2.2.3 獨立重復(fù)試驗與二項分布

【學(xué)習(xí)要求】1.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型.

2.理解二項分布.

3.能利用獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題.

【學(xué)法指導(dǎo)】獨立重復(fù)試驗是研究隨機現(xiàn)象的重要途徑，二項分布是來自于獨立重復(fù)試驗的一個概率模型，學(xué)習(xí)中要把握它們的聯(lián)系，掌握二項分布的特點.

引入：分析下面的實驗，它們有什么共同特點？

（1）某人射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.8，他連續(xù)射擊3次.

（2）實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團隊比賽，規(guī)定5局3勝制.

（3）連續(xù)投擲一顆骰子3次.

歸納：（1）每次試驗是在相同條件下進行的；（2）各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；（3）每次試驗都只有兩種結(jié)果（即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生），并且在任何一次試驗中事件發(fā)生的概率均相等.

新知：1.n次獨立重復(fù)實驗重復(fù)實驗的定義：一般的，在相同條件下重復(fù)的n次實驗稱為n次獨立重復(fù)實驗.

注意：“在相同的條件下”等價于各次實驗的結(jié)果不會受其他實驗結(jié)果的影響.

在n次獨立重復(fù)實驗中，記Ai（i=1，2，3…n）是“第i次實驗的結(jié)果”，顯然Pi（A1A2A3…An）=P（A1）P（A2）P（A3）…P（An）

探究：在（1）基礎(chǔ)上.①第一次命中，后面兩次不中的概率；②恰有一次命中的概率；③恰有兩次命中的概率

解：①

②

③

能不能用組合表示②

③

推廣到一般形式：n次射擊實驗命中k次的概率Pn（K）Ckn0.8k（1-0.8）n-k.

2.獨立重復(fù)實驗的概率公式：一般的，在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為P，則P（X=k）=CknPk（1-P）n-k，k=0，1，2…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～ ，并稱P為 .它是二項式[（1-p）+p]n展開式的第k+1項.所以稱這樣的隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p）.

例1.甲、乙兩隊參加世博會知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，且各人答對正確與否相互之間沒有影響.用ξ表示甲隊的總得分.

（1）求隨機變量ξ的分布列；（2）設(shè)C表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P（C）.

練習(xí)：某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2 min.

（1）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（2）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間ξ的分布列.

探究點：綜合應(yīng)用

例2.實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)定5局3勝制（即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽）.

（1）試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率.（2）求按比賽規(guī)則甲獲勝的概率.

當(dāng)堂練習(xí)：

1.每次試驗的成功率為p（0

A.C310p3（1-p）7 B.C310p3（1-p）3 C.p3（1-p）7 D.p7（1-p）3

2.10張獎券中含有3張中獎的獎券，每人購買1張，則前3個購買者中，恰有一人中獎的概率為（ ）

A.C310×0.72×0.3 B.C13×0.72×0.3 C. 3.甲乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采取三局兩勝制還是五局三勝制對甲更有利？你對局制長短的設(shè)置有何認識？

4.實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)定5局3勝制（即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并終止比賽）

（1）試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率.

（2）求按比賽規(guī)則甲獲勝的概率.

（3）用X表示比賽場次，試求X的分布列.

5.某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同，假設(shè)每盞燈能否正常照明只與燈泡的使用壽命有關(guān)，沒型號的燈泡的使用壽命為1年以上的概率為P1，使用壽命為2年以上的概率為P2，從使用今日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換.

（1）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率.

（2）在第二次燈泡更換工作中，對其中某一盞燈來說，求該盞燈需要換燈泡計時的概率.

編輯 孫玲娟