“基本圖形”提高幾 何學習能力

幾何就是在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的、特殊的、為我們所用的幾何規律。幾何基本圖形法是幾何教學中常用到的基本方法，是幾何教學很好的著手點。對幾何基本圖形的識別與應用也是學好幾何的重要環節。所以，我在初中幾何教學中，重視對幾何基本圖形的訓練與學習，培養學生對幾何圖形中信息的整合能力，促進學生幾何能力發展。

歸納“基本形”

課堂上所解決的幾何問題，通常就是基本圖形的重組與整合。如果心中沒有“形”，就看不出圖形的本質。為了夯實學生的幾何內功，教師在平時的教學過程中，就要進行階段性的知識梳理，將零散的知識連成一條“形”的知識主線，逐步積淀知識網絡；同時，讓學生心中有“形”可依，有理可循，解題思路更清晰，從而提高學生的解題能力。

不同圖形易混淆知識點歸類——由此及彼 如，將三角形的“外心”和“內心”以“數、形、理”為主線，將有關知識點整理在一張表格中，既豐富了三角形與圓內在的聯系，又甄別概念的本質，便于學生理解概念，記憶圖形特征，掌握圖形內在的性質。

同一圖形多角度知識點歸類—— 由表及里 如圖1，這張圖形貫穿于初一到初三的教學過程，被稱為經典圖形“母子相似型”。隨著知識的深入，學生要對它進行由表及里的研究與學習。在初三復習階段，教師就有必要以這張圖形為主線，將多方面的知識點整理在一起，使學生對同一張圖形有深入的理解，在處理同一張圖形中的線段、角度問題時，可以采用不同的方法。

第一，角的數量關系：銳角的相等關系：，

第二，線段的數量關系：

①勾股定理：，，

②射影定理：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD

③等積法：AC·BC=AB·CD

第三，三角形的相似關系：ΔACB∽ΔADC∽ΔCDB

勾勒“基本形”

《數學課程標準》在幾何方面的學習，要求學生“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考”。在幾何教學中，單獨講授一個概念，一張圖形時，學生很容易理解；稍微復雜一點的圖形中，有些學生就看不出基本圖形，也不會用幾何的基本性質、定理等知識來解決問題了。所以，在教學中，筆者重視“基本圖形”的挖掘，訓練學生在千變萬狀的圖形中勾勒出所求問題的基本圖形，將主陣地遷移到基本圖形中，尋求問題的本質。通過觀察、思考、操作等數學活動，練就學生的一雙“慧眼”，提高學生的幾何識圖能力。

例如，圖2中的∠1與∠2、∠2與∠B、∠3與∠C，各是哪兩條直線被哪一條直線所截的什么角？∠1、∠2分別與哪個角是內錯角？

對于剛接觸幾何的初一學生來說，在“三線八角”的基本圖形中，學生基本都能找出同位角、內錯角、同旁內角。但在有三角形的圖形中，學生容易受一些非主要線段的干擾，辨別不出是哪一種角了。所以在判斷∠1與∠2、∠2與∠B、∠3與∠C分別是什么角時，教師讓學生畫出關于∠1與∠2的最簡圖形，就勾勒出了“U”型圖；∠2與∠B、∠3與∠C都勾勒出了“F”型圖。在找內錯角時，讓學生用手指在圖形上“描描畫畫”，尋找其中的“Z”型圖，則學生很輕松地找出∠1與∠EDF，∠2與∠DEC是內錯角。（如圖3所示）

經過幾節課的“描”與“畫”，學生對同位角、內錯角、同旁內角的概念就較深刻了，對基本圖形的圖感也提高了，并能體驗數學活動成功的樂趣，鍛煉克服復雜圖形的意志，建立自信心。

構造“基本形”

從可持續發展的角度來看，學生僅學會從復雜圖形中分離出基本圖形還是不夠的。“授人以魚，不如授人以漁”。教師在傳授知識的同時，還要引導學生學會在綜合性問題中構造熟悉的基本圖形，教會學生數學方法，讓其有終身受用的“漁”，充分發揮學生的主觀能動性和內在“潛力”，加強其創新意識。

例如，在解直角三角形的題目中，我們經常會遇到一些非特殊的三角形。這時，就需要構造特殊的含30°角的直角三角形和含45°角的等腰直角三角形，這樣，就能化不規則圖形為規則圖形，化不利條件為有力條件，顯現隱含的線段關系，釋放基本圖形的正能量。

例.（2014·蘇州）如圖4，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（ ）

A.4km B.km

C.km D.km

分析：如圖（由圖4構造后圖5）由已知得出隱含條件，，馬上聯想到過點A作AD⊥OB于D就可以構造Rt△AOD和等腰Rt△ABD，得出BD=AD=2，則AB=AD=.故選C.

本題考查直角三角形的應用及方向角問題，難度適中，作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵，也是解題的思維切入點，構造的想法來源于獨立的基本圖形以及組合圖形的基本圖形（如圖6），而兩個特殊的直角三角形是優化思維的關鍵點。所以，只有心中有“形”，才能手中握“法”，穩操勝券。

在幾何教學中，讓學生經歷圖形的觀察、構造、變形，體會數形結合、轉化、化歸等數學思想方法和思維方式，有助于積累學生綜合運用幾何知識、技能和方法等解決問題的數學活動經驗，發展創新意識。

學生幾何能力的提高不在一朝一夕，需要教師的堅持不懈，循序漸進。在平時的教學中，只要注重對幾何圖形本質的挖掘與探究，讓學生在練習中不斷嘗試歸納與總結，從而形成一定的挖掘圖形信息的能力，提煉問題的本質，掌握其蘊含的數學思想方法，才能促進學生數學思維能力的提高，有效提高學生的數學能力。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳中區藏書中學）