解析方程法得雙曲線的部分性質

數形結合的思想是數學中的三大思想方法之一，但在很多學生心中利用“形”研究“數”就是數形結合，那這對“結合”兩字的理解是有偏差的。當然將代數問題通過賦予它幾何意義使問題變得簡單明了，這在高中數學中是很常見的，正因如此，利用“數”去研究“形”——數形結合的另一方面往往被學生忽視，這也是為什么學生在剛剛進入圓錐曲線部分的學習時，常常不知道要做什么，或者為什么要這么做。

圓錐曲線是解析幾何的一部分，本應重在讓學生感悟解析方程的方法在曲線研究中的價值，然而在圓錐曲線的學習過程中，學生一開始關注到的依舊是曲線的形。在研究圓錐曲線的性質時，學生也覺得可以直觀得來，當我們用解析方程法去分析圓錐曲線的對稱性、范圍時，學生會覺得很多余，自然也感受不到解析方程法的價值。本文將以研究圓錐曲線的部分性質為例，讓大家感受解析方程法的神奇之處。

以雙曲線=1（a>0，b>0）為例，我們看看不斷從不同角度去解析方程，能得到什么。

首先，原方程的平方結構，可以保證對稱性。

變形一：y2=b2（-1）

即，y=（y≥0）

站在函數的角度，求得定義域，可得x的范圍，求得值域可得y在第一象限的范圍，結合對稱性可得整個y的范圍。

變形二：b2x2-a2y2-a2b2=0

站在一元二次方程的角度，若上式看作關于x的一元二次方程，則其必有根，可用判別式法求得y的范圍，同理，若上式看作關于y的一元二次方程，可得x的范圍。

變形三：b2x2-a2y2=a2b2>0

即（bx+ay）（bx-ay）>0

站在線性規劃的角度，雙曲線上的點位于直線bx+ay=0，bx-ay=0所圍成的角形區域內，而bx+ay=0，bx-ay=0是區域的邊界。注意，如果引導學生細致的思考直線bx+ay=0，bx-ay=0和雙曲線的關系，就可以通過圖形提出問題，從而順利引入雙曲線的漸近線這一性質并加以證明：由變形一中y（y≥0）可得，隨著x的增加，y是增加的，并且值越來越接近于x。而我們習慣上雙曲線的漸進線的引入都略顯生硬。

通過上述三種對雙曲線標準方程的不同角度的變形，利用解析方程的方法，可以輕松得到雙曲線的兩個性質：范圍和漸近線。在解析幾何研究問題的過程中，我們就是要不斷給學生強化解析方程研究曲線的思想，讓學生深切感受到方程是曲線“數”的體現，當僅僅依靠“形”不能有效解決問題時，只能依靠解析方程的方法。

編輯 孫玲娟