空間向量在解答立體幾何問題中的運(yùn)用

葛學(xué)清

(山東省日照第一中學(xué))

立體幾何是高考中的必考題目且分?jǐn)?shù)占比較高.由于立體幾何問題有抽象、復(fù)雜等特性,學(xué)生在解題中,往往存在著多種多樣的問題,導(dǎo)致解題效率不高,而借助空間向量解題有時(shí)可以降低立體幾何問題的解題難度,因此,本文將結(jié)合實(shí)際問題,分析空間向量在解答常見立體幾何問題時(shí)的應(yīng)用.

1 在距離問題中的運(yùn)用

例1 如圖1所示,四邊形ABCD,EADM和MDCF均是邊長為a的正方形,點(diǎn)P是ED的中點(diǎn).

圖1

(1)求點(diǎn)D到直線BF的距離;(2)求點(diǎn)P到平面EFB的距離.

如圖2所示,以

圖2

DA,DC,DM所 在直 線 為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),M(0,0,a),E(a,0,a),F(0,a,a),由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式得

2 在角問題中的運(yùn)用

在立體幾何問題中,有諸多關(guān)于角的問題都可以借助空間向量進(jìn)行解答:如在二面角問題的解答中,首先要建立合適的空間直角坐標(biāo)系,然后找到二面角所涉及的兩個(gè)平面,接著通過法向量進(jìn)行求解,最后觀察二面角是鈍角還是銳角,從而得到最終答案.同樣地,可以借助空間向量將線面角轉(zhuǎn)化為線線角進(jìn)行解答.

例2 如圖3 所示,在正四 棱 柱ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,AA1＝4.

圖3

圖4

(1)求證:BD⊥A1C;

(2)求二面角A-A1C-D1的余弦值.

3 在位置關(guān)系中的運(yùn)用

空間幾何的線面關(guān)系(垂直或平行)問題是常見考點(diǎn),在求解這類問題時(shí),同樣可以借助空間向量進(jìn)行解答.比如在線面平行的證明中,可以通過建立合理的空間直角坐標(biāo)系,求出平面外一條直線的方向向量l與平面的法向量n,當(dāng)l?n＝0時(shí),則可證得線面平行.

例3 如圖5所示,在四棱 錐P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底 面ABCD,PA＝AD＝CD＝2AB＝2,M為PC的中點(diǎn).

圖5

圖6

(1)求 證:BM// 平面PAD;

(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得MN⊥平面PBD? 若存在,確定N的位置;若不存在,說明理由.

綜上,平面PAD內(nèi)存在點(diǎn)),使得MN⊥平面PBD.

本文介紹了使用空間向量法解答立體幾何問題,不難發(fā)現(xiàn)靈活運(yùn)用空間向量法,能夠降低諸多立體幾何問題的解題難度,從而有效提升解題效率.

(完)