技工院校數學教學中的換元法及其應用

摘要：該文就當前技工院校數學教學中的換元法進行了基本介紹和分析。依據具體應用方法的不同，換元法主要可以概括為均值換元法、局部換元法和三角換元法。在各種例題中，換元法主要實現了化分式為整式，化無理為有理，化高次為低次，通過對其運用的總結和分析，有利于進一步了解換元法的本質，從而更好的將其運用到數學解題中。

關鍵詞：技工院校 數學教學 換元法 應用

中圖分類號：G71 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）05（a）-0000-00

所謂的換元法，就是指在具體的解題過程中將某個復雜的式子轉化為一個有機整體，取一變量替代之，進而將復雜的問題簡單化。換元法的關鍵是設元和構造元，等量代換是其最基本的理論基礎，最終目的是研究對象的變換，將原有的問題放在新的背景中去探索和研究，進而將復雜的問題簡單化、標準化。

1局部換元法

局部換元法也叫整體換元，是用一個字母代替多次出現的代數式，通過變形的方式將復雜的問題簡單化。

換元法例題1.已知f（3x+4）=4x+3，求f（4）的值。

【換元法思路解題】我們可以令a=3x+1（a∈R），∴x= ，∴f（a）=4（ ）+3= ，所以f（4）= 。

【換元法例題解析】 此題是局部換元法的典型，假設a=3x+1（a∈R）以后，則應牢牢把握x與a之間的內在聯系，轉化二次函數閉區間的值域，這樣對解題有利。換元過程中，要確定（a∈R）這個新的參數范圍，并將其與a=3x+1進行對應。本題除了涉及換元解題法以外，還包含了分類討論法，也就是在確定閉區間和對稱軸位置關系的基礎上討論參數情況。

2三角換元

在利用三角換元法解答數學習題時，要將三角知識與已知代數中的某些知識點進行有機聯系。例如，學生在求解函數y=√1-x^2的值域時，假設x∈[-1，1]，那么有x=sinα，sinα∈[-1，1 ]，如此一來，該問題就可以轉化為較為簡單的求三角函數值域問題。而要順利解決問題，最重要的就是發現值域之間的關聯，假設變量x、y滿足于x^2+y^2 =r^2（r>0），那么即可設x=rcosθ、y=rsinθ，從而將問題轉化為求三角函數問題。

換元法例題2.已知x、y為實數，且滿足4x2-5xy+4y2 =5。（①式），假設S=x2+y2，試求 + 的值。

【換元法例題的思路】知道了S=x2+y2，那么可以用cos2α+sin2α=1進行三角換元，設 ，并帶入公式①中，就可以求得Smax和Smin。

【換元法例題思路的總結】 該解法主要由 = 代換而來，換元后，減少了變量的個數。此方法需要學生對代數的變形掌握的非常熟練。尤其是在求解高次方程的過程中，善于利用換元法，進而降低方程次數。

借助換元法能有效解決數學中常見的問題，進一步拓寬學生的視野，培養其良好的學習習慣和興趣。適當的運用換元法能將復雜的問題簡單化，將難以解決的問題解決，進而勇攀數學的高峰。

參考文獻

1、于志洪 應用換元法巧解中考數學題 《讀寫算》（中考版） 2007年7月

2、楊富成 淺談換元法的應用 《基礎教育論壇》 2010年12期

3、和洪云 “換元法”在數學解題中的應用 《大理學院學報》2010年第四期