事物或問題，往往缺乏更深層次的探索和反思，為什么“2”的素因子合成數居然占據了整體自然數的一半？依此類推3、5、7、11、13…這些中小素數的素因子合數又占據了整體自然數的多少？為什么那些超幾千萬位的天文數字的大素數的素因子合成數，人們在幾十公里或幾百公里內都看不到它們的身影呢？任意一個素數和它的素因子合數群在自然數（或等差數列中）是一個不分離的群體，《n級素數表》正是運用了素數的上述排列規律，把越來越多、越來越大的不大于mn的中小素數連同它的素因子合數群都像偶數那樣劃分到自然數中的連續合數區中排列，而把越來越大的大于mn的素數和素因子合成數保留在原生態素數表中，在素數表中就完全擺脫了那些越來越密集的中小素因子合數群的游離和干擾。當mn的數值提升到一個理想值之后，人們再也看不到指定近期項數全大于mn的素因子合成數了，《n級素數表》珠聯璧合的級差遞變，巧奪天工、物競天擇的素數和合數的解體和分流，循環往復、生生不息的素數生成模式，構成了一幅氣勢磅磗、宏偉壯觀的素數生成畫面，在不破壞自然數的有序性和完整性的前提下，全方位的、一個不漏的、無限逼近100%的獲取大于mn的大素數，開創人類獲取無窮超級大素數的歷史新紀元！

6 結語

人類對素數的研究，是“摸著石頭過河”走過來的。有的問題持續了若干個世紀，甚至幾千年沒有進展，那是否說明人們研究的思路和方法出現了偏差，脫離了客觀實際？并不一定越是艱深的理論就越能解決問題，《n級素數表》素數生成模式的建立能反映出自然數無論到達多么大的數域，素數和合數仍然遵循著周期性地反復無窮地出現的客觀規律，這就糾正了人們思維中的偏差，使人類思維的想象世界與客觀存的現實世界達到完美的吻合，也就能創造出數論研究中的奇跡，對《n級素數表》的理論和方法是否科學？我們只要把一次同余方程的解法編入大型電子計算機程序，對高等級素數表（比如千萬級或億級…）的素因子合成數的分布密度進行掃描檢驗，用大于mn的指定足夠區間順序素數為模，對素數表全盤性地素因子整體搜索，即可辨別其真偽。“實踐是檢驗真理的唯一標準”。人類尊重的是科學，而不在于誰是論文的作者。只有這樣，社會才會進步，國家才會強盛，科學才能興國！

參考文獻

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作者簡介：孫梁（1946-），男，供職于凱里市教育局，研究方向：數論。

（責任編輯：周 瓊）